湘教版八年级数学下册 1.1.2含30°角的直角三角形的性质同步练习(word版含答案)

1.1.2含30°角的直角三角形的性质
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是(　　)
A．BD＝BC B．BD＝BC
C．BD＝BC D．BD＝BC
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，AD是高，DE⊥AB于点E，且AE＝2，则AB的长为(　　)
A．4 B．6
C．7 D．8
3．【模拟·永州】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最短边BC＝3 cm，则最长边AB的长为(　　)
A．9 cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm
4．如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝10，S△ABC＝20，则∠B的度数是(　　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中，AB边上的高为( 　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
6.【中考·海南】如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为(　　)
A．12 B．15
C．18 D．21
7．【教材改编题】如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2米，∠A＝30°，则AB等于(　　)
A．8米 B．4米
C．2米 D．1米
8．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　　)
A．3 m B．4 m
C．5 m D．6 m

9．如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为1.5 m，为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，要使斜面与水平地面的夹角不大于30°，则这块木板的长度至少为(　　)
A．3 m B．2.5 m
C．2.6 m D．0.75 m
10．设计一张折叠型方桌如图所示，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使AB离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为(　　)
A．60° B．90°
C．120° D．150°
11．【中考·黔西南州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3 ，则BD的长度为___
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝18，AC＝9，则∠B＝____.
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，其周长为3＋3 ，AC＝3，则BC的长为________．
14.如图是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它是底角为30°的等腰三角形，已知中柱BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，测得BE＝1 m，求AB的长．
15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
16．某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元．
17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，点D为AC的中点，点E为AB边上一动点，AE＝DE，延长ED交BC的延长线于点F.
(1)求证：△BEF是等边三角形；
(2)若AB＝12，求DE的长．
1.1.2含30°角的直角三角形的性质
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC，垂足为D，则BD与BC的数量关系是(　C　)
A．BD＝BC B．BD＝BC
C．BD＝BC D．BD＝BC
2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，AD是高，DE⊥AB于点E，且AE＝2，则AB的长为(　D　)
A．4 B．6
C．7 D．8
3．【模拟·永州】在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，最短边BC＝3 cm，则最长边AB的长为(　D　)
A．9 cm B．8 cm C．7 cm D．6 cm
【点拨】设∠A，∠B，∠C的度数分别为k，2k，3k，则k＋2k＋3k＝180°，解得k＝30°，∴2k＝60°，3k＝90°.∵最短边BC＝3 cm，∴最长边AB＝2BC＝2×3＝6(cm)．
4．如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝10，S△ABC＝20，则∠B的度数是(　B　)
A．15° B．30°
C．45° D．60°
【点拨】过点C作CD⊥AB于点D.∵ AB＝10，S△ABC＝20，
∴CD＝4.∵在Rt△BCD中， BC＝8，∴CD＝BC.
∴∠B＝30°.故选B.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中，AB边上的高为( B　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【点拨】过D作DE⊥AB于E.∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠CBA＝60°.∵BD平分∠CBA，∴∠DBA＝∠DBC＝30°＝∠A，
∴AD＝BD，CD＝BD，∴CD＝AD.∵AD＋CD＝AC＝12，∴CD＝4.
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠C.在△DBE与△DBC中，
∴△DBE≌△DBC.∴DE＝CD＝4.
6.【中考·海南】如图，在平行四边形ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC延长线上的点E处．若∠B＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为(　C　)
A．12 B．15
C．18 D．21
【点拨】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，CD＝AB＝3，∴∠BAD＝180°－∠B＝120°，
∴∠D＝180°－∠BAD＝60°，由折叠知CE＝CD＝3，AE＝AD，
∴DE＝6，△ADE是等边三角形，∴△ADE的周长为3DE＝18.
7．【教材改编题】如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2米，∠A＝30°，则AB等于(　A　)
A．8米 B．4米
C．2米 D．1米
【点拨】∵∠A＝30°，DE⊥AC，∴DE＝AD，又DE＝2米，∴AD＝4米．∵D是AB的中点，∴AB＝2AD＝8米．
8．如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中AB，CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是(　B　)
A．3 m B．4 m
C．5 m D．6 m

