黑龙江省哈尔滨市部分学校2020——2021学年九年级上学期期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）

2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市部分学校九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共计30分）
1．﹣3的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
2．下列运算正确的是（　　）
A．6a﹣5a＝1 B．（a2）3＝a5
C．3a2+2a3＝5a5 D．a6?a2＝a8
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
5．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（　　）（用含α的代数式表示）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
7．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．抛物线y＝x2+2x+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线y＝1 D．直线y＝﹣1
9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A．20% B．40% C．18% D．36%
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．将20300000用科学记数法表示为　 　．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．计算2+的结果为　 　．
14．不等式组的解集是　 　．
15．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的值可以是　 　．（写出一个符合条件的实数即可）
16．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为　 　cm．
17．汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s＝30t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了　 　米．
18．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣2k（k＜0）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若BC平分∠ABO交OA于点C，AC＝2OC，则k的值为　 　．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F分别是AD、BC的中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG的长为　 　．
20．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝　 　．
三、解答题（21、22题每题7分，23、24题每题8分，25、26、27题每题10分）
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3tan30°+2cos60°．
22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，点A、B、C对应点分别是A1、B1、C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，点A1、C1对应点分别是A2、C2，请画出△A2B1C2；
（3）连接CA2，直接写出CA2的长　 　．
23．某社区为了调查居民对“物业管理”的满意度，随机抽取了部分居民作问卷调查：用“A”表示“相当满意”，“B”表示“满意”，“C”表示“比较满意”，“D”表示“不满意”，下图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了多少人．
（2）将图（2）中“B”部分的图形补充完整．
（3）如果该社区有居民2000人，请你估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有多少人？
24．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AD＝AE，连接CD、AE交于点F．
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时（如图2），延长DC、AB交于点G，请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形．
25．某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元．
（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？
（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？
26．△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D．
（1）如图（1），连接OB，求证：∠CAD＝∠ABO；
（2）如图（2），BE⊥AC于点E交AD于F，tan∠ACB＝，连接OA，求的值；
（3）如图（3），在（2）的条件下，延长AO交BC于H，点G在AF上，且FD＝GF，GA＝GD，连接OG、EH，若OG＝，求EH的长．
27．抛物线y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB＝10．
（1）如图（1），求抛物线的解析式；
（2）如图（2），连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）；
（3）如图（3），在（2）的条件下，连接PA交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，分别交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当∠APE+∠CFD＝90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市部分学校九年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．﹣3的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．3 D．﹣3
【分析】根据倒数的概念：乘积是1的两数互为倒数可得答案．
【解答】解：﹣3的倒数是﹣，
故选：B．
2．下列运算正确的是（　　）
A．6a﹣5a＝1 B．（a2）3＝a5
C．3a2+2a3＝5a5 D．a6?a2＝a8
【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．
【解答】解：A、6a﹣5a＝a≠1，本选项错误；
B、（a2）3＝a6≠a5，本选项错误；
C、3a2+2a3≠5a5，本选项错误；
D、a6?a2＝a8，本选项正确．
故选：D．
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4．下列几何体各自的三视图中，只有两个视图相同的是（　　）
A．①③ B．②③ C．③④ D．②④
【分析】分别分析四个几何体的三视图，从中找出只有两个视图相同的几何体，可得出结论．
【解答】解：①正方形的主、左和俯视图都是正方形；
②圆锥的主、左视图是三角形，俯视图是显示圆心的圆；
③球体的主、左和俯视图都是圆形；
④圆柱的主、左视图是长方形，俯视图是圆；
只有两个视图相同的几何体是圆锥和圆柱体．
故选：D．
5．将抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝（x+3）2﹣2 B．y＝（x﹣3）2+2 C．y＝（x+3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2
【分析】根据二次函数变化规律：左加右减，上加下减，进而得出变化后解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝x2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，
∴平移后的解析式为：y＝（x﹣3）2+2．
故选：B．
