河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

洛阳市2020—2021学年第一学期期末考试
高一数学试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知是，直线总经过点（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 10
4. 已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（ ）
A. 2 B. 6 C. D. 8
6. 已知 为不同的直线，为不同的平面，有下列四个命题：
① ② ③ ④.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ）
A 1，3 B. ， C. -2，0 D. ，
8. 已知函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
10. 已知函数为偶函数，那么函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知圆，圆，两圆公切线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
12. 已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，AE⊥平面，平面，且.点Q为DF的中点，点P是CE上的动点，则PQ长的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知三角形的三个顶点是，，，则此三角形边上的中线所在直线的方程为______.
14. 四棱锥中，底面是正方形，各条棱长均为2.则异面直线与所成角的大小为______.
15. 已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______.
16. 在棱长为9的正方体中，点，分别在棱，上，满足，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为______.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知点，到直线的距离相等.
（1）求实数值；
（2）已知，试求上点的坐标，使得，，构成以为直角顶点的直角三角形.
18. 在棱长为2的正方体中，是底面的中心.
（1）求证:平面;
（2）求点到平面的距离.
19. 已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）若关于的方程恰有三个解，求实数的取值范围.
20. 如图.在三棱锥中,平面,,于点,于点,,.
(1)求；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
21. 已知奇函数与偶函数满足：.
（1）求函数与解析式；
（2）若对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
22. 点，圆，动点P在圆B上，Q为PA中点，直线.
（1）求点Q的轨迹E的方程；
（2）若直线l与曲线E交于不同两点S，T，坐标原点为O，当△OST的面积为，
∠SOT为锐角时，求斜率k的值；
（3）若k=1，当过直线l上的点C能作曲线E的两条切线时，设切点分别为M，N，直线MN是否过定点？若过定点，请求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.
洛阳市2020—2021学年第一学期期末考试
高一数学试卷（解析）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可根据特殊元素与集合的关系作答.
【详解】A. 为偶数，故，故
B. ，故B错
C. ，故错
D. ,故D错
故选：A
2. 已知是，直线总经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
把整理成，根据方程特点可得答案.
【详解】由得，
对于总成立， ，所以，
即总经过点是.
故选：B.
3. 已知，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 7 D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】
由求出a、b，表示出，进而求出的值.
【详解】,
.
故选：A
【点睛】指对数混合运算技巧：
(1)指数的运算一般把各个部分都化成幂的结构，利用幂的运算性质；
(2)对数的运算一般把各个部分都化成幂的同底结构，利用对数的运算性质；.
(3)有时会进行指、对数互化.
4. 已知圆经过原点，，三点，则圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆的方程为，
解方程组即得解.
【详解】设圆的方程为，
把点，，代入得
，
解得，，，
所以圆的方程是．
故选：D．
【点睛】方法点睛：求圆的方程，一般利用待定系数法，先定式（一般式和标准式），再定量.
5. 已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（ ）
A. 2 B. 6 C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可.
【详解】由直观图可得原图形如图，
根据斜二测画法可知，,
在中, ,
又,
所以四边形的周长为,
故选：D
6. 已知 为不同的直线，为不同的平面，有下列四个命题：
① ② ③ ④.
其中正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面平行的判断定理判断①，根据线面垂直，面面垂直的性质定理判断②③④.
【详解】①不成立，缺少这个条件；②不成立，不满足线面垂直的判断定理；③不成立，缺少条件；④正确，根据面面垂直的性质定理判断.
故选：A
7. 已知点与关于直线对称，则的值分别为（ ）
A. 1，3 B. ， C. -2，0 D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
点关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段的中点在直线上，列式求解.
【详解】，若点与关于直线对称，
则直线与直线垂直，直线的斜率是，
所以，得.
线段的中点在直线上，则，得
故选:B
8. 已知函数在区间内有零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数零点问题，转化为，成立，求函数的值域.
【详解】在区间内有解，转化为，成立，
，时，.
故选：C
9. 如图网格中是某几何体的三视图（网格中每个小正方形的边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图还原几何体，计算体积即可.
