湘教版八年级数学下册 1.1.1 直角三角形的性质和判定课时习题（Word版，附答案）

直角三角形的性质和判定
1．【中考·百色】在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数为(　　)
A．35° B．55° C．65° D．145°
2．【中考·黔西南州】如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为(　　)
A．37° B．43°
C．53° D．54°
3．三角形的一个内角等于其他两个内角的差，则这个三角形一定是( 　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
4．在△ABC中，已知∠A＝70°，∠B＝20°，那么这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，BE与DE的大小关系是(　　)
A．DE＞BE B．DE＝BE
C．DE＜BE D．不能确定
6.下列条件：
①∠A＋∠B＝∠C；
②∠A:∠B:∠C＝1:2:3；
③∠A＝90°－∠B；
④∠A＝∠B＝∠C．
其中能确定△ABC是直角三角形的条件有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是(　　)
A．26° B．38°
C．42° D．52°
如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是(　　)

A．24 B．25
C．30 D．36
9．【中考·陕西】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是(　　)
A．25° B．30°
C．50° D．65°
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为(　　)
A．35° B．40° C．45° D．60°
11．【中考·淮安】已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为________．
12．如图，BE，CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是________．
如图，DH⊥AB于点H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题：
(1)图中有几个直角三角形？
(2)∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
(3)若∠B＝70°，则∠A和∠CED各是多少度？
14如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的高，点M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为点N.
(1)求证：ME＝MD；
(2)如果BD平分∠ABC，求证：AC＝4EN.
15. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED交BD于点F.
(1)求证：BE＝ED；
(2)猜想EF与BD具有怎样的关系，并证明你的猜想．
16．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，M，N分别是AB，AC的中点，连接DM，DN.

(1)若AB＋AC＝10，求四边形AMDN的周长；
(2)连接MN，观察并猜想，线段AD与线段MN有何位置关系？并证明你的猜想．
17．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的数量关系；
(2)如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，移动中保持AN＝BM.判断△MON的形状，并证明你的结论．
直角三角形的边角关系
1．【中考·百色】在△OAB中，∠O＝90°，∠A＝35°，则∠B的度数为(　B　)
A．35° B．55° C．65° D．145°
2．【中考·黔西南州】如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2＝37°时，∠1的度数为(　C　)
A．37° B．43°
C．53° D．54°
3．三角形的一个内角等于其他两个内角的差，则这个三角形一定是( B　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【点拨】设三角形的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，∠A＝∠B－∠C，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B－∠C＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠B＝180°，即∠B＝90°，∴这个三角形为直角三角形．
4．在△ABC中，已知∠A＝70°，∠B＝20°，那么这个三角形是(　B　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．无法确定
5．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，BE与DE的大小关系是(　B　)
A．DE＞BE B．DE＝BE
C．DE＜BE D．不能确定
【点拨】因为在Rt△ABC中，E是AC的中点，所以
BE＝AC.因为在Rt△ADC中，E是AC的中点，所以
DE＝AC，所以DE＝BE，故选B.
6.下列条件：
①∠A＋∠B＝∠C；
②∠A:∠B:∠C＝1:2:3；
③∠A＝90°－∠B；
④∠A＝∠B＝∠C．
其中能确定△ABC是直角三角形的条件有(　D　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【点拨】①中，由∠A＋∠B＝∠C得2∠C＝180°，所以∠C＝90°；②中，由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得∠C＋∠C＋∠C＝180°，所以∠C＝90°；③中，由∠A＝90°－∠B得∠A＋∠B＝90°，所以∠C＝90°；④中，由∠A＝∠B＝∠C得∠C＋∠C＋∠C＝180°，所以∠C＝90°.所以①②③④都可以确定△ABC是直角三角形．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝ 90°，CD是斜边AB上的中线，若∠A＝26°，则∠BDC的度数是(　D　)
A．26° B．38°
C．42° D．52°
【点拨】∵在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，
∴CD＝AD，∴∠DCA＝∠A＝ 26°，
∴∠BDC＝∠A＋∠DCA＝26°＋26°＝52°.
如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是(　C　)