6．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝2，则树高BC为（　　）（用含α的代数式表示）
A．2sinα B．2tanα C．2cosα D．
【分析】根据题意可知BC⊥AC，在Rt△ABC中，AC＝7米，∠BAC＝α，利用锐角三角函数的定义即可求出BC的高度．
【解答】解：∵BC⊥AC，AC＝2，∠BAC＝α，
∴tanα＝，
∴BC＝AC?tanα＝2tanα，
故选：B．
7．如图，BM为⊙O的切线，点B为切点，点A、C在⊙O上，连接AB、AC、BC，若∠MBA＝130°，则∠ACB的度数为（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】直接利用切线的性质得出∠OBM＝90°，求出∠AOB的度数，进而利用圆周角定理可得出答案．
【解答】解：如图，连接OA，OB，
∵BM为⊙O的切线，
∴∠OBM＝90°，
∵∠MBA＝130°，
∴∠ABO＝40°，
∵OA＝OB，
∴∠BAO＝∠ABO＝40°，
∴∠AOB＝180°﹣40°﹣40°＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°，
故选：B．
8．抛物线y＝x2+2x+1的对称轴是（　　）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线y＝1 D．直线y＝﹣1
【分析】由对称轴公式﹣可得对称轴．
【解答】解：∵对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣1，
∴对称轴是直线x＝﹣1．
故选：B．
9．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（　　）
A．20% B．40% C．18% D．36%
【分析】设降价的百分率为x，根据降低率的公式a（1﹣x）2＝b建立方程，求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为x
根据题意可列方程为25（1﹣x）2＝16
解方程得，（舍）
∴每次降价的百分率为20%
故选：A．
10．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据相似三角形的判定和性质进行判断即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BF，BE∥DC，AD＝BC，
∴，，，
故选：C．
二．填空题
11．将20300000用科学记数法表示为　2.03×107　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：数字20300000科学记数法可表示为2.03×107．
故答案为：2.03×107．
12．在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≠2　．
【分析】根据函数表达式是整式时，自变量可取全体实数解答．
【解答】解：当x﹣2≠0，即x≠2时，函数y＝有意义．
故答案为：全x≠2．
13．计算2+的结果为　3　．
【分析】首先化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：原式＝2×+2＝3．
故答案为：3．
14．不等式组的解集是　x≤2　．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式6﹣3x≥0，得：x≤2，
解不等式2x＜x+4，得：x＜4，
则不等式组的解集为x≤2，
故答案为x≤2．
15．反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则a的值可以是　﹣4　．（写出一个符合条件的实数即可）
【分析】根据反比例函数的性质解答．
【解答】解：依题意有a+3＜0，则a＜﹣3．故a的值可以是﹣4．（答案不唯一，符合条件的实数即可．）
16．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm．则扇形的弧长为　2π　cm．
【分析】根据弧长公式可得结论．
【解答】解：根据题意，扇形的弧长为＝2π，
故答案为：2π
17．汽车刹车后行驶的距离s米与行驶的时间t秒的函数关系式是s＝30t﹣6t2，汽车刹车后到停下来前进了　　米．
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【解答】解：∵s＝30t﹣6t2＝﹣6（t﹣）2+，
∴汽车刹车后到停下来前进了m．
故答案为：．
18．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y＝kx﹣2k（k＜0）交x轴的正半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，若BC平分∠ABO交OA于点C，AC＝2OC，则k的值为　﹣　．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，则OC＝CD，利用面积法结合AB＝2OC，可得出AB＝2OA，利用勾股定理可得出OA＝OB，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出OA，OB的长，结合OA＝OB可求出k值．
【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，则OC＝CD，如图所示．
∵S△BOC＝OC?OB，S△ABC＝AC?OB＝AB?CD，
∴＝＝＝2，
∴AB＝2OB，
∴OA＝＝OB．
当x＝0时，直线y＝kx﹣2k＝﹣2k，
∴OB＝﹣2k；
当y＝0时，y＝kx﹣2k＝0，解得：x＝2，
∴OA＝2，
∴2＝×（﹣2k），
∴k＝﹣．
故答案为：﹣．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E、F分别是AD、BC的中点，G是对角线AC上的点，∠EGF＝90°，则AG的长为　2或8　．
【分析】连接EF交AC于O，先证四边形ABFE是矩形，得EF＝AB＝6，EF∥AB，再证OF是△ABC的中位线，得OA＝OC＝AC＝5，然后由直角三角形的性质得OG＝EF＝3，分两种情况求出即可．
【解答】解：如图，连接EF交AC于点O，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝8，AD∥BC，
∴AC＝＝＝10，
∵E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE＝BF＝4，AE∥BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠BAE＝90°，
∴四边形ABFE是矩形，
∴EF＝AB＝6，EF∥AB，
∴OF是△ABC的中位线，
∴OA＝OC＝AC＝5，
∵∠EGF＝90°，
∴OG＝EF＝3，
当点G在线段OA上时，AG＝OA﹣OG＝2，
当点G在线段OC上时，AG′＝OA+OG'＝8；
故答案为：2或8．
20．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝　12　．
【分析】过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠C＝∠DEC，可得DE＝DC＝，通过证明△CDN∽△CAM，可得，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，
∵CA＝CB，AB＝AE，
∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，
∴∠C＝∠BAE，
∴2∠AEB+∠C＝180°，
又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，
∴∠C＝∠ADE，
又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC＝，
∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，
∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，
∴△CDN∽△CAM，
∴，
∴，
∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），
故答案为：12．
三．解答题（共7小题）
21．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝3tan30°+2cos60°．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝?
