3.4 简单的图案设计同步练习（含解析）

3.4简单的图案设计
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020秋?河西区期末）下列图案中，可以看作是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020秋?黄陂区期中）如图，△ABC通过平移、轴对称或旋转得到△DEC，下列变换正确的是（　　）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°后再向左平移3个单位长度得△DEC
B．△ABC沿BC翻折后再绕点C逆时针旋转90°得到△DEC
C．△ABC沿AC翻折后再绕点C逆时针旋转90°得到△DEC
D．△ABC沿AC翻折后再绕点C顺时针旋转90°得到△DEC
3．（2020秋?海淀区期中）拼图是一种广受欢迎的智力游戏，需要将形态各异的组件拼接在一起，下列拼图组件是中心对称图形的为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2020秋?齐河县期末）如图，作△ABC关于直线l对称的图形△A'B'C'，接着△A'B'C'沿着平行于直线l的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（　　）
A．对应点连线相等
B．对应点连线互相平行
C．对应点连线垂直于直线l
D．对应点连线被直线l平分
5．（2020春?武侯区期末）如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心．将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有（　　）
A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q
6．（2020?日照一模）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．从一个格点移动到与之相距5的另一个格点的运动称为一次跳马变换．例如，在4×4的正方形网格图形中（如图1），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处，现有17×17的正方形网格图形（如图2），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
7．（2020春?武汉期中）如图，平面内某正方形内有一长为10宽为5的矩形，它可以在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，则该正方形边长的最小整数n为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
8．（2020?宁波模拟）如图，四边形ABCD是轴对称图形，对角线BD所在的直线是它的对称轴，∠A＝∠C＝90°，AB≠AD，若把这个轴对称图形沿对角线BD剪开成两个三角形后，再把这两个三角形的一边完全重合在一起，重新拼成一个中心对称图形，则拼法共有（　　）
A．0种 B．1种 C．2种 D．3种
9．（2020春?鄂城区期中）平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点P′（2a﹣1，2b+1）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，得到的对应点分别为A'，B'，C'．若△ABC的面积为S1，△A'B'C'的面积为S2，则用等式表示S1与S2的关系为（　　）
A．S1=12S2 B．S1=14S2 C．S1＝2S2 D．S1＝4S2
10．（2019春?高新区校级月考）平面直角坐标系中，△ABC经过某种变化后得到△A'B'C′，已知点A的坐标是（﹣2，3），变化后点A的对应点A'的坐标是（3，2），由△ABC到△A'B'C'的变化可能是（　　）
A．绕原点O逆时针旋转90°
B．关于y轴对称
C．绕原点O顺时针旋转90°
D．沿射线AA'的方向平移5个单位
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．（2020秋?崇川区月考）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影：
①使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
②使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
12．（2020秋?雄县期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　 　个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　 　；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　 　度．
13．（2020?门头沟区二模）如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程：　 　．
14．（2019春?淮阳区期末）如图①是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有　 　种．
15．（2019秋?西城区校级期中）如图，点O，A，B都在正方形网格的格点上，点A，B的旋转后对应点A'，B'也在格点上，请描述变换的过程．　 　．
16．（2019?门头沟区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，△AOB可以看作是△OCD经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由△OCD得到△AOB的过程：　 　．
17．（2019春?内乡县期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，先以点C为旋转中心，将△ABC按逆时针方向旋转45°，得△A1B1C．然后以直线A1C为对称轴，将△A1B1C轴对称变换，得△A1B2C，则A1B2与AB所成的∠α的度数为　 　度．
18．（2017秋?岱岳区期末）以图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆作为“基本图形”，分别经历如下变换不能得到图（2）的有　 　
①只要向右平移1个单位；
②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；
③先绕着点O旋转180°，再向右平移1个单位；
④绕着OB的中点旋转180°即可．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2020秋?前郭县期末）如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．
（1）请在下面①②③三个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（3个图形中所涂三角形不同）；
（2）在④⑤两个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（2个图形中所涂三角形不同）．
20．（2020秋?岳池县期中）如图所示，在4×4的方格内，已将其中的2个小正方形涂成黑色，请你分别在图①、图②、图③、图④中再将两个空白的小正方形涂成黑色，使4个黑色小正方形组成一个轴对称图形，画出与示意图不同的4种方案．（每个4×4的方格内限画一种）
要求：（1）4个黑色小正方形必须相连；（有公共边或公共顶点视为相连）
（2）将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形．（若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合，均视为一种方案）
21．（2020?宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）
22．（2018春?江夏区期末）如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，其中点A与点P，点B与点Q，点C与点R是对应的点，在这种变换下：
（1）直接写出下列各点的坐标
①A（　 　，　 　）与P（　 　，　 　）；B（　 　，　 　）与Q（　 　，　 　）；C（　 　，　 　）与R（　 　，　 　）
②它们之间的关系是：　 　（用文字语言直接写出）
（2）在这个坐标系中，三角形ABC内有一点M，点M经过这种变换后得到点N，点N在三角形PQR内，其中M、N的坐标M（2(a-b)3，6（a+b）﹣10），N（1-a+b4，4（b﹣2a）﹣6），求关于x的不等式3x+a4-7x-38＞b﹣1的解集．
