1．下列说法正确的是( )
A．海王星和冥王星是人们依据实验观察而直接发现的
B．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C．天王星的运动轨道偏离根据万有引力定律计算出来的轨道，其原因是由于天王星受到轨道外面其他行星的引力作用
D．以上说法均不正确
解析：选C.海王星的发现是因为在1781年发现的天王星的运行轨道，总是与万有引力定律计算出来的有一定的偏离，经过计算、预测、观察发现了海王星，冥王星的发现是基于同样的原理．所以天王星的轨道偏离是因为受其他行星引力的作用，C正确．
2．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T.仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( )
A．月球的质量
B．地球的质量
C．地球的半径
D．月球绕地球运行速度的大小
解析：选BD.由G＝mR有：
M＝.
故可计算地球的质量．
又v＝，所以还可估算月球绕地球运行速度的大小．
3．两颗人造卫星A、B绕地球做圆周运动，周期之比为TA∶TB＝1∶8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为( )
A．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝1∶2
B．RA∶RB＝4∶1，vA∶vB＝2∶1
C．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝1∶2
D．RA∶RB＝1∶4，vA∶vB＝2∶1
解析：选D.G＝m·R
∴R∝
又∵TA∶TB＝1∶8，
RA∶RB＝1∶4 v＝
∴vA∶vB＝2∶1.
4．(2011年高考江苏卷)一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v.引力常量为G，则( )
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
解析：选ACD.行星绕恒星转一圈，运行的距离等于圆的周长，即2πr＝vT得r＝，故C正确；a＝rω2＝r＝，故D正确；由G＝mr得M＝，故A正确；行星绕恒星的运动与其自身质量无关，行星的质量由已知条件求不出来，故B错误．
5．某行星的自转周期为T＝6 h，用弹簧秤在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧秤在赤道上的读数比在两极上的读数小10%(行星视为球体)．
(1)该行星的平均密度是多大？
(2)设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，这时的自转周期是多少？
解析：(1)在两极，因物体随行星自转半径为零，无需向心力，其万有引力等于重力，即G＝mg；在赤道上，万有引力产生了两个作用效果，一是让物体随行星一起自转，需要自转向心力，二是让物体来挤压地面，产生重力．即在赤道上，我们把物体所受到的万有引力分解为自转向心力和重力G＝mg′＋mR
所以mg－mg′＝0.1×G＝mR
该行星的质量为M＝
密度为ρ＝＝＝3.1×103 kg/m3.
(2)对物体原来有：0.1G＝mR＝ma向
物体“飘”起来时有：G＝ma向′＝mR
由上面两式联立得T1＝T＝×6 h＝1.9 h.
答案：(1)3.1×103 kg/m3
(2)1.9 h
一、选择题
1．发现海王星的天文学家是( )
A．哈雷、吉尔伯特 B．开普勒、哥白尼
C．勒维烈、亚当斯 D．牛顿、第谷
解析：选C.海王星是勒维烈与亚当斯根据万有引力定律，通过计算各自独立地发现的，故C正确．
2．关于万有引力定律的应用，下列说法正确的是( )
A．可以预言未知天体的轨道和位置
B．可以计算天体的运行周期
C．能够计算环绕天体的质量
D．在天体的运行中，万有引力提供向心力
解析：选ABD.发现万有引力定律之后，天文学家根据万有引力定律通过计算预言了海王星的轨道和位置，计算出了彗星的周期和中心天体的质量而不能计算环绕天体的质量．故C错误．在天体的运行中向心力是由万有引力提供的，故A、B、D均正确．
3．要计算地球的质量，除已知的一些常数外还须知道某些数据，现给出下列各组数据，可以计算出地球质量的有哪些( )
A．地球半径R
B．卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r和线速度v
C．卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
D．地球公转的周期T′及运转半径r′
解析：选BC.设有相对于地面静止的某一物体质量为m，地球的质量为M，根据地面上的物体所受万有引力和重力近似相等的关系得
G＝mg，解得M＝.
所以选项A正确．
设卫星的质量为m，根据万有引力提供卫星运转的向心力，可得＝m·，即M＝.
所以选项B正确．
再根据T＝，得M＝＝＝.
