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指数与对数函数图像与性质
函数要素与基本性质：定义域，值域，对应关系，奇偶性，单调性等
【考点1：指数函数运算】
基本公式：（指数乘除乘方，负指数，分数指数，0的非正指数幂没有意义）
根式与指数关系：
；
奇数情况：
，；
的取值不受限制；
偶数情况：
，
的取值不受限制；
，此时。
【考点2：对数函数运算】
1.指数与对数的关系：即可表示为
2.基本公式：；
；
；
（难点）
；
；
；
；
3.特殊对数：常把以
为底的对数叫作常用对数，N的常用对数简记为
.以无理数为底数的对数叫作自然对数，N的自然对数简记为
.
【考点3：指数函数图像与性质】
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___
R．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0
图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过点(0,1)，即x＝0_时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，_01__
单调性
是R上的__增函数__
是R上的__减函数____
3.讨论a的大小与指数图像的关系：
【考点4：对数函数图像与性质】
1.
一般地，我们把函数（，且）叫做
，其中是自变量.
2.对数函数（，且）的性质：（1）定义域为
；（2）值域为
；（3）图象恒过定点
；（4）单调性：时，在上是
函数；时，在上是
函数
3.
对数函数与指数函数互为
，它们的图象关于
对称
4.对数函数的底越大，函数图象在轴上方的部分越
a>1
0图象
性质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时，时
时，时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
不同底数图像识记：
【函数定义域、值域求值问题】
例1.函数
的定义域为
???
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】【解答】要使
有意义，则
，解得
；的定义域为
．
故答案为：A．
【分析】利用函数定义域的求法：真数大于零以及被开方数大于等于零即可得出关于x的不等式组，求解出结果即可。
变式1.函数
的定义域是________，值域是________．
【答案】
［－2，2］；
【解析】【解答】解：要使函数
有意义，
则
，∴
，
∴函数
的定义域是［－2，2］；
∵
，∴
，
∴
，
故答案为：［－2，2］，
【函数单调性与值域】
例2.函数
的单调递减区为________，值域为________．
【答案】
（-1,1）；
【解析】【解答】由题意得
，解得
，
令
，则
.
因为函数
在
上递增，在
上递减，
且函数
在
上递减，
所以
的单调减区间是
.
又
，
则
，所以函数的值域是
，
故答案为
．
变式1.函数
的单调递增区间是________．
【答案】
【解析】【解答】由
，
可得
或
，
所以函数的定义域为
又
在区间
的单调递减，
单调递减,
∴函数
的单调递增区间是
,
故答案为
．
变式2.（
，且
）在
上的最大值与最小值之和为
，则
（???
）
A.?3??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】【解答】当
时，
在
单调递减，所以
，
，此时
，解得：
或
，不符合题意；
当
时，
在
单调递增，所以
，
，
此时
，解得：
或
（舍），所以
，
故答案为：C
【比较大小问题】
例3.已知
，
，
，则
，
，
的大小关系是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】【解答】
在
单调递增，
，
，即
，
，
，则
，
.
故答案为：C.
变式1.已知
，
，则
的大小关系为（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】【解答】解：易知
，
，
，所以
.
故答案为：C.
变式2.已知
，
，
，则
，
，
的大小关系是（???
）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?a＜c＜b?????????????????????????????C.?c＜b＜a?????????????????????????????D.?c＜a＜b
【答案】
D
【解析】【解答】解：因为
，即
，又
，
所以
故答案为：D.
综合提升1.若
>1，
，则a，b，c的大小关系是（???
）
A.?a【答案】
C
【解析】【解答】因为
>1，
所以
，
所以c故答案为：C
综合提升2.若3a－3b>2b－2a
，
则下列不等式正确的是（???
）
①ln(a－b＋1)>0；②ln(b－a＋1)>0；③ea－b－1>0；④eb－a－1>0
A.?①③?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
【答案】
A
【解析】【解答】因为函数
为增函数，
，即
，
所以
，
，则
，所以
，故①正确；
由
，得
，所以
，故②错误；
，所以
，故③正确；
，所以
，故④错误.