详解】
还原几何体如图，为四棱柱，底面积为，高为2
故体积为：2
故选：A
10. 已知函数为偶函数，那么函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据是偶函数求出，代入中求解定义域即可
【详解】为偶函数，故对称轴为，故
则且
解之得
故选：B
11. 已知圆，圆，两圆公切线的条数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断两圆的位置关系，再判断公切线条数.
【详解】圆，圆心，半径，
圆，圆心，半径，
圆心距，，
所以两圆相外切，公切线条数是3条.
故选：C
12. 已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，AE⊥平面，平面，且.点Q为DF的中点，点P是CE上的动点，则PQ长的最小值为（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意，以A为原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AE为z轴正方向，建立空间直角坐标系，把PQ转化为，利用二次函数求最小值.
【详解】
如图示，以A为原点，AD为x轴正方向，AB为y轴正方向，AE为z轴正方向，建立空间直角坐标系，则A（0,0,0）、D（2,0,0）、C（2,2,0）、E（0,0,2）、F（2,0,2）、Q（2,0,1）、
设P（x,y,z）,由点P是CE上的动点，知,即，故P(x,x,2-x),
所以
当时
故PQ长的最小值为.
故选：A
【点睛】向量法解决立体几何问题的关键：
(1)建立合适的坐标系；
(2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知三角形的三个顶点是，，，则此三角形边上的中线所在直线的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】
先求线段的中点的坐标，再求直线的方程.
【详解】，，线段的中点是，即，
，所以三角形边上的中线所在直线的方程为，即.
故答案为：
14. 四棱锥中，底面是正方形，各条棱长均为2.则异面直线与所成角的大小为______.
【答案】60°
【解析】
【分析】
根据AB∥CD,得到异面直线与所成角即为∠VCD,由△ VCD为等边三角形，即可求解.
【详解】
如图示，因为是正方形，所以AB∥CD,
所以异面直线与所成角即为∠VCD.
又各条棱长均2，所以△ VCD为等边三角形，
所以∠VCD=60°，异面直线与所成角的大小为60°.
故答案为：60°
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；
(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
15. 已知定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
可求出分段函数在时的解析式，分两种情况解不等式，求并集.
【详解】当时，，，则
当时，，故，，则
，则，则，则此时
综上有
故答案为：
【点睛】利用给定性质求函数在某一段的解析式，此类问题的一般做法是：
①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，就设定在哪个区间.
②利用给定的性质，将要求的区间转化到给定解析式的区间上.
③利用已知区间的解析式进行代入，解出
16. 在棱长为9的正方体中，点，分别在棱，上，满足，点是上一点，且平面，则四棱锥外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】
以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，设，由平面可得P点的坐标，根据四棱锥的特点可得外接球的直径可得答案.
【详解】以为原点，，，分别为轴建立空间直角坐标系，
，由，
则，，，设，
， ，
设平面的法向量为，
则，即，不妨令，则，
得，因为平面，
所以，即，解得，
所以，
由平面，且底面是正方形，
所以四棱锥外接球的直径就是，
由，得，
所以外接球的表面积.
故答案为：.
【点睛】本题考查了四棱锥外接球的表面积的求法，关键点是建立空间直角坐标系，确定球的半径，考查了学生的空间想象力和计算能力.
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知点，到直线的距离相等.
（1）求实数的值；
（2）已知，试求上点的坐标，使得，，构成以为直角顶点的直角三角形.
【答案】（1）或；（2）点的坐标为或.
【解析】
【分析】
（1）由点到直线的距离公式建立等式求解的值；
（2）可求出以为直径的圆的方程，与直线的方程联立即得点的坐标.
【详解】（1）由点到直线的距离公式知：，
即，
或，
或.
（2），的中点为
，以为直径的圆的方程为，
直角三角形的直角顶点是以为直径的圆与直线的交点.
设，故满足
由知，，直线，
又在上
联立方程
消去得：，
或.
或
点的坐标为或.
【点睛】①，，构成以为直角顶点的直角三角形，等价于以为直径的圆过点，且，，三点不共线.