所以选项C正确．
若已知地球公转的周期T′及运转半径r′，只能求出地球所围绕的中心天体——太阳的质量，不能求出地球的质量，所以选项D错误．
4．(2011年高考福建卷)“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期T.已知引力常量为G，半径为R的球体体积公式V＝πR3，则可估算月球的( )
A．密度 B．质量
C．半径 D．自转周期
解析：选A.因“嫦娥二号”在月球表面附近的圆轨道上运行，所以其轨道半径即为月球半径．根据万有引力提供向心力可知＝m·R，化简得M＝，又V＝πR3，联立消去R3可得ρ＝＝，故A正确．
5．(2011年高考四川卷)据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55 Cancrie”，该行星绕母星(中心天体)运行的周期约为地球绕太阳运行周期的，母星的体积约为太阳的60倍．假设母星与太阳密度相同，“55 Cancrie”与地球均做匀速圆周运动，则“55 Cancrie”与地球的( )
A．轨道半径之比约为
B．轨道半径之比约为
C．向心加速度之比约为
D．向心加速度之比约为
解析：选B.由万有引力提供向心力＝m2·r和M＝ρV，得出r∝ ，计算知B正确；由向心加速度a＝2·r，再结合r∝，得a∝，计算知C、D错误．
6．科学家们推测，太阳系还有一颗行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信息可以确定( )
A．这颗行星的公转周期与地球相等
B．这颗行星的半径等于地球的半径
C．这颗行星的密度等于地球的密度
D．这颗行星上同样存在着生命
解析：选A.因只知道这颗行星的轨道半径，所以只能判断出其公转周期与地球的公转周期相等．由G＝m可知，行星的质量在方程两边可以消去，因此无法知道其密度．
7．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.飞船在月球表面飞行时，由重力充当向心力，
mg＝m，v＝，又因为h＝gt2，g＝2h/t2，所以v＝/t，B正确．
8．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设飞船的质量为m，它做圆周运动的半径为行星半径R，则G＝m()2R，所以行星的质量M＝，行星的平均密度ρ＝＝＝，B项正确．
9．土星周围有美丽壮观的“光环”，组成环的颗粒是大小不等、线度从1 μm到10 m的尘埃、岩石，类似于卫星，它们与土星中心的距离从7.3×104 km延伸到1.4 ×105 km.已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为14 h，引力常量为6.67×10－11N·m2/kg2，则土星的质量约为(估算时不考虑环中颗粒间的相互作用)( )
A．9.0×1016 kg B．6.4×1017 kg
C．9.0×1025 kg D．6.4×1026 kg
解析：选D.对外缘的颗粒，由万有引力提供向心力，得G＝m()2r，所以M＝.将r＝1.4×105 km，T＝14 h代入即可得D正确．
二、非选择题
10．有两颗人造卫星，都绕地球做匀速圆周运行，已知它们的轨道半径之比r1∶r2＝4∶1，求这颗卫星的：(1)线速度之比；(2)角速度之比；(3)周期之比；(4)向心加速度之比．
解析：(1)由G＝m得v＝
所以v1∶v2＝1∶2
(2)由G＝mω2r得ω＝
所以ω1∶ω2＝1∶8
(3)由T＝得T1∶T2＝8∶1
(4)由G＝ma得a1∶a2＝1∶16.
答案：(1)1∶2 (2)1∶8 (3)8∶1 (4)1∶16
11．两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两行星中心距离为R，其周期为T.求两行星的总质量．
解析：由万有引力定律得：G＝m1ω2R1
所以＝ω2R1，即m2＝
同理：G＝m2ω2R2，所以m1＝，即
m1＋m2＝
又因为R1＋R2＝R，所以m1＋m2＝，而ω＝
解得：m1＋m2＝.
答案：m1＋m2＝
12．土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两颗岩石颗粒A和B与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km.忽略所有岩石颗粒间的相互作用．(结果可用根式表示)
(1)求岩石颗粒A和B的线速度之比．
(2)求岩石颗粒A和B的周期之比．
(3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出它在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N．已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍．
解析：(1)设土星质量为M0，颗粒质量为m，颗粒距土星中心距离为r，线速度为v，根据牛顿第二定律和万有引力定律：＝
解得v＝，对于A、B两颗粒分别有vA＝和vB＝，解得＝.
(2)设颗粒绕土星做圆周运动的周期为T，则T＝
对于A、B两颗粒分别有TA＝和TB＝，解得
＝.
(3)设地球质量为M，地球半径为r0，地球上物体的重力可视为万有引力，探测器上物体质量为m0，在地球表面重力为G0，距土星中心r0′＝3.2×105 km处的万有引力为G0′，根据万有引力定律G0＝，G0′＝
解得＝95.
答案：(1) (2) (3)951．关于万有引力，下列说法正确的是( )
A．万有引力只有在天体之间才能明显表现出来
B．一个苹果由于质量很小，所以它受的万有引力几乎可以忽略
C．地球对人造卫星的万有引力远大于卫星对地球的万有引力
D．地球表面的大气层是因为万有引力的约束而存在于地球表面附近
解析：选D.自然界中任何两个物体之间都有相互吸引的力的作用，故A错误；苹果质量虽小，但由于地球质量很大，故引力不可忽略，B错误；物体间的引力是相互的，由牛顿第三定律知等大，故C错误．
2．关于行星绕太阳运动的正确说法是( )
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处
C．离太阳越近的行星运动的周期越长
D．所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等
解析：选D.不同的行星围绕太阳运动的椭圆轨道不同，A项错；太阳处在所有椭圆的一个焦点上，B项错；由＝k知，离太阳越近，周期越短，C项错；正确答案是D.