A．24 B．25
C．30 D．36
【点拨】∵在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，
∴AB＝2CE＝2×6＝12，
∴S△ABC＝CD·AB＝×5×12＝30.
9．【中考·陕西】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝65°，CD⊥AB，垂足为D，E是BC的中点，连接ED，则∠EDC的度数是(　D　)
A．25° B．30°
C．50° D．65°
【点拨】因为CD⊥AB，所以∠ADC＝∠BDC＝90°，所以∠ACD＝90°－∠A＝25°.因为∠ACB＝90°，所以∠DCE＝90°－∠ACD＝65°.因为在Rt△CDB中，E是BC的中点，所以EC＝ED，所以∠EDC＝∠DCE＝65°.
10.如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC的度数为(　C　)
A．35° B．40° C．45° D．60°
【点拨】∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE.
∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠ABE＝45°.又∵AB＝AC，∴∠ABC＝(180°－∠BAC)＝×(180°－45°)＝67.5°，∴∠CBE＝∠ABC－∠ABE＝67.5°－45°＝22.5°.
∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，∴BF＝EF，∴∠BEF＝
∠CBE＝22.5°，∴∠EFC＝∠BEF＋∠CBE＝22.5°＋22.5°＝45°
11．【中考·淮安】已知直角三角形斜边长为16，则这个直角三角形斜边上的中线长为___8_____．
12．如图，BE，CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是___13_____．
13.如图，DH⊥AB于点H，AC⊥BD于点C，DH与AC相交于点E，仔细观察图形，回答以下问题：
(1)图中有几个直角三角形？
(2)∠AEH和∠B是什么关系？为什么？
(3)若∠B＝70°，则∠A和∠CED各是多少度？
解：(1)∵DH⊥AB于点H，
∴△AEH和△BDH都是直角三角形．
∵AC⊥BD于点C，
∴△ABC和△CDE都是直角三角形．
∴图中有4个直角三角形．
(2)∠AEH＝∠B.
理由：∵DH⊥AB，AC⊥BD，
∴∠AEH＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，
∴∠AEH＝∠B.
(3)：∵AC⊥BD，∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°－∠B＝90°－70°＝20°.
由(2)可知，∠AEH＝∠B＝70°，
∴∠CED＝∠AEH＝70°.
如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的高，点M是BC的中点，且MN⊥DE，垂足为点N.
(1)求证：ME＝MD；
(2)如果BD平分∠ABC，求证：AC＝4EN.
证明：(1)∵BD是边AC上的高，∴∠BDC＝90°.
∵点M是BC的中点，∴MD＝BC.
同理得ME＝BC，∴ME＝MD.
(2)：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.∵BD是边AC上的高，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°.在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，∴AD＝CD.∵CE是边AB上的高，∴∠CEA＝90°，∴AC＝2DE.∵ME＝MD，MN⊥DE，∴DE＝2EN，∴AC＝4EN.
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E是AC的中点，EF平分∠BED交BD于点F.
(1)求证：BE＝ED；
(2)猜想EF与BD具有怎样的关系，并证明你的猜想．
证明：(1)∵∠ABC＝∠ADC＝90°，E为AC的中点，∴BE为Rt△ABC斜边上的中线，DE为Rt△ACD斜边上的中线，
∴BE＝AC，DE＝AC，∴BE＝ED.
(2)：EF垂直平分BD.
证明如下：
∵BE＝ED，EF平分∠BED，
∴EF⊥BD且BF＝FD，
即EF垂直平分BD.
如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，M，N分别是AB，AC的中点，连接DM，DN.

(1)若AB＋AC＝10，求四边形AMDN的周长；
(2)连接MN，观察并猜想，线段AD与线段MN有何位置关系？并证明你的猜想．
解：(1)∵AD⊥BC，∴△ABD和△ADC都是直角三角形．
∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴AM＝DM＝AB，DN＝AN＝AC，
∴AM＋DM＋DN＋AN＝2AM＋2AN＝AB＋AC＝10，
∴四边形AMDN的周长为10.
(2)：MN⊥AD.
证明：∵AM＝DM，
∴点M在AD的垂直平分线上，
同理得点N在AD的垂直平分线上，
∴MN为AD的垂直平分线， ∴MN⊥AD.
17．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
(1)写出点O到△ABC的三个顶点A，B，C的距离的数量关系；
(2)如果点M，N分别在线段AB，AC上移动，移动中保持AN＝BM.判断△MON的形状，并证明你的结论．
方法规律：与直角三角形有关的问题经常与等腰三角
形、全等三角形、三角形的内角和定理、平行线、
余角、补角等知识联系在一起，解题时应充分关注已知条件，将已知条件向需求问题的方向转化．
解：(1)∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为BC的中点，
∴OA＝BC＝OB＝OC，
即OA＝OB＝OC.
(2)：△MON是等腰直角三角形．
证明如下：∵AC＝BA，OC＝OB，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠B＝45°，AO⊥BC.∵AO＝OC，∴∠NAO＝∠C＝∠B.
又AN＝BM，OA＝OB，∴△AON≌△BOM，∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB，∴∠NOA＋∠AOM＝∠MOB＋∠AOM，
∴∠NOM＝∠AOB＝90°，∴△MON是等腰直角三角形．