2021年中考二轮复习数学《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练五：与直角三角形相关的压轴题（附答案）

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练五：
与直角三角形相关的压轴题（附答案）
方法提炼(1)：
1、利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的代数式；
2、确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；
3、根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；
方法提炼(2)：
1、利用两直线垂直，K值互为负倒数（K1K2=-1），先确定点所在的直线表达式
2、将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在；
方法提炼(3)：
1、利用特殊角45°构造直角三角形，易求点的坐标。
典例引领：
3．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），B（0，4）两点，C为OA的中点，连接BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为第一象限抛物线上一点，连接PB，PC，当△PBC的面积为6时，求点P的坐标；
（3）M在线段BC上，在坐标平面内，以BM为直角边作等腰直角△BMN，当点N在抛物线上时，直接写出点M的坐标．
分析：（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，先确定直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），所以PQ＝﹣x2+5x，利用三角形面积公式得到S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ，则﹣x2+5x＝6，然后解方程求出x即可得到P点坐标；
（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，先证明△BME≌MNF得到ME＝NF＝t，BE＝MF＝2t，则N（3t，﹣t+4），接着把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4；然后表示出点N关于点M的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4；当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，通过证明△BME≌NBF得到ME＝BF＝t，BE＝NF＝2t，则N（2t，t+4），然后把N（2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，最后分别解关于t的方程可得到满足条件的M点坐标．
解：（1）解：根据题意得，解得：b＝3，c＝4，
抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）∵C为OA的中点，
∴C点坐标是（2，0）
作PQ∥y轴交直线BC于Q，如图1，
设直线BC的解析式为y＝mx+n，
把B（0，4），C（2，0）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+4；
设P（x，﹣x2+3x+4），则Q（x，﹣2x+4），
∴PQ＝﹣x2+3x+4﹣（﹣2x+4）＝﹣x2+5x，
∵S△PBC＝S△PQB﹣S△PCQ＝PQ?2＝PQ，
∴﹣x2+5x＝6，
整理得x2﹣5x+6＝0，解得x1＝3，x2＝2，
∴P点坐标为（3，4）或（2，6）；
（3）设M（t，﹣2t+4）（0＜t≤2），
当∠BMN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥EM于F，如图2，
∵△BMN为等腰直角三角形，
∴BM＝MN，
易得△BME≌MNF（AAS），则ME＝NF＝t，BE＝MF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，
∴N（3t，﹣t+4），
把N（3t，﹣t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（3t）2+9t+4＝﹣t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；
点N（3t，﹣t+4）关于点M（t，﹣2t+4）的对称点N′的坐标为（﹣t，﹣3t+4），
把N′（﹣t，﹣3t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（﹣t）2﹣3t+4＝﹣3t+4，解得t1＝t2＝0（舍去）；
当∠MBN＝90°时，作ME⊥y轴于E，NF⊥y轴于F，如图3，
∵△BMN为等腰直角三角形，
∴BM＝BN，
易得△BME≌NBF（AAS），则ME＝BF＝t，BE＝NF＝4﹣（﹣2t+4）＝2t，
∴N（2t，t+4），
把N（2t，t+4）代入y＝﹣x2+3x+4得﹣（2t）2+6t+4＝t+4，解得t1＝0（舍去），t2＝，此时M点坐标为（，）；