3．人造卫星受到地球的万有引力为F，且F＝G，下列说法正确的是( )
A．F的方向指向地心
B．式中r是卫星到地面的距离
C．由于卫星的质量m小于地球的质量M，所以卫星对地球的引力F′小于F
D．卫星对地球的引力F′与F是作用力和反作用力
解析：选AD.万有引力的方向应沿两质点的连线，地球的全部质量可以看成集中在地心，所以A正确．公式中r应为卫星到地心的距离，所以B错误．两物体间的万有引力是相互的，互为作用力与反作用力，所以C错误，D正确．
4．设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速度为g，则g/g0为( )
A．1 B．1/9
C．1/4 D．1/16
解析：选D.地球表面处的重力加速度和在离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有F＝G＝mg，故＝()2＝＝1/16.
5．某物体在地面上受到的重力为160 N，将它放置在卫星中，在卫星以a＝g的加速度随火箭向上加速升空的过程中，当物体与卫星中支持物的相互挤压力为90 N时，卫星距地球表面有多远？(地球半径R地＝6.4×103 km，g取10 m/s2)
解析：卫星在升空过程中可以认为是竖直向上做匀加速直线运动，设卫星离地面高度为h，这时受到地球的万有引力为
F＝G
在地球表面G＝mg①
在上升至离地面高度为h时
N－G＝ma②
由①②式得＝
h＝( －1)R地③
将m＝16 kg，N＝90 N，a＝g＝5 m/s2，R地＝6.4×103 km代入③得h＝1.92×104 km.
答案：1.92×104 km
一、选择题
1．关于开普勒第三定律的公式＝k，下列说法中正确的是( )
A．公式只适用于绕太阳做椭圆轨道运行的行星
B．公式适用于所有围绕星球运行的行星(或卫星)
C．式中的k值，对所有行星(或卫星)都相等
D．式中的k值，对围绕不同星球运行的行星(或卫星)都相同
解析：选B.开普勒运动定律不仅适用于椭圆运动，也适用于圆周运动，不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕行星的运动．式中的k是与中心星体的质量有关的．
2．关于引力常量，下列说法正确的是( )
A．引力常量是两个质量为1 kg的物体相距1 m时的相互吸引力
B．牛顿发现了万有引力定律时，给出了引力常量的值
C．引力常量的测定，证明了万有引力的存在
D．引力常量的测定，使人们可以测出天体的质量
解析：选CD.引力常量的大小等于两个质量是1 kg的物体相距1 m时的万有引力的数值，而引力常量不能等于物体间的吸引力，选项A错误；牛顿发现了万有引力，但他并未测出引力常量，引力常量是卡文迪许巧妙地利用扭秤装置在实验室中第一次比较精确地测出的，所以选项B错误；引力常量的测出，不仅证明了万有引力的存在，而且也使人们可以测出天体的质量，这也是测出引力常量的意义所在．
3．关于万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看成质点的两物体间不存在相互作用的引力
B．只有能看成质点的两物体间的引力才能用F＝G计算
C．由F＝知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常量的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N·m/kg2
解析：选C.任何物体间都存在相互作用的引力，故称万有引力，A错；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们间的引力增大，C对；引力常量G是由卡文迪许精确测出的，D错．
4．设想把质量为m的物体放到地球的中心，地球的质量为M，半径为R(把地球看成质量分布均匀的球体)，则物体与地球间的万有引力是( )
A．G B．无穷大
C．零 D．无法确定
解析：选C.设地球的质量是均匀分布的，将地球看成是由无数质点组成的，各质点对放在地球中心的物体都有万有引力作用，由对称性可知，放在地球中心的物体受到的地球各质点的万有引力的合力为零，正确选项为C.
5．两大小相同的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A．2F B．4F
C．8F D．16F
解析：选D.小铁球之间的万有引力F＝G＝G
大铁球半径是小铁球半径的2倍，其质量分别为小铁球m＝ρV＝ρ·(πr3)
大铁球M＝ρV′＝ρ[π(2r)3]＝8ρ·πr3＝8m
故两个大铁球间的万有引力
F′＝G＝G＝16G＝16F.
6．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球轨道半径的，则此卫星运行的周期大约是( )
A．1天～4天 B．4天～8天
C．8天～16天 D．大于16天
解析：选B.设月球绕地球运动的轨道半径为r月，周期T月＝27天；人造卫星绕地球运动的轨道半径为r卫，周期为T卫．
根据开普勒第三定律得
＝k1，＝k2.
因为都绕地球运动，所以k1＝k2，即＝.