故不等式正确的是①③.
故答案为：A.
综合提升3.已知
，则（???
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】【解答】由
，则
为减函数，所以
；
根据幂函数的性质可得
，
故
.
故答案为：D.
【函数不等式问题】
例4.（1）已知函数
，则不等式
的解集为________.
【答案】
【解析】【解答】
时，
，则
，
时，
，则
，
综上，原不等式解集为
．
故答案为：
．
（2）不等式
的解集是________
【答案】
【解析】【解答】由对数函数的图象与性质，可知函数
在
上是单调递减函数，
所以不等式
等价于不等式组
?，解得
，
即不等式的解集为
.
变式1.已知函数f(x)＝
则满足f(x)≤2的x的取值范围是(?
?)．
A.?[－1,2]?????????????????????????????B.?[0,2]?????????????????????????????C.?[1，＋∞)?????????????????????????????D.?[－1，＋∞)
【答案】
D
【解析】【解答】当x≤1时，x2＋1≤2，得－1≤x≤1，
当x>1时，由1－log2x≤2，得log2x≥－1.∴x≥
，∴x>1，
综上可知，实数x的取值范围是x≥－1，
故答案为：D
变式2.已知
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，若实数
满足
，则
的取值范围是（
??）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】【解答】由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性可知不等式
等价于：
，则
，据此可得
，即
的取值范围是
.
故答案为：B.
变式3.不等式
的解集是________．
【答案】
【解析】【解答】设
，则
在
上单调递增，
，故
的解集为
，
即不等式
的解集是
，
故答案为：
．
变式4.已知
，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】【解答】原不等式等价于
或
解得
或
.故答案为:(
?
1
,
]
∪
[
1
,
+
∞
).
综合提高1.若
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是（
??）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【解析】【解答】∵函数y=
在区间（1，2）上单调递增，
∴当x∈（1，2）时，y=
∈（0，1），
若不等式
＜
恒成立，
则a＞1且1≤loga2
即a∈（1，2]，
故答案为：C．
综合提高2.若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是________．
【答案】
[1，＋∞)
【解析】【解答】∵4x+2x+1+m＞1对一切实数x成立，∴-m＜4x+2x+1-1对一切实数x成立，
令f（x）=4x+2x+1-1=（2x+1）2-2，∵2x＞0，∴（2x+1）2-2＞-1，即f（x）＞-1，
∴-m≤-1，即m≥1．故答案为[1，+∞）．
【函数图像问题】
例5.函数f(x)=ax?2＋loga(x?1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过定点________．
【答案】(2,2)
【解析】【解答】当x=2时，f(2)=a0＋loga1＋1=2，所以图象必经过定点(2,2)．故答案为:(2,2).
【分析】对于指数型函数,由a0=1,对数型函数由loga1=0,可得过定点的情形.
变式1.函数y＝loga（x?1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点________．
【答案】（2，1）
【解析】【解答】当x?1=1，即x=2时，不论a为何值，只要a>0且a≠1，都有y=1.故答案为:(2,1).
【分析】
对数型函数由loga1=0,可得到其过定点的坐标.
变式2.函数
的图象必经过定点________.
【答案】（1，-2）
【解析】【解答】
的图象恒过点
，则
的图象是由
的图象向右平移1个单位，且恒过点
，
的图象是由
的图象向下平移3个单位，且恒过点
．故答案为:(1,-2).
例6.当
时，函数
和
的图象只可能是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】【解答】当
时，指数函数
为增函数，二次函数
的图象开口向上，且函数
图象的对称轴为
轴，
因此，函数
和
的图象只可能是A选项中的图象.
故答案为：A.
变式1.函数
的大致图象是（???
）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
【答案】
B
【解析】【解答】函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
故答案为：B.
变式2.函数
图象是（???
