综合检测
时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知50个乒乓球中，45个为合格品，5个次品，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率为( )
A.
B.
C．1－
D.
2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )
A.
B.
C.
D.
3．下列函数中哪个不能作为正态分布密度函数( )
A．f(x)＝e，μ和σ(σ>0)都是实数
B．f(x)＝e
C．f(x)＝e
D．f(x)＝e
4．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤2)＝0.6，则P(X>2)等于( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72
B．0.8
C.
D．0.9
6．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A．()5
B．C()5
C．C()3
D．CC()5
7．已知P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝0.4，则EX和DX的值分别为( )
A．1和0
B．1和1.8
C．2和2
D．2和0.8
8．在10支铅笔中，有8只正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是( )
A.
B.
C.
D.
9．二项式n展开式中所有奇数项系数之和等于1
024，则所有项的系数中最大的值是( )
A．330
B．462
C．680
D．790
10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
11．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( )
A.(3n＋1)
B.(3n－1)
C．3n－1
D．3n＋1
12．在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23
145且小于43
521的数共有( )
A．56个
B．57个
C．58个
D．60个
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13．已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
1
2
3
4
5
P
x
则x的值为________，P(＜ξ＜)＝________.
14．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
15．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.
16．某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班且每班安排两名，则不同安排方案有________种．
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)从1,2,3，…，9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数．一共可以得到多少个不同的对数值？其中比1大的有几个？
18．(12分)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
19．(12分)某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
20．(12分)在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？
21．(12分)第16届亚运会在中国广州举行，在安全保障方面，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，，.这三项测试能否通过相互之间没有影响．
(1)求A能够入选的概率；
(2)规定：按入选人数得训练经费(每选1人，则相应的训练基地得到3
000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．
22．(14分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
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时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知50个乒乓球中，45个为合格品，5个次品，从这50个乒乓球中任取3个，出现次品的概率为( )
A.
B.
C．1－
D.
解析：间接法．出现次品的对立面为取出的3个均为正品，取出3个均为正品的概率为，所以出现次品的概率为1－.
答案：C综合检测
数学·选修2－3
2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后放回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为( )
A.
B.
C.
D.
解析：X＝4表示盒中旧球的个数为4，故取用的3个球为1个新球2个旧球，其概率P(X＝4)＝＝.
答案：C
3．下列函数中哪个不能作为正态分布密度函数( )
A．f(x)＝e，μ和σ(σ>0)都是实数
B．f(x)＝e
C．f(x)＝e
D．f(x)＝e
解析：对照正态分布密度函数：f(x)＝e，
x∈(－∞，＋∞)，注意指数上的σ和系数的分母上σ要一致，且指数部分是一个负数．
对于A，f(x)＝e＝·e.由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于B，若σ＝1，则应为f(x)＝·e.若σ＝，则应为f(x)＝e，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于C，它就是当σ＝，μ＝0时的正态分布密度函数；对于D，它是当σ＝时的正态分布密度函数．故选B.
答案：B
4．已知X～N(0，σ2)，且P(－2≤X≤2)＝0.6，则P(X>2)等于( )
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
解析：P(X>2)＝＝0.2.
答案：B
5．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A．0.72
B．0.8
C.
D．0.9
解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，并成活而成长为幼苗)，则P(A)＝0.9，又种子发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，所以P(AB)＝P(A)P(B|A)＝0.9×0.8＝0.72.
答案：A
6．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是( )
A．()5
B．C()5
C．C()3
D．CC()5
解析：由题意可知质点P在5次运动中向右移动2次，向上移动3次，且每次移动是相互独立的，即向右移动的次数ξ～B(5，)，
∴P(ξ＝2)＝C()2()3＝C()5.
答案：B
7．已知P(X＝1)＝0.4，P(X＝2)＝0.2，P(X＝3)＝0.4，则EX和DX的值分别为( )
A．1和0
B．1和1.8
C．2和2
D．2和0.8
解析：X的分布列为：
X
1
2
3
P
0.4
0.2
0.4
从而由DX，EX的定义可求．
答案：D
8．在10支铅笔中，有8只正品，2支次品，从中任取2支，则在第一次抽的是次品的条件下，第二次抽的是正品的概率是( )
A.
B.
C.
D.
解析：设A，B分别表示“第一次、第二次抽得正品”，则B表示“第一次抽得次品第二次抽得正品”．
∴P(B|)＝＝＝.
答案：C
9．二项式n展开式中所有奇数项系数之和等于1
024，则所有项的系数中最大的值是( )
A．330
B．462
C．680
D．790
解析：显然奇数项之和是所有项系数之和的一半，令x＝1即得所有项系数之和．据题意可得2n－1＝1
024＝210，∴n＝11.各项的系数为二项式系数，故系数最大值为C或C，为462.
答案：B
10．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( )
A．63.6万元
B．65.5万元
C．67.7万元
D．72.0万元
解析：∵＝＝，＝＝42，
又y＝bx＋a必过(，)，∴42＝×9.4＋a，∴a＝9.1.
