6.5 相似三角形的性质 课件（共30张PPT）

6.5 相似三角形的性质
第6章 图形的相似
2020-2021学年度苏科版九年级下册
如图6-29，我们已经知道，当D、E、F分别是△ABC各边的中点时， △DEF∽ △ ABC，相似比为 . 这两个三角形的周长、面积之间有什么关系？
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么
因此，
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A',
从而
?
观察与思考
得到：
定理：相似三角形周长的比等于相似比.
定理：相似多边形周长的比等于相似比.
类似的，
探究
（1）如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
如图，分别作出△ABC和△A'B'C'的高AD和A'D'．
∵ ∠ADB =∠A'D'B', ∠B＝∠B',
∴ △ABD∽△A'B'D'.
这样，得到：
定理：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
类似的，得到：
定理：相似多边形的面积比等于相似比的平方.
例1 在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6 cm2，求这个地块的实际周长和面积.
解：如果把实际三角形地块记为△A'B'C'
，那么△ABC∽ △ A'B'C'且相似比为 k= .
于是 = （相似三角形周长的比等于相似比）， =( ) 2（相似三角形面积的比等于相似比的平方）.
∴△ A'B'C'的周长=12×500=6000（cm）=60m，
△ A'B'C'的面积=6×500=1500000（cm2）=150m2.
答：这个地块的实际周长为60m，面积为150m2.
△ABC的周长
△ A'B'C'的周长
△ABC的面积
△ A'B'C'的面积
那么
△ABC∽△A'B'C'
AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'
的中线，设相似比为k,
D
A
B
C
D'
A'
B'
C'
相似三角形对应中线的比等于相似比．
结论：
你能有条理地表达理由吗？
D'
A'
B'
C'
D
A
B
C
相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
结论：
△ABC∽△A'B'C'
AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'
的角平分线，设相似比为k,
你能有条理地表达理由吗？
那么
相似三角形对应线段的比等于相似比．
结论：
△ABC∽△A'B'C',设相似比为k，点G、G'分别在BC、B'C'上，且 =k，那么 等于多少？说明你的理由.
你能有条理地表达理由吗？
例2 如图，AF是△ABC的高,点D、E分别在AB、AC上，且DE ∥BC，DE交AF于点G ．设DE=6，BC=10，GF=5，求点A到DE、BC的距离．
例题解析
解：由DE ∥BC， ∠AFB=90 °，得
∠AGD=90 °，即AG ⊥DE.
于是，AG、AF的长分别为点A到DE、BC的距离.
在△ADE和△ABC中，
∵DE ∥BC，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ (相似三角形对应线段的比等于相似比），
即
由此，得AG=7.5，AF=AG+5=12.5，
即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12.5.
当堂检测
1.如果两个相似多边形的面积比为1∶25，那么它们的相似比为（ ）.
A.1∶25 B.1∶5
C.1∶2.5 D.1∶50
2、填空题
(1)已知△ABC∽△A′B′C′的相似比为2︰3，
则它们对应中线的比为 ；
(2)已知两个相似三角形对应高的比是4︰1，
则它们的对应角平分线的比是 ；
(3)已知两个相似三角形对应角平分线的长分别为2 cm
和6cm ，其中一个三角形的周长18cm，则另一个三
角形的周长是 cm.
2︰3
4︰1
6或54
4.如图，有一批形状大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知∠C＝90°，AC＝12cm，BC＝5?cm，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，并求出这种不锈钢片的边长.?
3.两个相似三角形的一组对应边长分别为3cm和5cm，且较小三角形的周长为15cm，那么较大三角形的周长为_________cm.
回顾复习
三角形相似的判定定理1：
两角分别相等的两个三角形相似.
三角形相似的判定定理2：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
我们学过哪些三角形相似定理？
三角形相似的判定定理3：
三边成比例的两个三角形相似.