）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
【答案】
A
【解析】【解答】根据指数函数的性质可得
递增函数，
函数
的图象是
的图象去掉
轴左侧图象，把右侧图象关于
轴对称即可.
故答案为：A
变式3.函数
的大致图象是（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】【解答】可知函数
是偶函数，排除C，D；
定义域满足：
，可得
或
.当
时，
是递增函数，排除A；
故答案为：B.
变式4.函数
与
的图象有可能是(??
)．
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????????D.?
【答案】
D
【解析】【解答】因为
为增函数，排除A、C，
由B,D可得
，
对于B中函数
的图象可以看出
，
则
的图象与
轴的交点应在原点下方，排除B.
故答案为：D.
综合提高1.函数y＝
的图象大致为（??
）
A.?????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【解析】【解答】
函数
在
是减函数，故排除B、C、D.
故答案为：A.
【分段函数问题】
例7.函数f（x）=
在x∈R内单调递减，则a的取值范围是________．
【答案】[
]
【解析】【解答】解：若函数f（x）=
在x∈R内单调递减，
则
解得
≤a≤
故答案为：[
]
变式1.若函数
的值域是
，则实数
的取值范围是________．
【答案】
【解析】【解答】当
时，
，即函数
在区间
上的值域为
.
由于函数
的值域为
，则函数
在区间
上单调递减，
且有
，即
，解得
.
因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
变式2.函数f（x）=
在x∈R内单调递减，则a的取值范围是________．
【答案】[
]
【解析】【解答】解：若函数f（x）=
在x∈R内单调递减，
则
解得
≤a≤
故答案为：[
]
变式3.若函数
是R上的单调递减函数，则实数
的取值范围为（??
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
【答案】
B
【解析】【解答】由题意，函数
是R上的单调递减函数，
则满足
且
，解得
，
即实数
的取值范围为
，
故答案为：B.
综合提升1.已知函数
若存在实数
且
使得函数
成立，则实数
的取值范围为________.
【答案】
【解析】【解答】当
时,函数
的图像如下图所示:
所以此时存在实数
使得
恒成立,
当
时,函数图像如下图2所示:
若存在实数
使得
恒成立,
则
,解不等式可得
综上可知,
实数
的取值范围为
或
故答案为:
综合提升2.已知函数
，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（??
）
A.?（1，10）???????????????????????B.?（5，6）???????????????????????C.?（10，12）???????????????????????D.?（20，24）
【答案】
C
【解析】【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
ab=1，
则abc=c∈（10，12）．
故选C．
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精品试卷·第
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指数与对数函数图像与性质
课前巩固：函数要素与基本性质：定义域，值域，对应关系，奇偶性，单调性等
【考点1：指数函数运算】
基本公式：（指数乘除乘方，负指数，分数指数，0的非正指数幂没有意义）
根式与指数关系：
；
奇数情况：
，；
的取值不受限制；
偶数情况：
，
的取值不受限制；
，此时。
【考点2：对数函数运算】
1.指数与对数的关系：即可表示为
2.基本公式：；
；
；
（难点）
；
；
；
；
3.特殊对数：常把以
为底的对数叫作常用对数，N的常用对数简记为
.以无理数为底数的对数叫作自然对数，N的自然对数简记为
.
【考点3：指数函数图像与性质】
1．指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___
R．
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点
过点(0,1)，即x＝0_时，y＝1
函数值的变化
当x>0时，y>1；当x<0时，0当x>0时，_01__
单调性
是R上的__增函数__
是R上的__减函数____
3.讨论a的大小与指数图像的关系：
【考点4：对数函数图像与性质】
1.
一般地，我们把函数（，且）叫做
，其中是自变量.
2.对数函数（，且）的性质：（1）定义域为
；（2）值域为
；（3）图象恒过定点
；（4）单调性：时，在上是
函数；时，在上是
函数
3.
