人教版初中数学 九年下册 第二十七章 相似 章节训练（Word版 含答案）

人教版初中数学
九年下册
第二十七章
相似
章节训练
一、选择题
1.
2020·绍兴如图，三角尺在灯光照射下形成投影，三角尺与其投影的相似比为2∶5，且三角尺的一边长为8
cm，则投影三角尺的对应边长为(　　)
A．20
cm
B．10
cm
C．8
cm
D．3.2
cm　
2.
（2020·河北）
在图5所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是
A.四边形NPMQ
B.四边形NPMR
C.四边形NHMQ
D.四边形NHMR
3.
(2019?巴中)如图ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使，连接EF交DC于点G，则=
A．2∶3
B．3∶2
C．9∶4
D．4∶9
4.
(2019?贵港)如图，在中，点，分别在，边上，，，若，，则线段的长为
A．
B．
C．
D．5
5.
（2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（　　）
A．
B．
C．
D．
6.
（2020·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（1,2）,B（1,1），C（3,1），以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF的长度为（
）
A．
B．
C．
D．
7.
（2020·重庆B卷）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA:OD=1:2，则△ABC与△DEF的面积比为（
）
A．1:2
B．1:3
C．1:4
D．1:5
8.
（2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为
（　　）
A．
B．5
C．
D．10
二、填空题
9.
上海《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深AC为________米．
10.
（2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于
▲
．
11.
(2019?郴州)若，则__________．
12.
在平面直角坐标系中，点A关于y轴的对称点为点B，点A关于原点O的对称点为点C.
(1)若点A的坐标为(1,2)，请你在给出的坐标系中画出△ABC.设AB与y轴的交点为D，则＝__________；
(2)若点A的坐标为(a，b)(ab≠0)，则△ABC的形状为____________．
13.
(2019?泸州)如图，在等腰中，，，点在边上，，点在边上，，垂足为，则长为__________．
14.
（2020湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是　　．
15.
如图，直线y＝－x－3交x轴于点A，交y轴于点B，P是x轴上一动点，以点P为圆心，以1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线AB相切时，点P的坐标是________________．
16.
（2020·长沙）如图，点P在以MN为直径的半圆上运动，（点P与M,N不重合）PQ⊥MN，NE平分∠MNP，交PM于点E，交PQ于点F.
(1)
＝____________．
(2)若,则＝____________．
三、解答题
17.
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ(0°<θ<180°)，得到△A′B′C.
(1)如图①，当AB∥CB′时，设A′B′与CB相交于点D.证明：△A′CD是等边三角形；
(2)如图②，连接A′A、B′B，设△ACA′和△BCB′的面积分别为S△ACA′和S△BCB′.求证：S△ACA′∶S△BCB′＝1∶3；
(3)如图③，设AC中点为E，A′B′中点为P，AC＝a，连接EP，当θ＝________°时，EP长度最大，最大值为________．
　　　　
图①　　　　　图②　　　　　　图③
18.
（2020·苏州）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
19.
（2020·泰安）（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC﹦∠CDE﹦90°，连接BD，AB﹦BD，点F是线段CE上一点．
探究发现：
（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否成立？___________．（填“是”或“否”）
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：若BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．
(
图（
1
）
图（
2
）
备用图
)
20.
如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k(k>1)，且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.
(1)若c＝a1，求证：a＝kc；
(2)若c＝a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数，并加以说明；
(3)若b＝a1，c＝b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k＝2？请说明理由．
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九年下册
第二十七章
相似
章节训练-答案
一、选择题
1.
【答案】A　
2.
【答案】A
【解析】解析：连接AO并延长AO至点N，连接BO并延长PO至点P,
连接CO并延长CO至点M,
连接DO并延长DO至Q，可知，所以以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ，故答案为A.
3.
【答案】D
【解析】设，∵，∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴，，
∵点F是BC的中点，∴，
∵，∴，
∴，故选D．
4.
【答案】C
【解析】设，，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，
设，，∴，
∴，∴，∴，
故选C．
5.
【答案】
B．
【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．
6.
【答案】D
【解析】∵A（1,2）,B（1,1），C（3,1），∴AB=1，BC=2,AC=.∵△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2，∴DF=2AB=2．
7.
【答案】C
【解析】本题考查了相似三角形的性质，
∵△ABC与△DEF位似，且，∴，因此本题选C．
8.
【答案】A
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．
又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以＝，因为D为AB中点，所以＝，所以＝．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以＝，因为BD＝AB＝CE，所以＝EG＝x．在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝＝＝x，所以AD＝x，所以CE＝AB＝2AD＝x．因为DE∥BC，所以＝＝，所以AE＝AC＝CE＝x．
在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝＝x．因△DEF的面积为1，所以DE·DF＝1，即×x·x＝1，解得x＝，所以DE＝×＝，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝，因此本题选D．
二、填空题
9.
【答案】7　[解析]
∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，
∴＝，∴＝，∴AC＝7.
10.
【答案】
【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为，所以周长比为．故答案为：．
11.