A
B
C
A′
B′
C′
如图，已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为k,则△ABC与△A′B′C′的周长比和面积比分别等于什么？怎么来说明？
课堂探讨
结论
性质1：相似三角形的周长比等于相似比；
性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
例1 在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6 cm2，求这个地块的实际周长和面积.
解：如果把实际三角形地块记为△A'B'C'
，那么△ABC∽ △ A'B'C'且相似比为 k= .
于是 = （相似三角形周长的比等于相似比）， =( ) 2（相似三角形面积的比等于相似比的平方）.
∴△ A'B'C'的周长=12×500=6000（cm）=60m，
△ A'B'C'的面积=6×500=1500000（cm2）=150m2.
答：这个地块的实际周长为60m，面积为150m2.
△ABC的周长
△ A'B'C'的周长
△ABC的面积
△ A'B'C'的面积
四边形ABCD是平行四边形，点E是BC延长线上的一点，而且CE:BC=1:3，若△DGF的面积为9，试求：
(1)△ABG的面积；
(2) △ADG与△BGE的周长比与面积比；
A
B
C
D
E
F
G
拓展练习
D′
C′
D
A
B
C
A′
B′
△ABC∽△A'B'C'
AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'
的高，设相似比为k,
┓
┓
相似三角形对应高的比等于相似比．
结论：
你能有条理地表达理由吗？
那么
D'
A'
B'
C'
D
A
B
C
相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
结论：
△ABC∽△A'B'C'
AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'
的角平分线，设相似比为k,
说明道理?
那么
△ABC∽△A'B'C'
AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'
的中线，设相似比为k,
D
A
B
C
D'
A'
B'
C'
相似三角形对应中线的比等于相似比．
结论：
你能有条理地表达理由吗？
那么
例2 如图,AF是△ABC的高,点D、E分别在AB、AC上，且DE ∥BC，DE交AF于点G ．设DE=6，BC=10，GF=5，求点A到DE、BC的距离．
例题解析
解：由DE ∥BC， ∠AFB=90°，得
∠AGD=90 °，即AG ⊥DE.
于是，AG、AF的长分别为点A到DE、BC的距离.
在△ADE和△ABC中，
∵DE ∥BC，
∴ △ADE ∽ △ABC.
∴ (相似三角形对应线段的比等于相似比），
即
由此，得AG=7.5，AF=AG+5=12.5，
即点A到DE、BC的距离分别为7.5、12.5.
1、? 两个相似三角形的相似比为2 : 3，它们的对应角平分线之比为________，周长之比为_______，面积之比为_________.
2、若两个三角形面积之比为16:9，则它们的对高之比为_____，对应中线之比为_____.
3、如图， △ABC∽ △DBA，D为BC上一点，E、F分别是AC、AD的中点，且AB=28cm，BC=36cm，则BE:BF=________.
A
B
F
D
C
E
2 : 3
2 : 3
4 : 9
4 : 3
4 : 3
9 : 7
4.如图， △ ABC的面积为25，直线DE平行于BC分别交AB、AC于点D、E.如果△ ADE的面积为9，求 的值.
拓展练习
建颍乡建造一新住宅小区，同时在小区旁筑一条马路.在施工中遇到这样一个问题，小区旁原来有一个面积是64平方米，周长44米的三角形的荒地，由于建筑马路这块地被削去了一块梯形，原荒地的一边AB的长由原来的12米缩短成9米.然后在剩下的荒地上种绿化，你能不用工具测量，计算出现在绿化地面积到底有多大？它的周长是多少？
课后思考
有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AH=8cm，按下（1）、（2）两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些.请你通过计算判断（1）、（2）两种设计方案哪个更好？
课后思考
小结：
性质1：相似三角形的周长比等于相似比；
性质2：相似三角形的面积比等于相似比的平方.
性质 3：相似三角形对应高的比等于相似比．
性质 4：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
性质 5：相似三角形对应中线的比等于相似比．
谢谢聆听