＝，
∵x＝3×+2×＝+1，
∴原式＝＝＝．
22．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC（顶点是网格线的交点）．
（1）先将△ABC竖直向上平移6个单位，再水平向右平移3个单位得到△A1B1C1，点A、B、C对应点分别是A1、B1、C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1绕B1点顺时针旋转90°，得△A2B1C2，点A1、C1对应点分别是A2、C2，请画出△A2B1C2；
（3）连接CA2，直接写出CA2的长　　．
【分析】（1）将点A、B、C分别向上平移6个单位、向右平移3个单位得到平移后的对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）将点A1、C1分别绕B1点顺时针旋转90得到对应点，再与点B1首尾顺次连接即可；
（3）利用勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
（2）如图所示，△A2B1C2即为所求．
（3）CA2＝＝，
故答案为：．
23．某社区为了调查居民对“物业管理”的满意度，随机抽取了部分居民作问卷调查：用“A”表示“相当满意”，“B”表示“满意”，“C”表示“比较满意”，“D”表示“不满意”，下图是工作人员根据问卷调查统计资料绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了多少人．
（2）将图（2）中“B”部分的图形补充完整．
（3）如果该社区有居民2000人，请你估计该社区居民对“物业管理”感到“不满意”的约有多少人？
【分析】（1）根据条形图可得C人数为100人，根据扇形图可得C占总人数的20%，再用100除以20%可得答案；
（2）首先利用总数减去各条的纵坐标可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法用2000乘以感到“不满意”的人数所占百分比．
【解答】解：（1）100÷20%＝500（人），
本次问卷调查，共调查了500人．
（2）500﹣200﹣100﹣50＝150（人），
如图．
（3）如果该校有学生2000人，则该校学生对教学感到“不满意”的约有：2000×10%＝200（人）．
24．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠EAD，AB＝AC，AD＝AE，连接CD、AE交于点F．
（1）求证：∠DCE＝∠BAC；
（2）当∠BAC＝∠EAD＝30°，AD⊥AB时（如图2），延长DC、AB交于点G，请直接写出图中除△ABC、△ADE以外的等腰三角形．
【分析】（1）如图1，先证明△ACD≌△ABE，得∠ACD＝∠ABC，根据三角形内角和与平角定义得出结论；
（2）如图2，图形中有四个等腰三角形：分别是①△ACF是等腰三角形，②△ADG是等腰直角三角形，③△DEF是等腰三角形；④△ECD是等腰三角形；根据已知角的度数依次计算各角的度数，根据两个角相等的三角形是等腰三角形得出结论．
【解答】证明：（1）如图1，∵∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE，
即∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ACD≌△ABE，
∴∠ACD＝∠ABC，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∠ECD+∠ACD+∠ACB＝180°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BAC+2∠ACB＝180°，
∠ECD+2∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝∠ECD；
（2）如图2，
①∵∠BAC＝∠EAD＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝∠ADE＝75°，
由（1）得：∠ACD＝∠ABC＝75°，
∠DCE＝∠BAC＝30°，
∵AD⊥AB，
∴∠BAD＝90°，
∴∠CAE＝30°，
∴∠AFC＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴△ACF是等腰三角形，
