5.4 二次函数与一元二次方程（第1课时）课件（共20张PPT）

5. 4二次函数与一元二次方程
（第1课时）
第5章 二次函数
2020-2021学年度苏科版九年级下册
1 一元二次方程-5t2+40t=0的根为： .
2 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ = .
当Δ﹥0方程根的情况是： ；当Δ=0时，方程 ； 当Δ﹤0时，方程 .
b2-4ac
有两个不等实数根
有两个相等实数根
没有实数根
t1=0，t2=8
3 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一条 ，它与x轴的交点有几种可能的情况？
抛物线
三种可能：①两个交点 ②一个交点 ③没有交点.
复习巩固
判别式Δ＝b2-4ac
y=ax2+bx+c(a≠0)
ax2+bx+c=0(a≠0)
图像分布
a＞0
a＜0
图象与x轴有两个不同的交点(x1，0)(x2，0)，且
x1，2=
方程有两个不相等的实数根x1，x2，且
x1，2=
图象与x轴有唯一交点(x1，0)，且
方程有两个相等的实数根x1，x2，且
图象与x轴无交点
方程无实数根
Δ＜0
Δ＝0
Δ＞0
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.
不画图象，你能判断函数
的图象与x轴是否有公共点吗？请说明理由
根据一元二次方程的根的情况，可以知道
二次函数的图象与x轴的位置关系

解：因为一元二次方程 的根的判别式b2-4ac=52-4×(-1) ×(-8)<0,
所以方程 没有实数根．
二次函数 的图像与x轴没有公共点．
例 不画图象，判断二次函数
的图象与x轴是否有公共点？
解：如图，画出二次函数y=x2-2x-6的图像．
求方程x2-2x-6=0较小根的近似值.（结果精确到0.1)
观察画出的抛物线，设它与x轴的交点的横坐标为x1和x2，不妨设x1现在来求x1的近似值．
（1）容易看出：
当x=-2时，y＞0；当x=-1时，y<0，且在-2范围内，y随x的增大而减小，所以
-2（2）取-2和-1的中间数-1.5（中间数为 ），代入表达式中试值．
当x＝-1.5时，y＝（-1.5）2-2×（-1.5）-6=-0.75<0;
当x=-2时，y>0．在-2 -2（3）取-2和-1.5的中间数-1.75，代入表达式中试值．
当x=-1.75时，y=（-1.75)2-2×（-1.75）-6=0.5625>
0；当x=-1.5时，y<0．在-1.75y随x的增大而减小，所以
-1.75（4）取-1.75和-1.5的中间数-1.625，代入表达式中试值．
当x=-1.625时，y=（-1.625）2-2×（-1.625）-6=-0.109375<0；当x=-1.75时，y>0．在-1.75-1.75x1≈-1.7即为精确到0.1的近似值．
1.用图像法求一元二次方程 x2+2x-1=0的一个近似解.（精确到0.1）
解：画出函数y=x2+2x-1的图像，如图.
由图像可知，方程两个根，一个在0
和1之间.
x
O
-2
-1
y
1
2
y=x2+2x-1
-3
●
●
●
（1）求位于0和1之间的根.可由图像可估计这个根是0.4或0.5，见下表.
x
...
0.4
0.5
...
y
...
-0.04
0.25
...
观察上表，可以发现x取0.4或0.5时，对应的y值由负变正，可见在0.4与0.5之间肯定有一个x的值使y=0.即有方程的一个根.
题目只要求精确到0.1，这时取x=0.4或
x=0.5作为根都符合要求，但当x=0.4时，
y=-0.04比y=0.25(x=0.5)更接近0，故
选x=0.4.
因而，方程x2+2x-1=0在0和1之间精
确到0.1的根为x=0.4.

抛物线y=x2-4x+4与轴有 个交点，坐标是 .
若方程ax2+bx+c=0的根为x1=-2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 .
抛物线y=0.5x2-x+3与x轴的交点情况是（ ）
A 两个交点 B 一个交点 C 没有交点
D 画出图象后才能说明
（-2，0）和（3，0）
C
一
（2，0）
不画图象，求抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标.
解：∵解方程x2-3x-4=0得：
x1=-1，x2=4
∴抛物线y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是：
(-1，0)和(4，0)
基础过关
1.已知二次函数 的图像与x轴有两个不同的交点.
（1） 求k的取值范围
（2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等于50.

能力提升
要点小结
一般地，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值为0时自变量x的值，也就是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标.
可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题.
在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函数图象解方程.
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程
的两根吗？其基本步骤是什么？
解：1、画出函数的图象.
2、由图象可知方程有两个根，一个根在－5和－4之间，一个在2和3之间.
3、探求其解的十分位.
x
-4.1
-4.2
-4.3
-4.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
x
2.1
2.2
2.3
2.4
y
-1.39
-0.76
-0.11
0.56
∴ 方程的两个近似根为x1≈－4.3，x2≈2.3.
基本步骤：
1.画出函数的图象
2.由图象找出抛物线与x轴交点分别在哪两个相邻整数之间.
3.利用步步进逼法计算器探索其解的十分位数字，从而确定方程的近似根.
利用二次函数的图象求一元二次方程
－2x2+4x+1=0的近似根.
利用函数图象求一元二次方程 的根.
下面的解法对吗？
构造函数：　　　和
画出这两个函数的图象如图所示，
并设这两个函数的图象的交点分别
为Ａ和Ｂ.点Ａ、Ｂ两点的横坐标
　和　　就是方程　　　　　的根.
O
y
x
A
B
基础练习：
四、小结
1、若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是A（x1，0 ）， B（ x2，0 ）
2、若一元二次方程ax2+bx+c=0与二次三项式ax2+bx+c及二次函数y=ax2+bx+c这三个“二次”之间互相转化的关系.体现了数形结合的思想.
3、A、B两点间的距离AB= .
4、二次函数y=ax2+bx+c何时为一元二次方程？它们的关系如何？
小结 拓展
一般地，当y取定值时，二次函数即为一元二次方程.
谢谢聆听