综上所述，M点坐标为（，）或（，）．
点评：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
跟踪训练：
1．如图，在平面直角坐标系中抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），与直线l：y＝k（x﹣3）+3（k＞0）交于D，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BD，BE，若△BDE的面积为6，求k的值；
（3）点P为直线DE上的一点，若△PAB为直角三角形，且满足条件的点P有且只有3个，直接写出k的值为　 　．
2．如图1，二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求这个二次函数的表达式：
（2）点M在该抛物线的对称轴上，当△ACM是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）如图2，点D在y轴上，且CD＝OA，连接AD，点E、F分别是线段OA，AD上的动点，求EF+OF的最小值．
3．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（4，0）和点D（﹣1，0），与y轴交于点C，过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B，连接AC
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC于点Q，连结MQ
①求△AQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；
②是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
4．如图，二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象与x轴交A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣2x﹣6经过点A，C．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）点P为第三象限内抛物线上的一个动点，△APC的面积为S，试求S的最大值；
（3）若P为抛物线的顶点，且直角三角形APQ的直角顶点Q在y轴上，请直接写出点Q的坐标．
5．在平面直角坐标系中，抛物线y＝+bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图1，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过A点的直线垂直x轴于点M，点N为直线AM上任意一点，当△BCN为直角三角形时，请直接写出点N的坐标．
6．二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；
（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；
（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；
（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．
7．如图A（0，3），B（3，0），C（1，0）分别是抛物线：y＝ax2+bx+c（a≠0）上的三点，点P为抛物线上一动点．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，求此时点P的坐标．
（3）若点P在抛物线上A、B两点之间移动时，是否存在一个位置，使△PAB的面积最大？若存在，请求此时点P的坐标．若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线对应函数的关系式，及A点坐标．
（2）点D为抛物线对称轴上一点．
①当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标；
②若△BCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．
9．已知抛物线经过点A（﹣1，0）、点B（3，0）、点C（0，3），点D为抛物线在第一象限内图象上一动点，连接AD，交y轴于点E，将点C关于线段AD作轴对称，对称点为C'，连接AC'．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1如果点C'落在x轴，求点E坐标；
（3）如图2，连接AC、BC，BC与AD交于点F，拖动点D，点C'落在第四象限，作FG∥AC，交x轴于点M，交AC'于点G，若∠AGF＝90°，求点M的横坐标．
10．如图，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C（6，0）两点，点D的坐标为（4，0），连接AD，BC，点F从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段OC方向运动，到达点C后停止运动：点M同时从点D出发以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当点F停止时点M也停止运动．设点F的运动时间为t秒，过点F作AB的垂线EF交直线AB于点E，交AD于点H．