②∵∠BCG＝∠DCE＝30°，∠ABC＝75°，
∴∠G＝45°，
在Rt△AGD中，∠ADG＝45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
③∠EDF＝75°﹣45°＝30°，
∴∠DEF＝∠DFE＝75°，
∴△DEF是等腰三角形；
④∵∠ECD＝∠EDC＝30°，
∴△ECD是等腰三角形．
25．某商店计划今年的圣诞节购进A、B两种纪念品若干件．若花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，已知每件A种纪念品比每件B种纪念品多4元．
（1）求购买一件A种纪念品、一件B种纪念品各需多少元？
（2）若商店一次性购买A、B纪念品共200件，要使总费用不超过3000元，最少要购买多少件B种纪念品？
【分析】（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元，根据数量＝总价÷单价结合花费480元购进的A种纪念品的数量是花费480元购进B种纪念品的数量的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买m件B种纪念品，则购买（200﹣m）件A种纪念品，根据总价＝单价×数量结合要使总费用不超过3000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设购买一件B种纪念品需x元，则购买一件A种纪念品需（x+4）元，
依题意，得：＝×，
解得：x＝12，
经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意，
∴x+4＝16．
答：购买一件A种纪念品需16元，购买一件B种纪念品需12元．
（2）设购买m件B种纪念品，则购买（200﹣m）件A种纪念品，
依题意，得：16（200﹣m）+12m≤3000，
解得：m≥50．
答：最少要购买50件B种纪念品．
26．△ABC内接于⊙O，AD⊥BC于点D．
（1）如图（1），连接OB，求证：∠CAD＝∠ABO；
（2）如图（2），BE⊥AC于点E交AD于F，tan∠ACB＝，连接OA，求的值；
（3）如图（3），在（2）的条件下，延长AO交BC于H，点G在AF上，且FD＝GF，GA＝GD，连接OG、EH，若OG＝，求EH的长．
【分析】（1）如图，延长BO交⊙O于E，连接AE．利用等角的余角相等解决问题即可．
（2）如图（2）中，过点O作OT⊥AC于T．证明△ADB∽△ATO，可得＝，解决问题．
（3）如图3中，作OR⊥AD于R，延长AD交⊙O于K，延长AH交⊙O于W，连接BW，则OR∥CD，AR＝KR＝AK，AW是直径，由题意设AD＝20x（x＞0），则CD＝15x，得出DG＝AG＝10x，DE＝GE＝5x，证出∠BED＝∠ACD，由三角函数定义得出BD＝DE＝x，由勾股定理得出AB＝x，得出∠ABW＝90°，由相交线定理求出DK＝5x，得出AK＝AD+DK＝25x，AR＝x，求出GR＝AR﹣AG＝x，由三角函数定义求出AW＝AB＝x，由勾股定理得出KW＝x，由三角形中位线定理得出OR＝KW＝x，在Rt△OGR中，由勾股定理得出方程：（x）2+（x）2＝（）2，解方程得出OR＝，AR＝，CD＝15x＝9，AD＝20x＝12，证明△AOR∽△AHD，得出＝，得出DH＝4，即可得出CH的长．
【解答】（1）证明：如图（1）中，延长BO交⊙O于E，连接AE．
∵BE是直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠ABO+∠E＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∵∠E＝∠C，
∴∠CAD＝∠ABO．
（2）解：如图（2）中，过点O作OT⊥AC于T．
∵AD⊥BC，
由（1）可知，∠OAT＝∠BAD，
∵∠ADB＝∠ATO＝90°，
∴△ADB∽△ATO，
∴＝，
∵∠ADC＝90°，
∴tan∠ACB＝＝，
∴可以假设AD＝4k，CD＝3k，则AC＝5k，
∵OT⊥AC，
∴AT＝CT＝k，
∴＝＝．
（3）如图3中，作OR⊥AD于R，延长AD交⊙O于K，延长AH交⊙O于W，连接BW，则OR∥CD，AR＝KR＝AK，AW是直径，
由（1）得：∠ADC＝90°，
∵tan∠ACB＝＝，
∴设AD＝20x（x＞0），则CD＝15x，
∵E是GD中点，G是AD中点，
