七年级数学一次不等式

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北 师 大 八 年 级《 数 学 ( 下 ) 》
课首
北 师 大 八 年 级 《 数 学 ( 下 ) 》
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知识结构总结：
一、不等关系
根据数量关系列不等式
1、X是正数
2、 a 是非负数
3、-x 不大于10
4、5-8的绝对值是非负数
5、 X-6不小于15
6、8-X 是非正数
什么是不等式
二、不等式的基本性质
1．不等式两边都加上（减去）同一个整式，
不等号方向不变．
２．不等式两边都乘以（除以）同一个正数，
不等号方向不变．
３．不等式两边都乘以（除以）同一个负数，
不等号方向
改变．
用不等号填空：（﹤、﹥、≥、≤）
（1）如果a﹤b,那么a-3 b-3,
a+4 b+4,-2a -2b,
7a 7b, 7a+6 7b+6
(2) 如果x≥y,那么x+5 y+5,
x-7 y-7,-9x -9y,
3x 3y, 3x-8 3y-8
三、不等式的解(集)、解不等式
能使不等式成立的未知数的值，
叫做不等式的解;
一个含有未知数的不等式的所有解，
组成这个不等式的解集.
求不等式解集的过程叫解不等式.
【不等式的解】
【不等式的解集】
【解不等式】
（1）x=10 是不等式 2x-2.5≥15 的解吗
是
在数轴上怎样表示不等式的一个解？
代入 验证。
（1）判断一个数是不是不等式的解，方法是 ——
x=12、13 呢
在数轴上用(折)射线表示不等式的解集
在数轴上表示不等式的解集——
画数轴、在数轴上方用(弯折的)射线表示.
当不等号中有等号时，射线的端点用“实心点”；
当不等号中无等号时，射线的端点用“空心点”。
在数轴上用(折)射线表示不等式的解集
3
4
2
5
6
7
1
0
-1
8
9
10
11
12
13
4
不等式 x-5 < -1 的解集是 x < 4 ，
试把这个解集表示在数轴上。
4
<
数轴上阴影部分所在的射线即为不等式的解集
3
4
2
5
6
7
1
0
-1
8
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10
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12
13
2
3
1
4
5
6
0
-1
-2
x≥8.75
x < 4
<
8.75
在解集内
4
不在解集内
画数轴
找点
画点
牵线
随堂练习
随堂练习
1、判断正误:
2、将下列不等式的解集表示在数轴上:
（1）x > 4 ; （2）x ≤ -1 ;
（3）x≥-2 ; （4） x ≤ 6。
（1）不等式 x - 1 > 0 有无数个解;
（2）不等式 2x - 3 ≤ 0 的解为 x≥ ;
“一元一次不等式”的定义
【一元一次方程 】
两个 “只含一个未知数、并且未知数的指数是1 的” 整式用等号连接起来的式子。
类比方程
共同特点:
不等式的两边都是整式,
只含一个未知数、并且未知数的(最高)指数是1 .
【一元一次不等式 】
两个 “只含一个未知数、并且未知数的指数是1 的” 整式用不等号连接起来的式子。
四、一元一次不等式
想 一 想
想一想
识别一元一次不等式
下列不等式中，哪些是一元一次不等式
(1) 3x+2>x–1 (2) 5x+3<0
(3)
+3<5x–1 (4) x(x–1)<2x
解一元一次不等式的步骤、依据
类比方程
去分母 去括号 移项 合并同类项
不等式两边同除以未知数的系数。
不等号不变 , 把一项从等式的一边移到另一边后要改变符号.
1. 解一元一次不等式的步骤：
解一元一次不等式的依据是 ；
3、解一元一次不等式时，它的移项法则是
2、不等式的基本性质是
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
不等式的三个性质
填空：(1) 已知 x+5≥3，依据 ，
可得它的解集 ；
(2) 已知 -2x ≤3，依据 ，
可 得它的解集 .
不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
随堂练习
随堂练习
（1）6 - 2x > 0 ;
（3）x - 4 ≥ 2(x+2) ;
1、解下列不等式 , 并把它们的解集表示在数轴上.
（2）2(1 - 3x ) > 3x + 20 ;
（4） .
解一元一次不等式的注意事项
2. 要注意区分“大于”、“不大于”、“小于”、“不小于”
等数学语言的使用，并把这些表示不等关系的语言
用数学符号准确的表达出来。
3. 在数轴上表示解集应注意的问题：
方向、空心或实心.
1、在运用 性质3 时 要特别注意：
不等式两边都乘以或除以同一个负数时，要改变不等号的方向.