（1）求抛物线的解析式；
（2）以线段EH为斜边向右作等腰直角△EHG，当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；
（3）设△EFM与四边形ADCB重合时的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式与相应的自变量t的取值范围．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．
（1）求这个抛物线的函数表达式．
（2）点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．
（3）点M为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点N，使△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，3）、B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m．
（1）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大？当四边形AOPE面积最大时，在抛物线对称轴直线上找一点M，使得MB+MP的值最小，求M的坐标；
（2）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一个交点为B，且OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在AO上，点Q在OC的延长线上，且AP＝CQ，连接PQ交AC于点G，点D为第一象限内的一点，当△PDQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形时，连接OD，设AP的长度为t，△POD的面积为S，请用含t的式子表示S，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，连接OG、DG，将△PGD沿PD翻折到PDK的位置（G与K对应），若OG＝，求点K的坐标．
参考答案
1．解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴设解析式为y＝a（x+1）（x﹣3）
∵抛物线交y轴于点C（0，3）
∴﹣3a＝3
∴a＝﹣1
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3
（2）直线l：y＝k（x﹣3）+3，当x＝3时，y＝3
∴直线l过定点F（3，3）
如图1，连接BF，则BF⊥x轴，BF＝3
设点D横坐标为x1，点E横坐标为x2，
∵ 整理得：x2+（k﹣2）x﹣3k＝0
∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣3k
∵S△BDE＝S△BDF﹣S△BEF＝BF?（3﹣x1）﹣BF?（3﹣x2）＝BF?（x2﹣x1）＝6
∴x2﹣x1＝4
∵（x1+x2）2﹣4x1x2＝（x2﹣x1）2
∴（2﹣k）2﹣4（﹣3k）＝16
解得：k1＝﹣﹣4（舍去） k2＝﹣4
∴k的值为
（3）∵△PAB为直角三角形，且在直线DE上各有一个点P满足∠PAB＝90°与∠PBA＝90°
∴只有1个点P满足∠APB＝90°
∴直线DE与以AB为直径的圆相切
如图2，取AB中点G（1，0），G为圆心，PG＝BG＝2
设P（p，kp﹣3k+3），
∴PG2＝（p﹣1）2+（kp﹣3k+3）2＝4
整理得：（k2+1）p2+（6k﹣6k2﹣2）p+9k2﹣18k+6＝0
∵有一个且只有一个满足条件的点P
∴△＝（6k﹣6k2﹣2）2﹣4（k2+1）（9k2﹣18k+6）＝0
解得：k＝
故答案为：
2．解：（1）将A（﹣4，0）、B（1，0）的坐标分别代入y＝ax2+bx﹣2，得
，
解得，，
∴这个二次函数的函数表达式为y＝x2+x﹣2．
（2）由x＝0得y＝﹣2，
∴C（0，﹣2）．
抛物线的对称轴为直线x＝，即直线x＝﹣，
设点M的坐标为（﹣，m），
AM2＝（﹣+4）2+m2＝+m2，CM2＝（）2+（m+2）2＝+（m+2）2，AC2＝42+22＝20，
①当∠CAM＝90°时，AM2+AC2＝CM2，
即+m2+20＝+（m+2）2，
解得m＝5，
∴M（﹣，5），
②当∠ACM＝90°时，AC2+CM2＝AM2，即20++（m+2）2＝+m2．解得m＝﹣5，
∴M（﹣，﹣5），
③当∠AMC＝90°时，AM2+CM2＝AC2，即+m2++（m+2）2＝20，
解得m1＝，m2＝，
∴M（﹣，）或（﹣，）．
综上可知：点M的坐标为（﹣，5）、（﹣，﹣5）、（﹣，）或（﹣，）．
（3）如图，作点O关于直线AD的对称点O′，过O′作O′H⊥OA于点H，则EF+OF的最小值为线段O′H的长．
连接OO′交AD于点M，则OO′⊥AD，且M是线段OO′的中点，
∵CD＝OA＝4，OC＝2，
∴OD＝2，
即点D的坐标为（0，2），
在Rt△AOD中，AD＝，
∴sin∠DAO＝，
∴OM＝OA?sin∠DAO＝4×＝，
∴OO′＝，
∴OH＝OO′?sin∠OO′H＝OO′?sin∠DAO＝?＝，
∴O′H＝，
∴点O′（﹣，），
