5.2 二次函数的图像和性质（第6课时）课件（共30张PPT）

5.2 二次函数的图像和性质
（第6课时）
第5章 二次函数
2020-2021学年度苏科版九年级下册
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口
对称性
顶点
增减性
回顾：二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
当x<0时，y随x的增大而减小
当x>0时，y随x的增大而增大
k>0
k<0
k<0
k>0
(0，k)
当x<0时，y随x的增大而增大
当x>0时，y随x的增大而减小
分析
我们已经知道 = + 的图象
与函数 = 的图象之间的关系
试一试
向右平移
2个单位
向上平移
1个单位
=
=
+
=
+
+
试一试
向右平移
2个单位
向上平移
1个单位
=
=
+
=
+
+
试一试
（1）填写下表
的图象
的图象
的图象
开口方向
对称轴
顶点
向上
y轴
(0，0)
向上
x=2
(2，0)
向上
x=2
(2，1)
=
=
=
+
+
+
我来试一试
你能找到函数
与函数 的图象之间的关系吗
=
+
+
=
试一试
向上平移
1个单位
向上平移
1个单位
向右平移
2个单位
向右平移
2个单位
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时， 开口向上；
当a<0时，开口向下；
(2)对称轴是直线x=h；
(3)顶点是(h，k).
当a>0时，抛物线y=a（x-h)2+k的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，函数取得最 值，这个值等于 ；
当a<0时，抛物线y=a (x-h)2+k开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，
当x= 时，函数取得最 值，这个值等于 .
h
k
向上
x=h
(h，k)
小
向下
(h，k)
增大
减小
h
大
k
观
察
思
考
x=h
这是函数 的性质哦!
减小
增大
练习
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1 ， －2 )
向下
向下
( 3 ， 7)
( 2 ， －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3， 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗?
练习
练习
y= ?2(x+3)2-2
画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？.
y= 2(x-3)2+3
y= ?2(x-2)2-1
y= 3(x+1)2+1
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同.
及时小结
y=a(x-h)2 +k(a≠0)
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上
向下
(h ，k)
(h ，k)
x=h
x=h
当x当x>h时，y随着x的增大而增大.
当x当x>h时，y随着x的增大而减小.
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下和左右平移得到.
练习
开口方向
对称轴
顶点坐标
a>0
a<0
向上
向下
x=h
x=h
(h ， k)
(h ， k)
3.试说出函数 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表.
怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
函数y=ax?+bx+c的图象
我们知道，作出二次函数y=3x2的图象，通过平移抛物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
1.配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简:去掉中括号
老师提示:
配方后的表达式通常称为配方式或顶点式
y=3(x2-2x)+5
y=3(x2-2x+1-1)+5
y=3[(x-1)2-1]+5
y=3(x-1)2+2
直接画函数y=ax?+bx+c的图象
4.画对称轴，描点，连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2的图象．
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向，对称轴，顶点坐标.
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…

…
…
3.列表:根据对称性，选取适当值列表计算.
…
29
14
5
2
5
14
29
…
∵a=3>0，∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1，2).
学了就用，别客气
?
作出函数y=2x2-12x+13的图象.
X=1
●(1，2)
X=3
●(3，-5)
例 画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，并指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值.
分析：要画出二次函数y=-x2-4x-5的图像，可先将函数表达式变形为y=a(x+h)2+k的形式.
解： y=-x2-4x-5
=-(x2+4x+4-4)-5
=-(x+2)2-1.
二次项系数-1<0，函数图像开口向下，顶点坐标是（-2，-1),对称轴是过点（-2，-1）且平行于y轴的直线．
二次函数y=-x2-4x-5的图像如图5-8.
当x=-2时，y有最大值，最大值是-1.
例.求次函数y=ax?+bx+c的对称轴和顶点坐标．
函数y=ax?+bx+c的顶点式
一般地，对于二次函数y=ax?+bx+c，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.
1.配方:
提取二次项系数
配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方
整理:前三项化为平方形式，后两项合并同类项
化简:去掉中括号
老师提示:
这个结果通常称为求顶点坐标公式.
顶点坐标公式
因此,二次函数y=ax?+bx+c的图象是一条抛物线.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
已知二次函数
(1)当m取何值时，函数图象关于y轴对称;
(2)当m取何值时，函数图象与y轴交点纵坐标是1;
(3)当m取何值时，函数最小值是-2.
练习
指出下列抛物线的开口方向、求出
它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交
点坐标、与x轴的交点坐标.并画出
草图.
请你总结函数
函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质
想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a，b和c的符号确定
由a，b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
结束寄语
探索是数学的生命线.
谢谢聆听