所以T卫＝T月＝27天＝5.2天，故B正确．
7．1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6400 km，地球表面重力加速度为g，这个小行星表面的重力加速度为( )
A．400g B.g
C．20g D.g
解析：选B.星球表面上mg＝G，星球质量M＝πR3·ρ，所以g＝ρGπR.＝，所以g′＝g.
8．某行星沿椭圆轨道运动，远日点离太阳的距离为a，近日点离太阳的距离为b，过远日点时行星的速率为va，则过近日点时的速率为( )
A．vb＝va B．vb＝
C．vb＝va D．vb＝
解析：
选C.如图所示，A、B分别为远日点、近日点，由开普勒第二定律知，太阳和行星的连线在相等的时间里扫过面积相等，取足够短的时间Δt，则有：va·Δt·a＝vb·Δt·b，所以vb＝va.
9．如果人造地球卫星受到地球的引力为其在地球表面时的一半，则人造地球卫星距地面的高度是( )
A．等于地球的半径R
B. R
C．(－1)R
D．(＋1)R
解析：选C.设地球半径为R，卫星离地面的高度为h，则卫星在地面和高空受到的引力分别为
F1＝G，F2＝G
由题设G＝2G
所以，h＝(－1)R.
二、非选择题
10．(2011年高考海南卷)2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星．建成以后北斗导航系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖．GPS由运行周期为12小时的卫星群组成．设北斗导航系统的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为R1和R2，向心加速度分别为a1和a2，则R1∶R2＝________，a1∶a2＝________.(可用根式表示)
解析：同步卫星的运行周期T1＝24小时，GPS导航卫星的运行周期T2＝12小时，由开普勒第三定律＝可得R1∶R2＝＝，再由a＝R×()2可得
a1∶a2＝＝ .
答案：
11．冥王星离太阳的距离是地球离太阳距离的39.5倍，那么冥王星绕太阳公转的周期是多少？(冥王星和地球绕太阳公转的轨道可视为圆形轨道)
解析：设冥王星的公转周期为T1，轨道半径为R1，地球的公转周期为T2，轨道半径为R2，
根据开普勒第三定律列关系式为：＝，
则T12＝T22，
求解得到结论：T1＝ T2，
所以T1＝(39.5) ×1年＝248.25年．
答案：248.25年
12．地球表面的重力加速度g0＝9.8 m/s2，忽略地球自转的影响，在距离地面高度为h＝1.0×103 m的空中重力加速度g与g0的差值是多大？取地球半径R＝6.37×106 m.
解析：不计地球自转的影响，物体的重力等于物体受到的地球的引力，有：mg＝G，mg0＝G
两式相比得＝()2＝()2＝0.99969
Δg＝g0－g＝3.04×10－3 m/s2.
答案：3.04×10－3 m/s21．人造地球卫星的轨道半径越大，则( )
A．速度越小，周期越小
B．速度越小，加速度越小
C．加速度越小，周期越大
D．角速度越小，加速度越大
解析：选BC.由卫星线速度公式v＝ 可知，人造地球卫星半径越大，速度越小．由开普勒第三定律＝k知，r越大，T越大．由向心加速度a＝知，半径越大，向心加速度越小．由公式ω＝ 知，r越大，ω越小．
2．我国发射的探月卫星“嫦娥2号”轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的速率约为( )
A．0.4 km/s B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
解析：选B.由万有引力提供向心力得
G＝，即v＝ .
又M月＝M地，r月＝r地．
所以＝＝.
探月卫星绕月运行的速率v月＝v地＝1.76 km/s.故B正确．
3．宇宙飞船在轨道上运行，由于地面指挥人员发现某一火箭残体的轨道与飞船轨道有一交点，通知宇航员某一时间飞船有可能与火箭残体相遇．宇航员随即开动飞船上的发动机使飞船加速，脱离原轨道，关于飞船的运动，下列说法正确的是( )
A．飞船高度降低 B．飞船高度升高
C．飞船周期变小 D．飞船的向心加速度变大
解析：选B.当宇宙飞船加速时，它所需向心力增大，因此飞船做离心运动，轨道半径增大，由此知A错误；B正确；由T＝2π 可知，r增大，T增大，故C错误；由于a＝，r增大，a变小，D错误．
4．(2011年高考浙江卷)为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1.随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2，则( )
A．X星球的质量为M＝
B．X星球表面的重力加速度为gX＝
C．登陆舱在r1与r2轨道上运动时的速度大小之比为＝
D．登陆舱的半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2＝T1
解析：选AD.飞船绕X星球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律知G＝m，则X星球质量M＝，选项A正确．由G＝m＝ma1，知r1轨道处的向心加速度a1＝＝，而对绕X星球表面飞行的飞船有G＝mgX(R为X星球的半径)，则gX＝G>a1＝＝，选项B错误．由G＝m知v＝ ，故＝，选项C错误．根据G＝m得T＝ ，故＝，即T2＝T1，选项D正确．
5．金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的第一宇宙速度是多大？
解析：第一宇宙速度是成功发射卫星的最小速度，其数值等于卫星在行星表面附近运行的速度．
金星表面物体的重力等于万有引力，设金星质量为M1、半径为R1，其表面自由落体加速度为g1.