∴线性回归方程为y＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，y＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．
答案：B
11．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( )
A.(3n＋1)
B.(3n－1)
C．3n－1
D．3n＋1
解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2n＝3n.
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n＝1.
故a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝(3n＋1)．
答案：A
12．在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23
145且小于43
521的数共有( )
A．56个
B．57个
C．58个
D．60个
解析：首位为3时，有A＝24(个)；
首位为2，千位为3时，有AA＋1＝5(个)，
千位为4或5时，有AA＝12(个)；
首位为4，千位为1或2时，有AA＝12(个)，
千位为3时，有AA＋1＝5(个)．
∴共有24＋5＋12＋12＋5＝58(个)．
答案：C
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13．已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
1
2
3
4
5
P
x
则x的值为________，P(＜ξ＜)＝________.
解析：根据分布列的性质可得x＝1－(＋＋＋)＝.P(＜ξ＜)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝5)＝.
答案：
14．设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
解析：因为a10＝C(－1)11＝－C，
a11＝C(－1)10＝C，
所以a10＋a11＝C－C＝0.
答案：0
15．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.
解析：由已知得
解得P(A)＝，P(B)＝.
所以P(B)＝P()P(B)＝×＝.
答案：
16．某校高二年级共有6个班，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班且每班安排两名，则不同安排方案有________种．
解析：分两步：先将四个学生平均分成二组，有C种方法，对每一种分组方法有A种安排方式．由分步乘法计数原理，方法有CA＝90(种)．
答案：90
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(12分)从1,2,3，…，9这9个数字中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数．一共可以得到多少个不同的对数值？其中比1大的有几个？
解析：在2,3，…，9这8个数中任取2个数组成对数，有A个，在这些对数值中，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94，重复计数4个；
又1不能作为对数的底数，1作为真数时，不论底数为何值，其对数值均为0.
所以，可以得到A－4＋1＝53个不同的对数值．
要求对数值比1大，分类完成：底数为2时，真数从3,4,5，…，9中任取一个，有7种选法；底数为3时，真数从4,5，…，9中任取一个，有6种选法……依次类推，当底数为8时，真数只能取9，故有7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28(个)．但其中log24＝log39，log23＝log49，所以，比1大的对数值有28－2＝26(个)．
18．(12分)甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品．
(1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；
(2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率．
解析：(1)从甲箱中任取2个产品的事件数为C＝28，这2个产品都是次品的事件数为C＝3.
所以这2个产品都是次品的概率为.
(2)设事件A为“从乙箱中取一个正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥．
P(B1)＝＝，P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝，P(A|B1)＝＝，
P(A|B2)＝，P(A|B3)＝，
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)
＝×＋×＋×＝，
即取出的这个产品是正品的概率为.
19．(12分)某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解析：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一为事件A，B，C，则A、B、C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用 表示．
P( )＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)
＝0.003，
∴三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示．
由于事件BC，AC和AB两两互斥，
根据概率加法公式和相互独立事件的意义，所求的概率为
P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)
＝0.329，
∴恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
20．(12分)在一次天气恶劣的飞机航程中，调查了男女乘客在飞机上晕机的情况：男乘客晕机的有24人，不晕机的有31人；女乘客晕机的有8人，不晕机的有26人．请你根据所给数据判定：在天气恶劣的飞机航程中，男乘客是否比女乘客更容易晕机？
解析：根据题意，列出2×2列联表如下：
晕机
不晕机
合计
男乘客
24
31
55
女乘客
8
26
34
合计
32
57
89
假设在天气恶劣的飞机航程中男乘客不比女乘客更容易晕机．
由公式可得
χ2＝
＝
≈3.689＞2.706.
故在犯错误的概率不超过0.10的前提下，认为“在天气恶劣的飞机航程中男乘客比女乘客更容易晕机”．
21．(12分)第16届亚运会在中国广州举行，在安全保障方面，警方从武警训练基地挑选防爆警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选．假定某基地有4名武警战士(分别记为A、B、C、D)拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为，，.这三项测试能否通过相互之间没有影响．
(1)求A能够入选的概率；
(2)规定：按入选人数得训练经费(每选1人，则相应的训练基地得到3
000元的训练经费)，求该基地得到训练经费的分布列与数学期望．
解析：(1)设A通过体能、射击、反应分别记为事件M、N、P，则A能够入选包含以下几个互斥事件：MN，MP，NP，MNP.
∴P(A)＝P(MN)＋P(MP)＋P(NP)＋P(MNP)
＝××＋××＋××＋××＝＝.
(2)记ξ表示该训练基地得到的训练经费，则分布列为：
ξ
0
3
000
6
000
9
000
12
000
P
Eξ＝3
000×＋6
000×＋9
000×＋12
000×＝8
000(元)．
22．(14分)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
(1)设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
解析：(1)X可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有
P(X＝10)＝C×1×2＝，
P(X＝20)＝C×2×1＝，
P(X＝100)＝C×3×0＝，
P(X＝－200)＝C×0×3＝.
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P
(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝.
所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－3＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
(3)X的数学期望为EX＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
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