五、解不等式或不等式组并在数轴上表示解集
(1) 2(X+5) ＞4
　X+5 ＞2
X＞－3
(２) 2X－3 ≤3(X－3)
去分母　2X－3≤3X－9
移项并合并同类项　Ｘ≥６
2(X+2)＜X+7
3(X-2)+8＞2X
X＜3
X＞－2
解集: -2 ＜X ＜3
2X+4＜X+7
3X-6-8＞2X
X+1＜3-X
4(2X-2) ＞4X+3(X-2)
X＜1
X＞2
没有公共部分,此不等式组无解
同大取大,同小取小,
大小、小大取中间,
大大、小小解不了.
的整数解的个数是：
　　A、1　　　B、2　　　C、3　　　D、0
3. 不等式组
4. 若不等式组
的解集为x>3，则m的取值范围是：
　　A、m≥3　　　B、m=3　　　C、m<3　　　D、m≤3
　　D、
5. 某商品原价5元，如果跌价x％后，仍不低于4元，
那么（ ）
A x≤20 B x＜20 C x≥20 D x＞20
练习
六、一次函数与 不等式
“关于一次函数的值的问题”
可变换成 “关于一次不等式的问题” ；
反过来， “关于一次不等式的问题”
可变换成 “关于一次函数的值的问题”。
因此，
我们既可以运用函数图象解不等式 ，
也可以运用解不等式帮助研究函数问题 ，
二者相互渗透 ，互相作用。
不等式与 函数 、方程 是紧密联系着
的一个整体 。
如果 y=-2x-5 , 那么当 x 取何值时 , y>0
你解答此道题, 可有几种方法
想 一 想
法一:
将函数问题转化为不等式问题.
即 解不等式
-2x- 5 > 0 ;
法二:
图象法。
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
由图易知，
当 x
< -2.5时 y>0 .
用“函数图象法”及“解不等式法”解函数问题
7.一次函数的图象如图所示，当－3A、x>4 B、0C、0C
七、一元一次不等式组的应用
列一元一次不等式 解应用题的一般步骤：
(1) 审：
(2) 设：
(4) 找：
(5) 列：
(6) 解：
(7) 答：
(3) 译:
分析题目中已知什么，求什么，
明确各数量之间的关系.
设适当的未知数.
(翻译)用所设元的式子表达相关内容.
找出题目中的所有的不等关系.
列出含同一未知元的不等式.
求出不等式 的解集.
写出符合题意的答案.
列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
组.
组
例1. 一群女生住若干间宿舍,每间住4人,剩19人无房住;每间住6人,有一间宿舍住不满,
1.设有x间宿舍,请写出x应满足的不等式组;
2.可能有多少间宿舍,多少名学生
思路分析
这里有X间宿舍,每间住4人,剩下19人,因此学生人数为4X+19人,若每间住6人,则有一间住不满, 这 是什么不等关系呢 你明白吗
4X+19
0人到6人之间
最后一间宿舍
6
6
6
6
(X-1)间宿舍
列不等式组为: 0<4x+19-6(x-1)<6
可以看出: 0<最后一间宿舍住的人数<6
例2: 某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划利用这两种原料生产A,B两种产品共50件,已知生产一件A产品需要甲原料9kg,乙原料3kg,生产一件B产品需要甲原料4kg,乙原料10kg，
（1）设生产X件A种产品，写出X应满足的不等式组。
（2）有哪几种符合的生产方案？
（3）若生产一件A产品可获利700元，生产一件B产品可获利1200元，那么采用哪种生产方案可使生产A、B两种产品的总获利最大？最大利润是多少？
思路分析：
（1）本题的不等关系是：
生产A种产品所需的甲种原料≤360
生产B种产品所需的乙种原料≤290
根据上述关系可列不等式组：
例2: 某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划利用这两种原料生产A,B两种产品共50件,已知生产一件A产品需要甲原料9kg,乙原料3kg,生产一件B产品需要甲原料4kg,乙原料10kg，
（1）设生产X件A种产品，写出X应满足的不等式组。
（2）有哪几种符合的生产方案？
（3）若生产一件A产品可获利700元，生产一件B产品可获利1200元，那么采用哪种生产方案可使生产A、B两种产品的总获利最大？最大利润是多少？
解：（1）根据上述关系可列不等式组：
9x+4(50-X)≤360
3x+10(50-x)≤290
解得：30≤X≤32
（ 2 ） 可有三种生产方案：A种30件，B种20件或A种31件，B种19件或A种32件，B种18件
（3）可建立函数模型：设总利润为Y元，则有
Y=700 X +1200（50-X）
=-500X+60000
所以当X=30时，Y的值最大，是45000元