3.2 图形的旋转同步练习（含解析）

3.2图形的旋转
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋?澄海区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB'C'，则∠C'AB的度数为（　　）
A．18° B．82° C．64° D．100°
2．（2020秋?白云区期末）如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（　　）
A．BD=2OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C
3．（2020秋?河西区期末）如图，五角星的五个顶点等分圆周，把这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，那么这个角度至少为（　　）
A．60° B．72° C．75° D．90°
4．（2020秋?新抚区期末）如图，△OCD是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若∠AOD＝90°，则∠BOC的度数是（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
5．（2020秋?定西期末）在如图所示的方格纸（1格长为1个单位长度）中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点O按顺时针方向旋转得到△A'B'C'，使各顶点仍在格点上，则其旋转角的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
6．（2020秋?南关区校级期末）如图，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°到△DBE（其中点D与点A对应，点E与点C对应），连接AD，若AD∥BC，则∠ABE的度数为（　　）
A．25° B．30° C．35° D．40°
7．（2020秋?海勃湾区期末）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列四个结论：
①AC＝AD；②AB⊥EB；③BC＝EC；④∠A＝∠EBC；
其中一定正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．②③④
8．（2020秋?余杭区期末）在 Rt△ABC中，AC＝BC，点D为AB中点．∠GDH＝90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF=22AB，②AE2+BF2＝EF2，③S四边形CEDF=12S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（　　）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
9．（2020秋?越秀区校级期中）在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC＝5，BD＝4，有下列结论：
①AE∥BC；
②∠ADE＝∠BDC；
③△BDE是等边三角形；
④△ADE的周长是9．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020秋?思明区校级期中）如图，四边形ABCD中，∠DAB＝30°，连接AC，将△ABC绕点B逆时针旋转60°，点C的对应点D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，则点AC的长度为（　　）
A．5 B．6 C．26 D．41
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋?依兰县期末）如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°后到△A′B′C′的位置，若∠B′＝45°，∠C′＝60°，则∠B′AC＝　 　．
12．（2020秋?武都区期末）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC=3，∠B＝60°，则CD的长为　 　．
13．（2020秋?武汉期中）如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转角度α得到△A'B'C，且点B刚好落在A'B'上．若∠A＝34°，∠BCA′＝42°，则α＝　 　°．
14．（2020秋?温岭市期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝70°，点D在边BC上，BD＝2CD．现将△ABC绕着点D按顺时针旋转一定的角度后，使得点B恰好落在初始Rt△ABC的边上．设旋转角为α（0°＜α＜180°），那么α＝　 　．
15．（2020秋?玄武区期中）如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝4，BD＝5，则CD的长为　 　．
16．（2020秋?香坊区校级期中）如图，在等边△ABC中，AC＝10，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是　 　．
17．（2020春?简阳市 期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转得到△A′B′C′，点M是BC的中点，点P是A′B′的中点，连接PM．若BC＝2，∠A＝30°，线段PM长度的最大值是　 　．
18．（2020春?中原区校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE∥BC．△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，连接BD、EC．下列结论：①△ADE的旋转角为120°； ②BD＝EC；③BE＝AD+AC； ④DE⊥AC，其中正确的有　 　．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?喀什地区期末）如图，已知△ABC中，A（﹣3，3），B（﹣4，0），C（﹣1，1）．
（1）如果△A1B1C1与△ABC关于原点对称，点A1对应点A，点B1对应点B，点C1对应点C，请直接写出A1、B1、C1三个点的坐标；
（2）请在如图所示的网格内画出满足条件的△A1B1C1．
20．（2020秋?抚顺县期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度．Rt△ABC的三个顶点A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．
（1）将△ABC以点C为旋转中心顺时针旋转180°，得到△A1B1C，请画出△A1B1C并写出点B1的坐标；
（2）平移△ABC，使点A的对应点A2坐标为（﹣2，﹣6），请画出平移后对应的△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）若将△A1B1C绕某一点旋转可得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心P点的坐标．