在金星表面：mg1＝G①
同理，在地球表面：m′g2＝G②
由①②两式得：＝
所以g1＝2·g2＝×2×9.8 m/s2＝8.9 m/s2
卫星沿金星表面运行时，万有引力提供向心力，则有：
G＝m(或mg1＝m)得金星的第一宇宙速度v1＝＝＝ m/s＝7.4 km/s.
答案：8.9 m/s2 7.4 km/s
一、选择题
1．关于人造地球卫星，下列说法哪些是正确的( )
A．发射卫星时，运载火箭飞行的速度必须达到或超过第一宇宙速度，发射才有可能成功
B．卫星绕地球做圆周运动时，其线速度一定不会小于第一宇宙速度
C．卫星绕地球做圆周运动的周期只要等于24小时，这个卫星一定相对于地面“定点”
D．发射一个地球同步卫星，可以使其“定点”于西安市的正上方
解析：选A.第一宇宙速度为物体绕地球做匀速圆周运动的最大速度，也是在地面上发射卫星的最小速度，所以B项说法是错误的．只有地球同步卫星才相对于地面“定点”，而且地球同步卫星只能在赤道上方一定的高度上，所以C、D项说法都是错误的．
2．土卫十和土卫十一是土星的两颗卫星，都沿近似为圆周的轨道绕土星运动，其参数如下表：
卫星半径(m) 卫星质量(kg) 轨道半径(m)
土卫十 8.90×104 2.01×1018 1.51×108
土卫十一 5.70×104 5.60×1017 1.51×108
两卫星相比，土卫十( )
A．受土星的万有引力较大
B．绕土星做圆周运动的周期较大
C．绕土星做圆周运动的向心加速度较大
D．动能较大
解析：选AD.根据GMm/r2＝ma向＝mv2/r＝mrω2＝mr(2π/T)2，两卫星相比，土卫十受土星的万有引力较大，速度较大，动能也较大．
3．(2011年高考重庆卷)
图5－4－4
某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图5－4－4所示，该行星与地球的公转半径之比为( )
A．() B．()
C．() D．()
解析：选B.根据ω＝可知，ω地＝，ω星＝，再由＝mω2r可得，＝()＝() ，答案为B.
4．(2011年高考北京理综卷)由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( )
A．质量可以不同
B．轨道半径可以不同
C．轨道平面可以不同
D．速率可以不同
解析：选A.地球同步卫星的运转周期与地球的自转周期相同且与地球自转“同步”，所以它们的轨道平面都必须在赤道平面内，故C项错误；由ω＝、mRω2＝G可得R＝，由此可知所有地球同步卫星的轨道半径都相同，故B项错误，由v＝rω，ω＝，可得v＝R，可知同步卫星的运转速率都相同，故D项错误；而卫星的质量不影响运转周期，故A项正确．
5．(2011年开封高一考试)若取地球的第一宇宙速度为8 km/s，某行星的质量是地球的6倍，半径是地球的1.5倍，该行星的第一宇宙速度约为( )
A．16 km/s B．32 km/s
C．4 km/s D．2 km/s
解析：选A.由G＝m得v＝
因为行星的质量M′是地球质量M的6倍，半径R′是地球半径R的1.5倍，即M′＝6M，R′＝1.5R得：
＝＝ ＝2
即v′＝2v＝2×8 km/s＝16 km/s，故A正确．
6．(2011年陕西铜川高一检测)星球上的物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度．某星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2＝v1，已知该星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球重力加速度g的1/6.不计其他星球的影响．则该星球的第二宇宙速度为( )