∴EF+OF的最小值＝O′H＝．
3．解：（1）∵二次函数的图象经过A（4，0）和点D（﹣1，0），
∴，
解得，
所以，二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）①延长NQ交x轴于点P，
∵BC平行于x轴，C（0，4）
∴B（3，4），NP⊥OA．
根据题意，经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，
则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．
∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，
∴QN＝CN＝3﹣t，
∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣（3﹣t）＝1+t，
∴
＝﹣t2+t+2．
∴．
∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．
当t＝时，S最大值＝．
②存在点M，使得△AQM为直角三角形．
设经过t秒时，NB＝t，OM＝2t，
则CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，
∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．
Ⅰ．若∠AQM＝90°，
则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高．
∴PQ是底边MA的中线，
∴PQ＝AP＝MA，
∴1+t＝（4﹣2t），
解得，t＝，
∴M的坐标为（1，0）．
Ⅱ．若∠QMA＝90°，此时QM与QP重合．
∴QM＝QP＝MA，
∴1+t＝4﹣2t，
∴t＝1，
∴点M的坐标为（2，0）．
所以，使得△AQM为直角三角形的点M的坐标分别为（1，0）和（2，0）．
4．解：（1）当 x＝0 时，y＝﹣2x﹣6＝﹣6，则 C（0，﹣6），
当 y＝0 时，﹣2x﹣6＝0，
解得 x＝﹣3，则 A（﹣3，0），
把 A（﹣3，0），C（0，﹣6）代入y＝ax2+4x+c，得，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝2x2+4x﹣6；
（2）如图1，过点P作x轴的垂线与AC交于点H．
设点P的横坐标为m，
由直线AC：y＝﹣2x﹣6，可得H（m，﹣2m﹣6）．
又因为P（m，2m2+4m﹣6），所以HP＝﹣2m2﹣6m．
因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP，高的和为A、C 两点间的水平距离3，
所以S＝S△APC＝S△APH+S△CPH＝（﹣2m2﹣6m）＝﹣3（m+）2+，
∴当m＝﹣时，S取得最大值，最大值为；
（3）如图2，过点P作PD⊥y轴于点D，设OQ＝m，
则∠AOQ＝∠PDQ＝90°，
∵y＝2x2+4x﹣6＝2（x+1）2﹣8，
∴P（﹣1，﹣8），
则OD＝8，PD＝1，QD＝8﹣m，
∵A（﹣3，0），
∴OA＝3，
∵∠AQP＝90°，
∴∠AQO+∠PQD＝90°，
∵∠AQO+∠QAO＝90°，
∴∠QAO＝∠PQD，
∴△AOQ∽△QDP，
∴＝，即＝，
解得：m＝4±，
∴点Q的坐标为（0，﹣4+）或（0，﹣4﹣）．
5．解：（1）∵抛物线y＝+bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），
∴ 解得：，c＝1
∴抛物线的表达式为：
∵，
∴顶点坐标为：；
（2）∵A（1，3），∴把y＝3代入，可得x1＝1，x，2＝4
∴C（4，3）
由B（0，1）、C（4，3）
得直线BC的表达式为，BC＝
延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）
∵点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，
∴△BCI∽△FGH
∴∠BCI＝∠FGH
∵tan∠BCI＝＝＝，
∴tan∠FGH＝
设，则
∴GF＝＝＝
∴当x＝2时，GF最长，此时△GFH周长最大．
∴GF＝2
∵
∴＝＝
∴GH＝
△GFH的周长为：GF+FH+GH＝2++＝+2；
（3）如图2，由题意，设N（1，n）
∵B（0，1）、C（4，3）
∴BN2＝12+（n﹣1）2＝n2﹣2n+2，
CN2＝32+（n﹣3）2＝n2﹣6n+18，
BC2＝42+22＝20
当∠BNC＝90°时，BN2+CN2＝BC2，即（n2﹣2n+2）+（n2﹣6n+18）＝20
得n1＝0，n2＝4；
当∠CBN＝90°时，BN2+BC2＝CN2，即（n2﹣2n+2）+20＝n2﹣6n+18
得n3＝﹣1
当∠BCN＝90°时，BC2+CN2＝BN2，即20+n2﹣6n+18＝n2﹣2n+2
得n4＝9
综上所述：N点的坐标为：（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（1，9）
6．解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，
∴a＝﹣，b＝，
∴y＝﹣x2+x+2；
（2）C（0，2），
∴BC的直线解析式为y＝﹣x+2，
当t＝时，AM＝3，