②处理圆与直线交点问题时，可由圆心到直线的距离与半径作比较，得出位置关系.联立两者方程，可求出交点坐标.
18. 在棱长为2的正方体中，是底面的中心.
（1）求证:平面;
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接，设，连接，证明是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明.
（2）由题意可得平面平面，过点作于，在矩形中，连接，可得，由三角形相似，对应边成比例即可求解.
【详解】（1）证明：连接，设，连接.
且，
是平行四边形.
.
又平面，平面，
平面.
（2），，且，
平面.
平面平面，且交线为.
在平面内，过点作于，则平面，
即的长就是点到平面的距离.
在矩形中，连接，，则，
.
即点到平面距离为.
【点睛】关键点点睛：本题考查了线面平行的判定定理，点到面的距离，解题的关键是过点作于，得出的长就是点到平面的距离，考查了计算能力.
19. 已知函数.
（1）若，求实数的值；
（2）若关于的方程恰有三个解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）令，分和两种情况解方程，求出a的值；
（2）在同一坐标系内分别作出和的图像，观察交点的个数求出的取值范围.
【详解】（1）当，即，解得，均满足条件.
当时，，，无解.
故.
（2）
如图示，在同一坐标系内分别作出和的图像，
当时，单调递增，；
当时，在上递减，
在上递增，.
故当时，方程恰有三个解，即实数的取值范围是.
【点睛】分离参数法求参数的范围：数形结合求零点个数的问题是转化为，分别做出和的图像，观察交点的个数即为零点的个数，根据交点个数求出的取值范围.
20. 如图.在三棱锥中,平面,,于点,于点,,.
(1)求；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】
【分析】
(1)利用线面垂直的判定可证得平面,则平面平面,由,进而可得平面,即可证得结论.
(2)由平面,则就是在平面内的射影,即为与平面所成的角,计算即可求得结果.
【详解】(1)证明：平面,平面.
.
又,,
平面.
平面平面.
又平面平面,平面,,
平面.
又平面
.
(2)由(1)知平面,连结,
则就是在平面内的射影.
就是与平面所成的角.
,,,.
.
在中,.
与平面所成角的正弦值为.
21. 已知奇函数与偶函数满足：.
（1）求函数与的解析式；
（2）若对任意实数，都有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）用代替代入中，得到另外一个式子，用方程思想求解与的解析式即可.
（2）化简不等式，分离参数，转化为求值域的问题.
【详解】（1）用代替代入中，得，
是奇函数，是偶函数，，
上式与联立，可得，.
（2）即，.
令，则.
，，，，.
，即实数的取值范围是.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
22. 点，圆，动点P在圆B上，Q为PA的中点，直线.
（1）求点Q的轨迹E的方程；
（2）若直线l与曲线E交于不同的两点S，T，坐标原点为O，当△OST的面积为，
∠SOT为锐角时，求斜率k的值；
（3）若k=1，当过直线l上的点C能作曲线E的两条切线时，设切点分别为M，N，直线MN是否过定点？若过定点，请求出该点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）直线过定点.
【解析】
【分析】
（1）由Q为PA的中点，得，点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，直接写出圆的方程；
（2）利用垂径定理，把△OST的面积表示出来，求出斜率k；
（3）先表示出MN的方程，在整理成点斜式，证明过定点（-2,2）.
【详解】（1）由题意知，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，其方程为.
（2）设到直线的距离为，则
由△OST面积为，得，解得或1.
当时，为钝角，舍去，故.
，解得.
（3）当时，.
，，，，，四点在以为直径的圆上.
设，则以为直径的圆的方程为
即.
.
设，，则，.
，的坐标都适合方程，
即直线的方程为，可整理为，
直线过定点.
【点睛】（1）待定系数法、定义法是求二次曲线标准方程的常用方法；
（2）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算
（3）证明直线过定点，通常有两类：①直线方程整理为斜截式y=kx+b，过定点(0,b)；②直线方程整理为点斜式y - yo=k(x- x0)，过定点(x0,y0) ．