A. B.
C. D.gr
解析：选C.万有引力提供向心力G＝m，又在星球表面上．G＝m′g星，由题意知：g星＝g.解得v1＝.故该星球的第二宇宙速度v2＝v1＝，C正确．
7．如图5－4－5是“嫦娥一号奔月”示意图，卫星发射后通过自带的小型火箭多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星，并开展对月球的探测，下列说法正确的是( )
图5－4－5
A．发射“嫦娥一号”的速度必须达到第三宇宙速度
B．在绕月圆轨道上，卫星的周期与卫星质量有关
C．卫星受月球的引力与它到月球中心距离的平方成反比
D．在绕月圆轨道上，卫星受地球的引力大于受月球的引力
解析：选C.发射卫星的速度达到第三宇宙速度时，卫星会跑到太阳系以外空间，A错．由G＝mr得T＝2π ，所以卫星的周期与它本身的质量无关，B错误．据万有引力F＝G可知，卫星受到的引力与它到月球中心的距离的二次方成反比，C对．由于卫星绕月飞行，离地球太远，此时卫星所受的引力主要考虑月球的，D错．
8．地球同步卫星到地心的距离r可由r3＝求出．已知式中a的单位是m，b的单位是s，c的单位是m/s2，则( )
A．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是地球表面处的重力加速度
B．a是赤道周长，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是同步卫星的加速度
C．a是地球半径，b是地球自转的周期，c是同步卫星的加速度
D．a是地球半径，b是同步卫星绕地心运动的周期，c是地球表面处的重力加速度
解析：选AD.题目给出r的表达式，四种说法不能直接判断是否正确．但由万有引力提供同步卫星的向心力可得：＝mr，则r3＝.其中M为地球质量，T为同步卫星绕地心运动的周期，也即地球自转的周期．
对地球附近的卫星，有＝mg，得GM＝gR2，等效替换得r3＝g.
9.
图5－4－6
如图5－4－6所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星，下列说法正确的是( )
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等到同一轨道上的c
D．a卫星由于某种原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将变大
解析：选D.因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度、加速度大小均相等．由于b、c的轨道半径大于a的轨道半径，由v＝ ，可知vb＝vc
mv2b/rb，故它将偏离轨道做近心运动，所以c追不上b，b也等不到c，选项C错误．对于a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短的时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由v＝ 知，r减小时v逐渐增大，故D选项正确．
二、非选择题
10．2008年9月25日，我国“神舟”七号飞船发射成功，并第一次实现了太空行走．在飞船上升阶段，航天员对坐椅的压力______重力；在飞船绕地球做匀速圆周运动的过程中，航天员对坐椅的压力为______；在飞船返回舱返回地面的减速竖直下落过程中航天员对坐椅的压力______重力．
解析：上升阶段，飞船做加速运动，有向上的加速度；根据牛顿第二定律，对航天员有N－mg＝ma，所以N＝mg＋ma>mg，由牛顿第三定律可知，航天员对坐椅的压力大于重力．飞船绕地球做匀速圆周运动的过程中，地球对航天员的引力全部充当航天员做圆周运动的向心力，航天员处于完全失重状态，对坐椅的压力为零．飞船竖直下落，做减速运动，有向上的加速度；根据牛顿第二定律，对航天员有N－mg＝ma，N＝mg＋ma>mg，由牛顿第三定律可知，航天员对坐椅的压力大于重力．飞船发射过程加速上升，有向上的加速度；飞船减速下降，也有向上的加速度，在这两个过程中飞船中的任何物体均处于超重状态．飞船绕地球做匀速圆周运动的过程中，重力全部充当向心力，飞船中的任何物体均处于完全失重状态．
答案：大于 零 大于
11．某人在一星球上以速率v竖直向上抛出一物体，经时间t物体以速率v落回手中，已知该星球的半径为R，求此星球上的第一宇宙速度．
解析：根据匀变速运动的规律可知，该星球表面的重力加速度为g＝，该星球的第一宇宙速度，即为卫星在其表面附近绕它做匀速圆周运动的线速度，该星球对卫星的万有引力(重力)提供卫星做圆周运动的向心力．
则mg＝，该星球表面的第一宇宙速度为v1＝＝ .
答案：
12．据报载：某国发射了一颗质量为100 kg，周期为1 h的人造环月卫星，一位同学记不住引力常量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径为地球半径的1/4，月球表面重力加速度为地球表面重力加速度的1/6，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案．(地球半径约为6.4×103 km，g取9.8 m/s2)
解析：对环月卫星，根据万有引力定律和牛顿第二定律得＝mr，解得T＝2π ，
则r＝R月时，T有最小值，又＝g月；故
Tmin＝2π＝2π＝2π，
代入数据解得Tmin＝1.73 h
环月卫星最小周期为1.73 h，故该报道是则假新闻．
答案：见解析(时间：90分钟，满分：100分)
一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确，把正确选项前的字母填在题后的括号内．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错或不答的得0分)
1．下列说法正确的是( )
A．第一宇宙速度是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度
B．其他天体和地球具有相同的第一宇宙速度
C．海王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
D．牛顿于1687年在《自然哲学的数学原理》中发表了万有引力定律并给出了万有引力常量的值
解析：选C.第一宇宙速度是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大环绕速度；第一宇宙速度v＝，不同天体的g、R不同，因此它们的第一宇宙速度也不一样；牛顿1687年在《自然哲学的数学原理》中发表了万有引力定律，但并没有给出引力常量．选项C正确，A、B、D错误．
2．关于太阳系中行星运动的轨道，以下说法正确的是( )
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆
B．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆
C．不同行星绕太阳运动时椭圆轨道半长轴是相同的
D．不同行星绕太阳运动时椭圆轨道是固定不变的
解析：选B.由开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上，故B正确．
3.
