勾股定理
人教版
勾股定理的逆定理习题练习
第1课时
互逆命题的定义:如果两个命题的题设和结论正好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
怎样得到一个命题的逆命题?
把一个命题的题设和结论交换一下,即可得到它的逆命题
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勾股定理的逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么
a2 + b2 = c2
勾股定理(性质定理)
如果三角形的三边长a、b、c满足
那么这个三角形是直角三角形。
a2 + b2 = c2
互逆命题
逆定理
定理
(判定定理)
1.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足___________,那么这个三角形是直角三角形.
2.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.
3.如果两个命题的题设和结论正好相反,那么这样的两个命题叫做____________.如果把其中一个命题叫做____________,那么另一个命题叫做____________.
4.一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,则称这两个定理互为_____________.
a2+b2=c2
互逆命题
原命题
逆命题
逆定理
基础知识检测
D
A
A
4. 下列定理:①同角的余角相等;②线段垂直平分线上的点,到这条线段两端的距离相等;③同位角相等,两直线平行;④同角的补角相等.其中有逆定理的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
5.满足条件a2+b2=c2的一组正整数a,b,c称为勾股数,下列各组数中,不是勾股数的是( )
A.3,4,5 B.5,12,13
C.8,15,17 D.7,25,26
D
D
7.如图,AD为△ABC的中线,且AB=13,BC=10,AD=12,则AC等于( )
A.10 B.11 C.12 D.13
D
8.如图,分别以三角形三边为直径向外作三个半圆,如果较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积,那么这个三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形
B
9.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,下列说法中,不能推出△ABC是直角三角形的是( )
A.a2-c2=b2 B.(a-b)(a+b)+c2=0
C.∠A=∠B=∠C D.∠A=2∠B=2∠C
C
二、填空题
10.木工师傅做一个长方形桌面,量得它的长为80分米,宽为60分米,对角线为100分米,则这个桌面________.(填“合格”或“不合格”)
11.一个三角形三边的长分别是15 cm,20 cm,25 cm.则这个三角形最长边上的高是__________.
合格
12cm
12、下列四组数中:
①1、3 、2 ②32,42,52 ③9,40,41 ④3k、4k、5k(k为正整数).属于勾股数的有____________(填序号).
③、④
5或√7
等腰直角三角形
15 、直角三角形一条直角边与斜边分别为8cm和10cm.则斜边上的高等于??? cm.
16、已知两条线段的长为3cm和4cm,当第三条线段的长为???? cm时,这三条线段能组成一个直角三角形.
4.8
5或√7
17.已知命题:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.”
写出它的逆命题:__________________________________________, 该逆命
题是____命题.(填“真”或“假”)
如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等
假
三、解答题
18.下列命题是否成立,说出它们的逆命题,这些逆命题成立吗?
(1)两直线平行,同旁内角互补;
(2)若x=1,则x2-1=0.
解:(1)命题成立 逆命题:同旁内角互补,两直线平行 逆命题成立 (2)命题成立 逆命题:若x2-1=0,则x=1 逆命题不成立
19、判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形:
(1)a=7,b=24,c=25;
解:(1)因为a2+b2=49+576=625,c2=252=625
a2+b2=c2
所以,根据勾股定理的逆定理,a、b、c组成的三角形是直角三角形
(2)因为b2+c2=16+25=41, a2=41
(2)a= , b=4, c=5;
b2+c2=a2
所以,根据勾股定理的逆定理,a、b、c组成的三角形是直角三角形
(3)a= ,b= 1,c=
解:(3)因为c2+b2= , a2=
所以,根据勾股定理的逆定理,a、b、c组成的三角形是直角三角形
c2+b2=a2
(4)因为a2+b2=1600+2500=4100, c2=3600 ,
(4)a=40,b=50,c=60.
a2+b2≠c2
所以,根据勾股定理的逆定理,a、b、c组成的三角形不是直角三角形
解:(1)是,∠B是直角 (2)不是 (3)是,∠A是直角
21.将一根长为30米的细绳折成三段围成一个三角形,其中一边长度比最短的边长7米,比最长的边短1米,判断这个三角形的形状,并说明理由.
解:设此三角形最短边长为x米,则一边长为(x+7)米,最长边为(x+8)米,由题意得x+x+7+x+8=10,解得x=5,所以三角形三边长为5米,12米,13米,因为52+122=132,所以此三角形为直角三角形.
22.如图所示,甲、乙两船从港口A同时出发,甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行,乙船以40海里/时的速度向另一方向航行,2小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛,若C,B两岛相距100海里,则乙船航行的角度是南偏东多少度?
解:由题意可知:AC=60,AB=80,BC=100,∵AC2+AB2=BC2,∴∠CAB=90°,∴∠DAB=90°-∠CAE=90°-35°=55°,∴乙船航行的角度为南偏东55°
【综合应用】
23.(12分)张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表:
n
2
3
4
5
…
a
22-1
32-1
42-1
52-1
…
b
4
6
8
10
…
c
22+1
32+1
42+1
52+1
…
(1)请你分别探究a,b,c与n之间的关系,并且用含n(n>1)的式子表示:a=________,b=____,c=__________.
(2)猜想以a,b,c为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.
解:(2)是直角三角形,证明:∵a2+b2=(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1,c2=(n2+1)2=n4+2n2+1,∴a2+b2=c2,∴以a,b,c为边长的三角形是直角三角形
n2-1
2n
n2+1