21．（2020秋?思明区校级期末）如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠BCD＝α°，∠ABC+∠ADC＝180°，AC、BD交于点E．将△CBA绕点C顺时针旋转α°得到△CDF．
（1）画出旋转之后的图形；
（2）求证：∠CAB＝∠CAD；
（3）若∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，△BCE的面积为S1，△CDE的面积为S2，求S1：S2的值．
22．（2020秋?通州区期末）如图，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△DBE（点A，点C的对应点分别为点D，点E）．
（1）根据题意补全图形；
（2）连接DC，CE，如果∠BCD＝45°．用等式表示线段DC，CE，AC之间的数量关系，并证明．
23．（2020秋?剑阁县校级月考）如图，图1等腰△BAC与等腰△DEC，共点于C，且∠BCA＝∠ECD，连结BE、AD，若BC＝AC、EC＝DC．
（1）求证：BE＝AD；
（2）若将等腰△DEC绕点C旋转至图2、3、4情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？
（请你用图2证明你的猜想）
24．（2018秋?丰泽区校级期末）如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADE（含30°），将三角板ABC（含45°）绕点A顺时针方向旋转一个大小为α的角（0＜α＜180°），试问：
（1）如图2，当α＝15°时，指出图中AB与DE的位置关系，并说明理由；
（2）当旋转到AB与AE重叠时（如图3），则α＝　 　度；
（3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，直接写出旋转角α的所有可能的度数；
（4）当0°＜α≤45”时，连接BD（如图4），探求∠DBC+∠CAE+∠BDE是否是一个定值，如果是，求这个定值，并写出解答过程；如果不是，请说明理．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，
∴∠CAC′＝50°，
∵∠BAC＝32°，
∴∠C′AB＝50°+32°＝82°，
故选：B．
2．【解析】∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，
∴∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，OB＝OD，
∵∠BOD≠90°，
∴BD≠2OB．
故选：A．
3．【解析】因为五角星的五个顶点等分圆周，
所以360°÷5＝72°，
所以这个图形绕着圆心顺时针旋转一定的角度后能与自身重合，
那么这个角度至少为72°．
故选：B．
4．【解析】根据旋转的定义可知∠AOC＝∠BOD＝40°，
∵∠AOD＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣40°﹣40°＝10°，
故选：B．
5．【解析】根据旋转角的概念：对应点与旋转中心连线的夹角，可知∠BOB′是旋转角，且∠BOB′＝90°，
故选：D．
6．【解析】∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转40°，
∴AB＝DB，∠ABD＝∠CBE＝40°，
∴∠BAD＝∠BDA＝70°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB＝∠ABC＝70°，
∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝30°，
故选：B．
7．【解析】∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴AC＝CD，BC＝CE，AB＝DE，故①错误，③正确；
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠A＝∠ADC=180°-∠ACD2，∠CBE=180°-∠BCE2，
∴∠A＝∠EBC，故④正确；
∵∠A+∠ABC不一定等于90°，
∴∠ABC+∠CBE不一定等于90°，故②错误．
故选：C．
8．【解析】连接CD，∵AC＝BC，点D为AB中点，∠ACB＝90°，
∴AD＝CD＝BD=12AB．∠A＝∠B＝∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°．
∴∠ADE+∠EDC＝90°，
∵∠EDC+∠FDC＝∠GDH＝90°，
∴∠ADE＝CDF．
在△ADE和△CDF中，∠A=∠DCBAD=CD∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE＝CF，DE＝DF，S△ADE＝S△CDF．
∵AC＝BC，
∴AC﹣AE＝BC﹣CF，
∴CE＝BF．
∵AC＝AE+CE，
∴AC＝AE+BF．
∵AC2+BC2＝AB2，
∴AC=22AB，
∴AE+BF=22AB．
∵DE＝DF，∠GDH＝90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形．
∵CE2+CF2＝EF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
∵S四边形CEDF＝S△EDC+S△EDF，
∴S四边形CEDF＝S△EDC+S△ADE=12S△ABC．
∴正确的有①②③④．
故选D．
9．【解析】∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，AC＝BC＝5，
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠BAE＝∠C＝60°，AE＝CD，
∴∠BAE＝∠ABC，
∴AE∥BC，所以①正确；
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，
∴∠DBE＝60°，BD＝BE＝4，
∴△BDE为等边三角形，所以③正确，
∴∠BDE＝60°，DE＝DB＝4，
∵BC＞BD，
∴∠BDC＞∠C，即∠BDC＞60°，
∴∠ADE＜60°，所以②错误；
∵AE＝CD，DE＝BD＝4，
∴△ADE的周长＝AD+AE+DE＝AD+CD+DB＝AC+BD＝5+4＝9，所以④正确．
故选：C．
10．【解析】∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°，AC＝DE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝60°，
∵∠BAD＝30°，
∴∠EAD＝90°，
∵AE＝AB＝5，AD＝4，
∴DE=AE2+AD2=52+42=41，
∴AC＝DE=41，
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】∵∠B′＝45°，∠C′＝60°，
∴∠BAC＝∠B′A′C′＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
∵∠BAB′＝30°，
∴∠B′AC＝75°﹣30°＝45°，
故答案为：45°．
12．【解析】∵直角△ABC中，AC=3，∠B＝60°，
∴AB=ACtan∠ABC=33=1，BC=ACsin∠ABC=332=2，