图5－2
如图5－2所示为卡文迪许测定万有引力常量的实验示意图，关于这个实验正确的说法有( )
A．此装置须放在密闭的室内进行
B．T形架由细绳悬挂着
C．T形架扭转θ角时，由平面镜M反射的光线也转动θ角
D．卡文迪许测量的G值等于6.67×10－11 N·m2/kg2
解析：选A.卡文迪许扭秤的主要部分是一个轻而坚固的T形架，倒挂在一根金属丝的下端，所以B错．T形架的竖直部分装有小平面镜M，它能把射来的光线反射到刻度尺上，当T形架扭转θ角时，由平面镜M反射的光线转动2θ角，所以C错．卡文迪许测量的G值为6.754×10－11 N·m2/kg2，故D错．
4.
图5－3
(2011年陕西咸阳高一检测)在圆轨道上运动的国际空间站里，一宇航员A静止(相对空间舱)“站”于舱内朝向地球一侧的“地面”B上，如图5－3下列说法不正确的是( )
A．宇航员不受地球引力作用
B．宇航员受到地球的引力、“地面”对他的支持力和重力三个力的作用
C．宇航员与“地面”之间无弹力作用
D．若宇航员将手中一小球无初速度(相对空间舱)释放，该小球将落到“地面”上
解析：选ABD.宇航员随空间站一起绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，处于完全失重状态，对“地面”的压力为零，故选项A、B错误，C正确；若将一小球无初速度(相对空间舱)释放，小球还是随空间站绕地球做圆周运动，不会落到“地面”上，选项D错误．
5．(原创题)翟志刚在太空行走，成为一颗“人体卫星”，有同学查阅资料后得出下列结论，正确的是( )
A．翟志刚太空行走的速度大于第一宇宙速度
B．翟志刚环绕地球的周期和他的质量无关
C．由翟志刚的环绕周期和他的质量就可以估算出地球质量
D．翟志刚在圆形轨道上的向心力由地球对他的万有引力提供
解析：选BD.卫星的绕行速度都小于第一宇宙速度，A错．在圆形轨道上，万有引力提供向心力，D正确．由＝mr()2可知，卫星的周期和卫星质量无关，B正确．由于m在公式中被消去，可知仅由周期和卫星质量无法估算中心天体质量，C错．
6．(2010年高考天津卷)探测器绕月球做匀速圆周运动，变轨后在周期较小的轨道上仍做匀速圆周运动，则变轨后与变轨前相比( )
A．轨道半径变小 B．向心加速度变小
C．线速度变小 D．角速度变小
解析：选A.根据万有引力提供向心力得G＝ma＝m＝mω2r＝m()2r，T变小，则r变小，v、a、ω变大．
7．(2010年高考北京卷)一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上．已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为( )
A．() B．()
C．() D．()
解析：选D.物体与天体表面没有作用力，万有引力作为向心力有＝mR()2①，又有M＝ρπR3②，解二式得T＝() .
8．(2011年高考山东卷)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是( )
A．甲的周期大于乙的周期
B．乙的速度大于第一宇宙速度
C．甲的加速度小于乙的加速度
D．甲在运行时能经过北极的正上方
解析：选AC.设地球质量为M，卫星质量为m，轨道半径为r.甲、乙两卫星遵循相同的规律：G＝mr，得出T甲>T乙，A正确．根据G＝m，第一宇宙速度对应轨道半径为地球半径，小于乙的半径，所以乙的速度小于第一宇宙速度，B错误．由G＝ma知，a甲9．(2011年高考大纲全国卷)我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比( )
A．卫星动能增大，引力势能减小
B．卫星动能增大，引力势能增大
C．卫星动能减小，引力势能减小
D．卫星动能减小，引力势能增大
解析：选D.由F＝＝m知，Ek＝mv2＝，r越大，Ek越小．r增大，卫星在升高过程中要克服万有引力做功，引力势能增大．综上所述D对，A、B、C错．
10．用m表示地球通信卫星(同步卫星)的质量，h表示它离地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地球表面处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通信卫星所受地球对它的万有引力的大小为( )
A．等于零 B．等于
C．等于m D．以上结果均不对
解析：选BC.通信卫星所受万有引力的大小为
F＝G①
地球表面物体的重力可以近似认为等于万有引力，即
mg0＝G
故g0＝G②
由①②式可得F＝m，B选项是正确的．
由于通信卫星的角速度等于地球自转的角速度ω0，由F引＝F向得
G＝mω20(R0＋h)，
即R0＋h＝③