23．（2020秋?海淀区期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．
（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；
（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．
24．（2020秋?厦门期末）将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”．
（1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在边BC上，且AB＝AD，若∠B＝2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由．
答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【解析】可以看作是中心对称图形的是第三个图案，
故选：C．
2．【解析】根据旋转变换，翻折变换，平移变换的性质可知，△ABC沿AC翻折后再绕点C逆时针旋转90°得到△DEC．
故选：C．
3．【解析】A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
4．【解析】两个对应三角形的对应点所具有的性质是对应点连线被对称轴平分．
故选：D．
5．【解析】观察图象可知，点P．点N满足条件．
故选：C．
6．如图所示：有17×17的正方形网格图形，根据“马走日”的变化方式，
按M﹣A﹣D﹣F的方向连续变换4次，
然后再同样的方式变换，连续变换12次到顶点N．
即经过4×3＝12（次），
可从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，
所以最少需要跳马变换的次数是12次．
故选：B．
7．【解析】∵矩形长为10宽为5，
∴矩形的对角线长为：52+102=125=55，
∵矩形在该正方形的内部及边界通过平移或旋转的方式，自由地从横放变换到竖放，
∴该正方形的边长不小于55，
∵11＜55＜12，
∴该正方形边长的最小正数n为12．
故选：C．
8．【解析】如图所示：3种拼法都是中心对称图形．
故选：D．
9．【解析】由点P（a，b）经过变换后得到的对应点为P′（2a﹣1，2b+1）知，
此变换是以点为中心、2：1的位似变换，
则△ABC的面积与△A′B′C′的面积比为4：1，
∴4S1＝S2，
∴S1=14S2
故选：B．
10．【解析】如图，观察图象可知，点A顺时针旋转90°得到A′，
故△ABC到△A'B'C'的变化是顺时针旋转90°，
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
11．【解析】①如图1所示：
②如图2所示：
12．【解析】∵点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOC，△BOD都是等边三角形且全等，
∴△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是2个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是y轴，△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是120度．
故答案为：2，y轴，120．
13．【解析】由图形①得到图形②的变化过程：图形①绕D点顺时针旋转90°，并向下平移3个单位得到图形②．
故答案为：图形①绕D点顺时针旋转90°，并向下平移3个单位得到图形②．
14．【解析】得到的不同图案有：
共6种．
故答案为：6．
15．【解析】由图可知：将△OAB绕点O顺时针旋转后90°得到△OA'B'，
故答案为：将△OAB绕点O顺时针旋转后90°得到△OA'B'．
16．【解析】△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB（答案不唯一）．
故答案为：△OCD绕C点逆时针旋转90°，并向右平移2个单位得到△AOB．
17．【解析】∵△ABC按逆时针方向旋转45°，得△A1B1C，
∴∠BCB1＝45°，
∴∠ACB2＝180°﹣∠ACB﹣∠BCB1＝45°．
而∠B2＝∠B1＝∠B＝90°﹣∠A＝60°．
又∵∠α+∠A＝∠B2+∠ACB2，
∴∠α＝75°．
18．【解析】由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，
或先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，
或绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2），
只要向右平移1个单位不能得到图（2），符合题意．
故答案为：①．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．【解析】（1）如图所示：①②③都是轴对称图形；
（2）如图所示：④⑤都是中心对称图形．
20．【解析】如图所示：
．
21．【解析】（1）轴对称图形如图1所示．
（2）中心对称图形如图2所示．
22．【解析】（1）由图可得，①A（4，3）与P（﹣4，﹣3）； B（3，1）与Q（﹣3，﹣1）； C（1，2）与R（﹣1，﹣2）．
②由①可得：两个三角形各顶点横、纵坐标互为相反数．
故答案为：4，3，﹣4，﹣3，3，1，﹣3，﹣1，1，2，﹣1，﹣2；
（2）由题意：M、N两点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，
∴2(a-b)3+1-a+b4=0，6（a+b）﹣10+4（b﹣2a）﹣6＝0，
解得a＝2，b＝2，
∴3x+24-7x-38＞2﹣1
∴6x+4﹣7x+3＞8
∴x＜﹣1．
23．【解析】（1）证明：∵点D，E关于直线AC对称，
∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°．
∵点D为线段BC的中点，
∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°．
∴∠DAC＝∠EAC＝30°．
∴∠DAE＝60°．
∵AD＝AE，
∴△ADE是等边三角形；
（2）解：补全图形如图所示，
线段AD与CF的数量关系：AD＝2CF．
证明：延长CF到点G，使GF＝CF，连接BG．
∵F为线段BE的中点，
∴BF＝EF．
在△BFG和△EFC中，
GF=CF，∠BFG=∠EFC，BF=EF，
∴△BFG≌△EFC（SAS），
∴GB＝CE，∠G＝∠FCE．
∴BG∥CE．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°．
∴∠ACD＝120°．
∵点D，E关于直线AC对称，
∴CD＝CE，∠ACD＝∠ACE＝120°．
∴CD＝BG，∠BCE＝60°，
∵BG∥CE．
∴∠BCE+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝120°，
∴∠ACD＝∠CBG，
在△ACD和△CBG中，
AC=CB，∠ACD=∠CBG，CD=BG，
∴△ACD△CBG（SAS）．
∴AD＝CG，
∴AD＝2CF．
24．【解析】（1）∵AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，
∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，
∴∠BAD＝∠B'AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
又∵AB'⊥BC，
∴∠BAB'=12∠BAC＝30°，
∴∠BAD=12∠BAB'=12×30°＝15°；
（2）直线AD是△ABC的对垂线．
理由如下：∵AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∵∠B＝2∠DAC，∠BDA＝∠DAC+∠C，
∴∠DAC＝∠C=12∠B，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠B+12∠B＝90°，
∴∠B＝60°＝∠BDA，∠DAC＝∠C＝30°，
把△ADC沿直线AD折叠，设点C落在C'处，直线AC'交BC于点F，则△ACD≌△AC'D，
∴∠DAC'＝∠DAC＝30°，
∴△AFD中，∠AFD＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
即AC'⊥BC，
∴AD是△ABC的对垂线．