又∵AD＝AB，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝2﹣1＝1．
故答案是：1．
13．【解析】∵△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，
∴∠A′＝∠A＝34°，∠ABC＝∠B′，CB＝CB′，
∴∠B′＝∠CBB′，
∵∠CBB′＝∠A′+∠BCA′＝34°+42°＝76°，
∴∠B′＝76°，
∴∠ABC＝76°，
∴∠BCB′＝180°﹣76°﹣76°＝28°，
∴α＝28°，
故答案为：28．
14．【解析】①当点B落在AB上B′时，
∵DB＝DB′
∴∠BB′D＝∠B＝70°，
∴∠BDB′＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
即旋转角α＝40°．
②当点B落在AC上B″时，
∵BD＝2CD，
∴B″D＝2CD，
∴∠B″DC＝60°，
∴∠BDB″＝180°﹣60°＝120°，
即旋转角α＝120°．
故答案为：40°或120°．
15．【解析】如图所示，将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE，连结CE，DE，
由旋转的性质知DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝60°，BD＝AE＝5，
则△DCE为等边三角形，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝90°，
∴AD2+DE2＝AE2，
∴42+DE2＝52，
∴DE＝CD＝3．
故答案为3．
16．【解析】∵AC＝10，AO＝3，
∴OC＝7，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°，
∵线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，
∴OD＝OP，∠POD＝60°，
∵∠AOP+∠APO+∠A＝180°，∠AOP+∠COD+∠POD＝180°，
∴∠AOP+∠APO＝120°，∠AOP+∠COD＝120°，
∴∠APO＝∠COD，
在△AOP和△CDO中，
∠A=∠C∠APO=∠CODOP=OD，
∴△AOP≌△CDO（AAS），
∴AP＝CO＝7．
故答案为：7．
17．【解析】如图连接PC．
在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝4，
根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，
∴A′P＝PB′，
∴PC=12A′B′＝2，
∵CM＝BM＝1，
又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，
∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．
故答案为：3．
18．【解析】∵AB＝AC，∠B＝30°，
∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，
∴将△ADE绕点A逆时针旋转至点B、A、E在同一条直线上，△ADE的旋转角为180°﹣120°＝60°，故①错误；
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED，
∴AD＝AE，
∴BD＝EC，故②正确；
BE＝AE+AB＝AD+AC，故③正确；
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠EAC＝180°﹣∠BAC＝180°﹣120°＝60°，∠DAC＝120°﹣∠EAC＝120°﹣60°＝60°，
∴∠DAC＝∠EAC，
∵AD＝AE，
∴DE⊥AC，故④正确；
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）A1（3，﹣3）、B1（4，0）、C1（1，﹣1）；
（2）如图，△A1B1C1为所作；
．
20．【解析】（1）如图所示，△A1B1C即为所求，B1（0，﹣1）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，B（0，﹣3）；
（3）旋转中心坐标（0，﹣2）．
21．【解析】（1）如图△CDF即为旋转之后的图形；
（2）证明：由旋转旋转可知：
△CAB≌△CFD，
∴∠CDF＝∠CBA，∠F＝∠CAB，CA＝CF，
∵∠CBA+∠CDA＝180°，
∴∠CDF+∠CDA＝180°，
∴A、D、F三点共线，
∵AC＝CF，
∴∠F＝∠CAD，
∴∠CAB＝∠CAD；
（3）过点E作EM⊥AF于点M，过点C作CN⊥BD于点N，
∴∠ABE＝∠AME＝90°，
在△ABE和△AME中，
∠EAB=∠EAM∠ABE=∠AMEAE=AE，
∴△ABE≌△AME（AAS），
∴AM＝AB＝3，BE＝ME，
∵∠ABD＝90°，AB＝3，BD＝4，
∴AD=AB2+BD2=5
∴DM＝2，设BE＝EM＝x，则DN＝4﹣x
∴x2+22＝（4﹣x）2，
解得x＝1.5，
∴BE＝1.5，DE＝2.5，
∴S1：S2=12BE?CN：12DE?CN=35．
22．【解析】（1）根据题意补全图形，如图所示：
（2）结论：DC2+CE2＝AC2，
证明：由题意可知：
△ABC≌△DBE，∠CBE＝90°．
∴AC＝DE，BC＝BE．
∴△CBE是等腰直角三角形．
∴∠BCE＝45°．
∵∠BCD＝45°，
∴∠DCE＝90°．
在Rt△DCE中，根据勾股定理，得
DC2+CE2＝DE2，
∴DC2+CE2＝AC2．
23．【解析】（1）证明：∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：图2、图3、图4中，BE＝AD，理由如下：
∵∠BCA＝∠ECD，
∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACDCE=CD，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴BE＝AD．
24．【解析】（1）结论：AB∥DE．
理由：如图2中，
∵∠EAC＝15°，
∴∠BAE＝45°﹣15°＝30°＝∠E，
∴AB∥DE．
（2）当旋转到AB与AE重叠时（如图3），则α＝45°，
故答案为45．
（3）当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数为15°，45°．
①当AB∥DE时，α＝15°；
②当AD∥CB时，α＝45°；
③当DE∥BC时，α＝105°；
④当AE∥BC时，α＝135°；
⑤当AC∥DE时，α＝150°．
当△ADE的一边与△ABC的某一边平行（不共线）时，旋转角α的所有可能的度数为15°，45°．
又∵0°＜α＜180°，
∴旋转角α的所有可能的度数为15°，45°，105°，135°，150°．
（4）如图4，当0°＜α≤45°时，∠DBC+∠CAE+∠BDE＝105°，保持不变；
理由：设BD分别交AE、AC于点M、N，
在△AMN中，∠AMN+∠CAE+∠ANM＝180°，
∵∠ANM＝∠C+∠DBC，∠AMN＝∠E+∠BDE，
∴∠E+∠BDE+∠CAE+∠C+∠DBC＝180°，
∵∠E＝30°，∠C＝45°，
∴∠DBC+∠CAE+∠BDE＝180°﹣75°＝105°．