∵AB＝5，
∴MB＝2，
∴M（2，0），N（2，1），D（2，3），
∴△DNB的面积＝△DMB的面积﹣△MNB的面积＝MB×DM﹣MB×MN＝×2×2＝2；
（3）∵BM＝5﹣2t，
∴M（2t﹣1，0），
设P（2t﹣1，m），
∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，
∵PB＝PC，
∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，
∴m＝4t﹣5，
∴P（2t﹣1，4t﹣5），
∵PC⊥PB，
∴?＝﹣1
∴t＝1或t＝2，
∴M（1，0）或M（3，0），
∴D（1，3）或D（3，2）；
（4）当t＝时，M（，0），
∴点Q在抛物线对称轴x＝上，
如图：过点A作AC的垂线，以M为圆心AB为直径构造圆，圆与x＝的交点分别为Q1与Q2，
∵AB＝5，
∴AM＝，
∵∠AQ1C+∠OAC＝90°，∠OAC+∠MAG＝90°，
∴∠AQ1C＝∠MAG，
又∵∠AQ1C＝∠CGA＝∠MAG，
∴Q1（，﹣），
∵Q1与Q2关于x轴对称，
∴Q2（，），
∴Q点坐标分别为（，﹣），（，）；
7．解：（1）将A（0，3），B（3，0），C（1，0）代入y＝ax2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3．
（2）设点P的坐标为（m，m2﹣4m+3）．
∵点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），
∴AP2＝（m﹣0）2+（m2﹣4m+3﹣3）2＝m4﹣8m3+17m2，BP2＝（m﹣3）2+（m2﹣4m+3）2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，AB2＝（3﹣0）2+（0﹣3）2＝18．
分两种情况考虑：
①当∠BAP＝90°时，AB2+AP2＝BP2，即18+m4﹣8m3+17m2＝m4﹣8m3+23m2﹣30m+18，
整理，得：m2﹣5m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝5，
∴点P的坐标为（5，8）；
②当∠ABP＝90°时，AB2+BP2＝AP2，即18+m4﹣8m3+23m2﹣30m+18＝m4﹣8m3+17m2，
整理，得：m2﹣5m+6＝0，
解得：m3＝2，m3＝3（舍去），
∴点P的坐标为（2，﹣1）．
综上所述：当△PAB是以AB为一直角边的直角三角形时，点P的坐标为（5，8）或（2，﹣1）．
（3）存在，如图过点P作PD∥y轴交直线AB于点D．
设直线AB的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将A（0，3），B（3，0）代入y＝kx+d，得：
，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
设点P的坐标为（n，n2﹣4n+3）（0＜n＜3），则点D的坐标为（n，﹣n+3），
∴PD＝（﹣n+3）﹣（n2﹣4n+3）＝﹣n2+3n，
∴S△PAB＝OB?PD＝﹣n2+n＝﹣（n﹣）2+．
∵﹣＜0，
∴当n＝时，S△PAB取得最大值，此时最大值为，
∴当△PAB的面积取最大值时，点P的坐标为（，﹣）．
8．解：（1）把B（3，0），C（0，3）代入y＝x2+bx+c得：
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）①如图，抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，
设D（2，y），则BC2＝32+32＝18，DC2＝4+（y﹣3）2，BD2＝（3﹣2）2+y2＝1+y2，
当△BCD是以BC为直角边，BD为斜边的直角三角形时，
BC2+DC2＝BD2，即18+4+（y﹣3）2＝1+y2，
解得y＝5，
此时D点坐标为（2，5）；
当△BCD是以BC为直角边，CD为斜边的直角三角形时，
BC2+DB2＝DC2，即4+（y﹣3）2＝1+y2+18，
解得y＝﹣1，
此时D点坐标为（2，﹣1）；
②当△BCD是以BC为斜边的直角三角形时，
DC2+DB2＝BC2，即4+（y﹣3）2+1+y2＝18，
解得y1＝，y2＝，
此时D点坐标为（2，）或（2，），
所以△BCD是锐角三角形，点D的纵坐标的取值范围为＜y＜5或﹣1＜y＜．
9．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）在Rt△AOC中，OA＝1，OC＝3，
∴AC＝＝．
∵AC′＝AC，点A的坐标为（﹣1，0），
∴点C′的坐标为（﹣1，0）．
在图1中，连接CC′，交AD于点D′，
∵点C，C′关于AD对称，
∴点D′的坐标为（，）．
设直线AD的解析式为y＝kx+d（k≠0），
将A（﹣1，0），D′（，）代入y＝kx+d，得：
，解得：，
∴直线AD的解析式为y＝x+．
当x＝0时，y＝x+＝，
∴点E的坐标为（0，）．
（3）在图2中，过点C′P⊥x轴，垂足为P．
∵FG∥AC，FG⊥AC′，
∴AC⊥AC′，
∴∠CAC′＝90°．
∵∠CAO+∠C′AP＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，
∴∠C′AP＝∠ACO．
在△CAO和△AC′P中，，