联立①②③式可得F＝m，C选项也是正确的．
二、填空题(本题共2小题，共18分．把答案填在题中的横线上)
11．(8分)(2011年高考上海卷)人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小，在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将________(填“减小”或“增大”)；其动能将________(填“减小”或“增大”)．
解析：由F＝知，当r减小时万有引力增大．由于卫星轨道半径缓慢减小，短时间内仍可将卫星的运动认为是绕地球的匀速圆周运动，由G＝m及Ek＝mv2可得Ek＝，可见r减小时Ek增大．
答案：增大 增大
12．(10分)“嫦娥一号”在绕月工作轨道的运动可视为匀速圆周运动，轨道半径为R(约等于月球半径)．此前曾有宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面，据上述信息可推出“嫦娥一号”绕月运行的速率约为________．假设地球、月球都静止不动，卫星在近地轨道变轨后，靠惯性飞向月球，若卫星变轨时的动能小于卫星飞到月球过程中需要克服地球引力做的功，则探测卫星________(选填“可能”或“不可能”)到达月球．
解析：由h＝gt2可得
g＝
由mg＝m
由以上两式可得v＝
若卫星变轨时的动能小于卫星飞到月球过程中需要克服地球引力做的功，但若卫星变轨时的动能与月球引力对卫星做的功之和大于卫星飞到月球过程中需要克服地球引力做的功，卫星就可以到达月球．
答案： 可能
三、计算题(本题共4小题，共42分，解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
13．(10分)
图5－4
“嫦娥奔月”的过程可以简化为：“嫦娥一号”升空后，绕地球沿椭圆轨道运动，远地点A距地面高为h1，在远地点时的速度为v，然后经过变轨被月球捕获，再经多次变轨，最终在距离月球表面高为h2的轨道上绕月球做匀速圆周运动．
(1)已知地球半径为R1、表面的重力加速度为g0，求“嫦娥一号”在远地点A处的加速度a；
(2)已知月球的质量为M、半径为R2，引力常量为G，求“嫦娥一号”绕月球运动的周期T.
解析：(1)设地球质量为M′，在地球表面处有：
G＝mg0
所以GM′＝g0R
根据牛顿第二定律有：G＝ma
由上述两式可得a＝.
(2)根据牛顿第二定律有：G＝m(R2＋h2)
所以T＝2π .
答案：(1) (2)2π
14．(10分)1969年7月21日，美国宇航员阿姆斯特朗在月球上烙下了人类第一只脚印，迈出了人类征服宇宙的一大步．在月球上，如果阿姆斯特朗和同伴奥尔德林用弹簧测力计测出质量为m的仪器的重力为F；而另一位宇航员科林斯驾驶指令舱，在月球表面附近飞行一周，记下时间为T.试回答：只利用这些数据，能否估算出月球的质量？为什么？
解析：设月球的质量为M，半径为R，表面的重力加速度为g，根据万有引力定律，有
F＝mg＝G
根据指令舱做匀速圆周运动的向心加速度就是月球表面的重力加速度，有
a＝g＝＝()2R
则月球的质量可以表示为
M＝
所以，在已知引力常量G的条件下，才能利用上式估算出月球的质量．
答案：见解析
15．(10分)
图5－5
如图5－5所示，α星和β星组成的双星系统其“晃动”(实际是环绕运动，不过人们往往只能看到它们在晃动)周期为T，α星的晃动范围为Dα，β星的晃动范围为Dβ，试求α星和β星的质量．
解析：晃动范围实际上就是它们做圆周运动的直径，晃动周期就是环绕周期．由于两者互相环绕转动，它们绕旋转中心转动的角速度相同．两者相距L＝(Dα＋Dβ)/2，彼此的万有引力提供向心力，故对α、β星分别有：
G＝Mα ω2·
G＝Mβ ω2·
由以上两式得
Mα＝
Mβ＝.
答案：
16．(12分)一颗人造地球卫星在离地面高度等于地球半径的圆形轨道上运行，已知卫星的第一宇宙速度是v1＝7.9 km/s，求：
(1)这颗卫星运行的线速度为多大？
(2)它绕地球运行的向心加速度为多大？
(3)质量为1 kg的仪器放在卫星内的平台上，仪器所受的重力为多大？它对平台的压力为多大？
解析：(1)卫星近地运行时，有：
G＝m①
卫星离地高度为R时，有：
G＝m②
由①②两式得：
v2＝＝ km/s＝5.6 km/s.
(2)卫星离地面高度为R时，有：
G＝ma③
靠近地面时，有＝mg④
由③④两式得：a＝g＝2.45 m/s2.
(3)在卫星内，仪器的重力就是地球对它的吸引力，则：G′＝mg′＝ma＝1×2.45 N＝2.45 N
由于卫星内仪器的重力充当向心力，仪器处于完全失重状态，所以仪器对平台的压力为零．
答案：(1)5.6 km/s (2)2.45 m/s2 (3)2.45 N 0