【点拨】如图，过点C作CE⊥AB交AB 的延长线于E，
∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝30°，∴CE＝BC.又BC＝8 m，
∴CE＝4 m，即h＝4 m.
9．如图，一辆货车车厢底板离地面的高度为1.5 m，为了方便卸货，常用一块木板搭成一个斜面，要使斜面与水平地面的夹角不大于30°，则这块木板的长度至少为(　A　)
A．3 m B．2.5 m
C．2.6 m D．0.75 m
10．设计一张折叠型方桌如图所示，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使AB离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的∠AOB应为(　C　)
A．60° B．90°
C．120° D．150°
【点拨】过点D作DE⊥AB交AB于E.在Rt△ADE中，AD＝OA＋OD＝50＋30＝80(cm)，易知DE＝40 cm，∴DE＝AD.∴∠BAD＝30°.∵OA＝OB，∴∠ABC＝∠BAD＝30°.∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.故选C.
11．【中考·黔西南州】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝3 ，则BD的长度为___2
12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD＝18，AC＝9，则∠B＝____15°.____.
【点拨】∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD.∴∠B＝∠BAD.又BD＝18，AC＝9，∴AC＝AD.又∠ACB＝90°，∴∠ADC＝30°.∵∠ADC＝∠B＋∠BAD，∴∠ADC＝2∠B，∴∠B＝15°.
13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，其周长为3＋3 ，AC＝3，则BC的长为________．
【点拨】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC.∵AB＋BC＋AC＝3 ＋3，AC＝3，∴2BC＋BC＋3＝3 ＋3，即3BC＝3 .∴BC＝.
14.如图是某种帐篷支架屋顶的侧面示意图，它是底角为30°的等腰三角形，已知中柱BD垂直于底边AC，支柱DE垂直于腰AB，测得BE＝1 m，求AB的长．
解：∵BD⊥AC，DE⊥AB，∴∠ADB＝∠DEB＝∠AED＝90°.
又∵∠A＝30°，∴∠ADE＝90°－30°＝60°，AB＝2BD.
∴∠BDE＝90°－60°＝30°.∴BD＝2BE.
∵BE＝1 m，∴BD＝2 m.∴AB＝2BD＝4 m.
15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
证明：(1)∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
在△BED和△CFD中，∠BED＝∠CFD，∠B＝∠C，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)．
∴DE＝DF.
(2)：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°.∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD.
∵BE＝1，∴BD＝2，∴BC＝2BD＝4，
∴△ABC的周长为3BC＝12.
16．某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地中种植草皮美化环境，已知这种草皮每平方米要80元，求买这种草皮至少需多少元．
解：如图，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D.
∵∠BAC＝150°，∴∠DAC＝30°.
∵CD⊥BD，AC＝60 m，∴CD＝AC＝30 m.
又∵AB＝40 m，∴S△ABC＝AB·CD＝×40×30＝600(m2)．
∵这种草皮每平方米要80元，
∴买这种草皮至少需600×80＝48 000(元)．
17．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，点D为AC的中点，点E为AB边上一动点，AE＝DE，延长ED交BC的延长线于点F.
(1)求证：△BEF是等边三角形；
(2)若AB＝12，求DE的长．
证明：(1)∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴∠B＝60°.
∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠A＝30°，
∴∠BEF＝∠A＋∠ADE＝60°，∴△BEF 是等边三角形．
(2)：如图，在 EF 上截取 FG＝CF，连接 CG.
由(1)知△BEF是等边三角形，∴∠F＝60°，
又FG＝CF，∴△CFG为等边三角形，
∴∠FGC＝60°＝∠BEF. ∴∠AED＝∠CGD.
∵点D为AC的中点，∴AD＝CD.