5.3 用待定系数法确定二次函数表达式 课件（共25张PPT）

5.3 用待定系数法确定二次函数表达式
第5章 二次函数
2020-2021学年度苏科版九年级下册
复习提问：
二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax?+bx+c (a，b，c为常数，a ≠0)
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB）的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m．试建立适当的直角坐标系，并写出这段抛物线所对应的二次函数表达式?
解:以线段AB的中垂线为y轴，以过点O且与y轴垂直的直线为x轴，建立直角坐标系.
设它的函数表达式为: y=ax? (a≠0)
例1 已知二次函数y=ax2的图像经过点(-2，8)，求a的值．
a=2.
解得
8=(-2)2a.
解：由二次函数y=ax2的图像经过点(-2，8)，
得
分析：如果一个点在函数的图像上，那么这个点的坐标适合函数的表达式．要确定“a”的值，只要根据已知条件“图像经过点(-2，8)”列出关于a的一元一次方程．
例2 已知二次函数y=ax2+c的图像经过点(-2，8)和(-1，5)，求a、c的值．
a=1，c=4.
解得
8=(-2)2a+c，
5=(-2)2a+c.
解：由二次函数y=ax2+c的图像经过点(-2，8)和(-1，5)，
得
分析：要确定“a”、“c”的值，只要根据已知条件“图像经过点(-2，8)和(-1，5)”列出关于a、c的二元一次方程组．
一个二次函数的图象过 (0，1)， (2，4)， (3，10)三点， 求这个二次函数的表达式.
解：设所求二次函数表达式为y=ax2+bx+c，
由这个函数的图象过点(0，1) ，可得c=1.又由于其图象经过(2，4)， (3，10)两点，可得
∴? 4a+2b+1=4，?
??? 9a+3b+1=10.????? ???
解这个方程组得?
因此，所求二次函数的表达式为：
若二次函数图象过A(2，-4)，B(0，2)， C(-1，2)三点，求此函数的解析式.

解：设二次函数表达式为y=ax2+bx+c
∵? 图象过B(0，2)
∴? c=2
∵ 图象过A(2，-4)，C(-1，2)两点
∴? -4=4a+2b+2?? ?
??? 2=a-b+2????? ???
解得? a=-1，b=-1.
∴? 函数的解析式为：
y=-x2-x+2.
例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-3，6)、
(-2，-1)和(0，-3)，求这个二次函数的表达式．
所求二次函数表达式为y=-2x2+3x-3.
a=2，
b=3，
c=-3.
解得
6=(-3)2a-3b+c，
-1=(-2)2a-2b+c，
-3=c.
解：由二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-3，6)、
(-2，-1)和(0，-3)，得
已知一个二次函数的图象经过点(4，-3)，并且当x=3时有最大值4，试确定这个二次函数的解析式.
解：
设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c (a≠0)
由题意知 16a+4b+c = -3
?????? -b/2a = 3
???? (4ac-b2)/4a = 4
解方程组得：?
a= -7
b= 42
c= -59
∴?二次函数的解析式为：y= -7x2+42x-59.?
设二次函数解析式为y=ax2+bx+c
∵二次函数图象过点(1，4)，(-1，0)和(3，0)
∴? a+b+c=4?????? ①
??? a-b+c=0?????? ②
?? 9a+3b+c=0??? ? ③
? 解得： a= -1
b=2
c=3
?∴? 函数的解析式为：y= -x2+2x+3.
已知二次函数图象经过点 (1，4)，(-1，0)和(3，0)三点，求二次函数的表达式.
1、已知抛物线y=ax2+bx+c
0
问题1
经过点（-1，0），则___________
经过点（0，-3），则___________
经过点（4，5），则___________
对称轴为直线x=1，则___________
当x=1时，y=0，则a+b+c=_____
a
b
2
-
=1
a-b+c=0
c=-3
16a+4b+c=5
顶点坐标是（-3，4）， 则h=_____，k=__，
-3
a（x+3）2+4
4
问题2
2、已知抛物线y=a（x-h）2+k
对称轴为直线x=1，则___________
代入得y=_____________
代入得y=______________
h=1
a（x-1）2+k
二次函数常见用的几种解析式
y=ax2+bx+c (a≠0)
y=ax2 (a≠0)
y=ax2+k (a≠0)
用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.
待定系数法
一、设
二、代
三、解
四、还原
例1 已知二次函数y=ax2的图像经过点(-2，8)，求a的值．
a=2.
解得
8=(-2)2a.
解：由二次函数y=ax2的图像经过点(-2，8)，得
分析：如果一个点在函数的图像上，那么这个点的坐标适合函数的表达式．要确定“a”的值，只要根据已知条件“图像经过点(-2，8)”列出关于a的一元一次方程．
例2 已知二次函数y=ax2+c的图像经过点(-2，8)和(-1，5)，求a、c的值．
a=1，c=4.
解得
8=(-2)2a+c，
5=(-2)2a+c.
解：由二次函数y=ax2+c的图像经过点(-2，8)和(-1，5)，
得
分析：要确定“a”、“c”的值，只要根据已知条件“图像经过点(-2，8)和(-1，5)”列出关于a、c的二元一次方程组．
例3 已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-3，6)、
(-2，-1)和(0，-3)，求这个二次函数的表达式．
所求二次函数表达式为y=-2x2+3x-3.
a=2，
b=3，
c=-3.
解得
6=(-3)2a-3b+c，
-1=(-2)2a-2b+c，
-3=c.
解：由二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点(-3，6)、
(-2，-1)和(0，-3)，得
解：
设所求的二次函数为　
解得
已知一个二次函数的图象过点（0，-3）（4，5）（-1， 0）三点，求这个函数的解析式？
∵二次函数的图象过点（0，-3）（4，5）（－1， 0）
∴
c=-3
a-b+c=0
16a+4b+c=5
a=
b=
c=
y=ax2+bx+c
16a+4b=8
a-b=3
4a+b=2
a-b=3
-3
解：
设所求的二次函数为　
解得
∴所求二次函数为
y=x2-2x-3.
已知一个二次函数的图象过点（0，-3） （4，5）（-1， 0）三点，求这个函数的解析式？
待定系数法
一、设
二、代
三、解
四、还原
∵二次函数的图象过点（0，-3）（4，5）（－1， 0）
∴
c=-3
a-b+c=0
16a+4b+c=5
a=
b=
c=
1
-2
-3
x=0时，y=-3;
x=4时，y=5;
x=-1时，y=0;
y=ax2+bx+c
解：
设所求的二次函数为　y=ax2+bx+c
c=-3
a-b+c=0
9a+3b+c=0
已知一个二次函数的图象过点（0， -3）
（-1，0） （3，0） 三点，求这个函数的解析式？
解得
a=
b=
c=
1
-2
-3
∴所求二次函数为
y=x2-2x-3.
依题意得
1、确定要求系数的个数
2、找相应个数的点代入函数
表达式组成方程（组）
3、解方程（组）求出系数
4、写出函数表达式
思考与总结
待定系数法：
如何确定二次函数的表达式？
谈谈你的收获
〔议一议〕
通过上述问题的解决，您能体会到求二次函数表达式采用的一般方法是什么?
（待定系数法）
你能否总结出上述解题的一般步骤?
1.若无坐标系，首先应建立适当的直角坐标系;
2.设抛物线的表达式;
3.写出相关点的坐标;
4.列方程(或方程组);
5.解方程或方程组，求待定系数;
6.写出函数的表达式;
谢谢聆听