对数函数与指数函数互为
，它们的图象关于
对称
4.对数函数的底越大，函数图象在轴上方的部分越
a>1
0图象
性质
定义域：（0，+∞）
值域：R
过点（1，0），即当时，
时，时
时，时
在（0，+∞）上是增函数
在（0，+∞）上是减函数
不同底数图像识记：
【函数定义域、值域求值问题】
例1.函数
的定义域为
???
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
变式1.函数
的定义域是________，值域是________．
【函数单调性与值域】
例2.函数
的单调递减区为________，值域为________．
变式1.函数
的单调递增区间是________．
变式2.（
，且
）在
上的最大值与最小值之和为
，则
（???
）
A.?3??????????????????????????????????????????B.???????????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????????D.?
【比较大小问题】
例3.已知
，
，
，则
，
，
的大小关系是（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
变式1.已知
，
，则
的大小关系为（???
）
A.????????????????????????????B.????????????????????????????C.????????????????????????????D.?
变式2.已知
，
，
，则
，
，
的大小关系是（???
）
A.?a＜b＜c?????????????????????????????B.?a＜c＜b?????????????????????????????C.?c＜b＜a?????????????????????????????D.?c＜a＜b
综合提升1.若
>1，
，则a，b，c的大小关系是（???
）
A.?a综合提升2.若3a－3b>2b－2a
，
则下列不等式正确的是（???
）
①ln(a－b＋1)>0；②ln(b－a＋1)>0；③ea－b－1>0；④eb－a－1>0
A.?①③?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?②③?????????????????????????????????????D.?②④
综合提升3.已知
，则（???
）
A.??????????????????????B.??????????????????????C.??????????????????????D.?
【函数不等式问题】
例4.（1）已知函数
，则不等式
的解集为________.
（2）不等式
的解集是________
变式1.已知函数f(x)＝
则满足f(x)≤2的x的取值范围是(?
?)．
A.?[－1,2]?????????????????????????????B.?[0,2]?????????????????????????????C.?[1，＋∞)?????????????????????????????D.?[－1，＋∞)
变式2.已知
是定义在
上的偶函数，且
在
上单调递增，若实数
满足
，则
的取值范围是（
??）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
变式3.不等式
的解集是________．
变式4.已知
，则实数x的取值范围是________．
综合提高1.若
时，不等式
恒成立，则
的取值范围是（
??）
A.?????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
综合提高2.若4x＋2x＋1＋m>1对一切实数x成立，则实数m的取值范围是________．
【函数图像问题】
例5.函数f(x)=ax?2＋loga(x?1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过定点________．
变式1.函数y＝loga（x?1）+1（a>0且a≠1）的图象恒过定点________．
变式2.函数
的图象必经过定点________.
例6.当
时，函数
和
的图象只可能是（???
）
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.??????????????????????????????????????????D.?
变式1.函数
的大致图象是（???
）
A.????????????????B.????????????????C.????????????????D.?
变式2.函数
图象是（???
）
A.??????????????B.??????????????C.??????????????D.?
变式3.函数
的大致图象是（???
）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
变式4.函数
与
的图象有可能是(??
)．
A.??????????????????????????????????????????B.?
C.???????????????????????????????????????????????D.?
综合提高1.函数y＝
的图象大致为（??
）
A.?????????????????????????????????B.?
C.?????????????????????????????????D.?
【分段函数问题】
例7.函数f（x）=
在x∈R内单调递减，则a的取值范围是________．
变式1.若函数
的值域是
，则实数
的取值范围是________．
变式2.函数f（x）=
在x∈R内单调递减，则a的取值范围是________．
变式3.若函数
是R上的单调递减函数，则实数
的取值范围为（??
）
A.??????????????????????????????B.??????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
综合提升1.已知函数
若存在实数
且
使得函数
成立，则实数
的取值范围为________.
综合提升2.已知函数
，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（??
）
A.?（1，10）???????????????????????B.?（5，6）???????????????????????C.?（10，12）???????????????????????D.?（20，24）
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