∴DG＝AG＝10x，DE＝GE＝5x，
由（2）得：BM⊥AC，
∴∠CBF+∠AD＝∠CBF+∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠ACD，
∴tan∠BED＝＝，
∴BD＝DE＝x，
∴AB＝＝＝x，
∴∠ABW＝90°，
由相交线定理得：AD×DK＝BD×CD，
∴DK＝＝＝5x，
∴AK＝AD+DK＝25x，AR＝x，
∴GR＝AR﹣AG＝x，
∵∠ABW＝90°，∠W＝∠ACB，tan∠ACB＝，
∴sinW＝＝，
∴AW＝AB＝x，
∴KW＝＝＝x，
∵AR＝KR，OA＝OW，
∴OR是△AKW的中位线，
∴OR＝KW＝x，
在Rt△OGR中，由勾股定理得：（x）2+（x）2＝（）2，
解得：x＝，
∴OR＝，AR＝，CD＝15x＝9，AD＝20x＝12，
∵OR∥CD，
∴△AOR∽△AHD，
∴＝，即＝，
解得：DH＝4，
∴CH＝CD﹣DH＝9﹣4＝5．
27．抛物线y＝ax2﹣6ax+4（a≠0）交y轴正半轴于点C，交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，且AB＝10．
（1）如图（1），求抛物线的解析式；
（2）如图（2），连接BC，点P为第一象限抛物线上一点，设点P横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不用写出自变量t的取值范围）；
（3）如图（3），在（2）的条件下，连接PA交y轴于点D，过点P作x轴的垂线，分别交x轴于点E，交BC于点F，连接DF，当∠APE+∠CFD＝90°时，在抛物线上是否存在点Q，使得点Q、PE的中点N、点C、是构成以CN为斜边的等腰直角三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设A（m，0），B（n，0），由题意：，求出点A的坐标，再利用待定系数法求出a即可．
（2）如图2中，连接OP．设P（t，﹣t2+t+4），根据S＝S△POC+S△POB﹣S△OBC，求解即可．
（3）存在．如图3中，设P（m，﹣m2+m+4），首先证明DF∥AB，证明∠PAB＝∠CFD＝∠CBO，推出tan∠CBO＝tan∠PAB＝＝，求出点D的坐标，构建方程求出m的值，再求出点N的坐标，根据等腰直角三角形的性质，利用图象法求出满足条件的点Q的坐标，证明点Q在抛物线上，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，设A（m，0），B（n，0），
由题意：，
解得，
∴A（﹣2，0），B（8，0），
把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣6ax+4，得到a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4．
（2）如图2中，连接OP．设P（t，﹣t2+t+4），
∵B（8，0），C（0，4），
∴OB＝8，OC＝4，
∴S＝S△POC+S△POB﹣S△OBC＝×4×t+×8×（﹣t2+t+4）﹣×4×8＝﹣t2+8t（0＜t＜8）．
（3）存在．
理由：如图3中，设P（m，﹣m2+m+4），
∵A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），
∴直线PA的解析式为y＝﹣（m﹣8）x﹣m+4，直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
∵PE⊥x轴，
∴F（m，﹣m+4），
∵D（0，﹣m+4），
∴FD∥AB，
∴∠CFD＝∠CBA，
∵∠APF+∠CFD＝90°，∠APF+∠PAE＝90°，
∴∠PAB＝∠CFD＝∠CBO，
∴tan∠CBO＝tan∠PAB＝＝，
∴＝，
∵OA＝2，
∴OD＝1，
∴﹣m+4＝1，
∴m＝6，
∴P（6，4），E（6，0），
∵PN＝NE，
∴N（6，2），
∵C（0，4），△CNQ是等腰直角三角形，CN是斜边，
当点Q在CN的上方时，如图3，过点Q作x轴的平行线交y轴于点G，交EP的延长线于点H，
设点Q（s，t），
易证△QGC≌△NHQ（AAS），
则GC＝QH，GQ＝HN，
即s＝t﹣2，t﹣4＝6﹣s，解得，
∴点Q的坐标为（4，6），
∵当x＝4时，y＝﹣×42+×4+4＝6，
∴点Q在抛物线y＝﹣x2+x+4上，
∴满足条件的点Q的坐标为（4，6）．