【答案】
【解析】∵，∴，
故2y=x，则，故答案为：．
12.
【答案】(1)△ABC如图
　(2)直角三角形　解析：(1)因为点A的坐标为(1,2)，所以点A关于y轴的对称点B的坐标为(－1,2)，关于原点的对称点C的坐标为(－1，－2)．连AB，BC，AC，作△ABC.
设AB交y轴于D点，如图，
D点坐标为(0,2)，
∵OD∥BC，
∴△ADO∽△ABC.
∴＝＝.
(2)∵ab≠0，∴a≠0，且b≠0，
∴点A不在坐标轴上，
∴AB∥x轴，BC⊥x轴．
∴∠ABC＝90°.
∴△ABC是直角三角形．
13.
【答案】
【解析】如图，过作于，则∠AHD=90°，
∵在等腰中，，，
∴，，
∴∠ADH=90°–∠CAD=45°=∠CAD，
∴，
∴CH=AC–AH=15–DH，
∵，∴，
又∵∠ANH=∠DNF，∴，
∴，∴，
∵，CE+BE=BC=15，∴，
∴，
∴，
∴，故答案为：．
14.
【答案】解：∵在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝2，∴AB，AC：BC＝1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE，EF＝2，DF＝5的三角形，
∵，∴△ABC∽△DEF，∴∠DEF＝∠C＝90°，
∴此时△DEF的面积为：22＝10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．故答案为：5．
15.
【答案】(－，0)或(－，0)[解析]
如图，依题意可知A(－4，0)，B(0，－3)，
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝＝5.
设⊙P与直线AB相切于点D，连接PD，则PD⊥AB，PD＝1.
易得△APD∽△ABO，
∴＝，即＝，
∴AP＝，∴OP＝或OP＝，
∴点P的坐标是(－，0)或(－，0)．
16.
【答案】1；
【解析】本题考查了圆的基本性质，角平分线性质，平行相似，相似判定与性质，
（1）作EH⊥MN，又∵MN是直径，NE平分∠MNP，PQ⊥MN，∴易证出PE＝EH＝HF＝PF，EH∥PQ，∴△EMH∽△PMQ，∴，∴；
（2）由相似基本图射影型得：解得又∵，∴QN＝PM，设QN＝PM＝a，MQ＝b，由相似基本图射影型得：解得，∴解得或（舍去）∴；
因此本题答案为1；．
三、解答题
17.
【答案】
(1)证：∵AB∥CB′，∴∠BCB′＝∠ABC＝30°，
∴∠ACA′＝30°；又∵∠ACB＝90°，
∴A′CD＝60°，又∠CA′B′＝∠CAB＝60°.
∴△A′CD是等边三角形．
(2)证：∵AC＝A′C，BC＝B′C，∴＝
.
又∠ACA′＝∠BCB′，∴△ACA′∽△BCB′.
∵＝tan30°＝，∴S△ACA′∶S△BCB′＝AC2∶BC2＝1∶3.
(3)120，.
18.
【答案】
解：
证明：（1）∵四边形是矩形，∴，.∴，
∵，∴.∴，∴.
解：（2）∵，∴.
∵，是的中点，∴.∴在中，.
又∵，∴，∴.
19.
【答案】
（1）是；
（2）结论成立．
理由如下：
∵BD⊥DF，ED⊥AD，
∴∠BDC＋∠CDF﹦90°，∠EDF＋∠CDF﹦90°．
∴∠BDC﹦∠EDF．
∵AB﹦BD，
∴∠A﹦∠BDC．
∴∠A﹦∠EDF．
又∵∠A﹦∠E，
∴∠E﹦∠EDF．
∴EF﹦FD．
又∠E＋∠ECD﹦90°，
∴∠ECD﹦∠CDF．
∴CF﹦DF．
∴CF﹦EF．
∴F为CE的中点．
（3）在备用图中，设G为EC的中点，则DG⊥BD．
∴GD﹦EC﹦．
又BD＝AB＝6，
在Rt△GDB中，GB＝＝．
∴CB＝—＝3．
在Rt△ABC中，AC＝＝3．
由条件得：△ABC∽△EDC．
∴＝．
∴CD＝．
∴AD＝AC＋CD＝3＋﹦．
20.
【答案】
(1)证明：∵△ABC∽△A1B1C1，且相似比为k(k>1)，
∴＝k.∴a＝ka1，又∵c＝a1，∴a＝kc.
(2)解：取a＝8，b＝6，c＝4，同时取a1＝4，b1＝3，c1＝2.
此时＝＝＝2，∴△ABC∽△A1B1C1且c＝a1.
(3)解：不存在这样的△ABC和△A1B1C1.理由如下：
若k＝2，则a＝2a1，b＝2b1，c＝2c1.
又∵b＝a1，c＝b1，
∴a＝2a1＝2b＝4b1＝4c，
∴b＝2c.(12分)
∴b＋c＝2c＋c＜4c＝a，与b＋c>a矛盾，
故不存在这样的△ABC和△A1B1C1，使得k＝2.