∴△CAO≌△AC′P（AAS），
∴AP＝CO＝3，C′P＝AO＝1，
∴点C′的坐标为（2，﹣1）．
同（2）可求出直线AD的解析式为y＝x+．
∵点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），
∴直线AC的解析式为y＝3x+3，直线BC的解析式为y＝﹣x+3．
联立直线AD及直线BC的解析式成方程组，得：，
解得：，
∴点F的坐标为（，）．
∵直线FG∥AC，
∴设直线FG的解析式为y＝3x+m．
将F（，）代入y＝3x+m，得：＝×3+m，
解得：m＝﹣，
∴直线FG的解析式为y＝3x﹣．
当y＝0时，3x﹣＝0，
解得：x＝，
∴点M的横坐标为．
10．解：（1）由题意得：函数的对称轴为：x＝2，则函数与x轴的另外一个交点坐标为（﹣2，0），
则函数的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣6）＝a（x2﹣4x﹣12），
则﹣12a＝4，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；
（2）将点A、D的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AD的表达式为：y＝﹣x+4，
则点E、F的坐标分别为：（t，4）、（t，0），
则点H（t，4﹣t），则点G（，4﹣t），
将点G的坐标代入表达式得：4﹣t＝﹣（）2+（）+4，
解得：t＝；
（3）点M（t+4，0），点E（t，4）、点F（t，0），
①当0＜t≤2时，设EF交AD于点N（t，4﹣t），
S＝S△EFM﹣S△FND＝8﹣×（4﹣t）2＝﹣t2+4t，
②2＜t≤4时，
设直线EM交BC于点R，EF交AD于点K（t，4﹣t），
同理可得：直线ME的表达式为：y＝﹣x+t+4，
直线BC的表达式为：y＝﹣2x+12，
联立上述两式并解得：x＝8﹣t，
故点R（8﹣t，2t﹣4），
S＝S△EFM﹣S△RCM﹣S△KFD＝4×4﹣（t+4﹣6）（2t﹣4）﹣×（4﹣t）2＝﹣t2+8t﹣4；
③4＜t≤6时，
同理可得：S＝（6﹣t）（6﹣t）×2＝t2﹣12t+36；
故S＝
11．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x+2，
（2）连接OP，设点P（x，﹣x2﹣x+2），
则S＝S四边形ADCP＝S△APO+S△CPO﹣S△ODC＝×AO×yP+×OC×|xP|﹣×CO×OD
＝（﹣x2﹣x+2）×2×（﹣x）﹣＝﹣x2﹣3x+2，
∵﹣1＜0，故S有最大值，当x＝﹣时，S的最大值为；
（3）存在，理由：
△MNO为等腰直角三角形，且∠MNO为直角时，点N的位置如下图所示：
①当点N在x轴上方时，点N的位置为N1、N2，
N1的情况（△M1N1O）：
设点N1的坐标为（x，﹣x2﹣x+2），则M1E＝x+1，
过点N1作x轴的垂线交x轴于点F，过点M1作x轴的平行线交N1F于点E，
∵∠FN1O+∠M1N1E＝90°，∠M1N1E+∠EM1N1＝90°，∴∠EM1N1＝∠FN1O，
∠M1EN1＝∠N1FO＝90°，ON1＝M1N1，
∴△M1N1E≌△N1OF（AAS），∴M1E＝N1F，
即：x+1＝﹣x2﹣x+2，解得：x＝（舍去负值），
则点N1（，）；
N2的情况（△M2N2O）：
同理可得：点N2（，）；
②当点N在x轴下方时，点N的位置为N3、N4，
同理可得：点N3、N4的坐标分别为：（，）、（，）．
综上，点N的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．
12．解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c的图象经过点B（1，0），其对称轴为直线l：x＝2，则与x轴另外一个交点坐标为（3，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），
即3a＝3，解得a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
∠AOB的平分线交线段AC于点E，则OE＝OA＝3，故点E（3，3），
四边形AOPE面积＝△AOE的面积+△OPE的面积，由于△AOE的面积是定值，
故四边形AOPE面积最大，只需要确定△OPE的面积最大即可，
过点P作y轴的平行线交OE于点H，设点P（m，m2﹣4m+3），则点H（m，m），
S△OPE＝×PH×AE＝×（m﹣m2+4m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3），
∵﹣＜0，故△OPE的面积有最大值，即四边形AOPE面积最大，此时，m＝，
故点P（P′）（，﹣），
连接AP′交抛物线对称轴于点M，则点M为所求，
将点AP′的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AP′的表达式为：y＝﹣x+3，
当x＝2时，y＝0，即点M（2，0）；
（2）当点P在一、四象限时，如下图，
过点P作x轴的平行线分别交y轴和直线l于点R、S，
设：RP＝a，PS＝b，则a+b＝2，
∵∠OPR+∠ROP＝90°，∠OPR+∠FPS＝90°，∴∠FPS＝∠ROP，
∠PKO＝∠FSP＝90°，PO＝PF，∴△PKO≌△FSP（AAS），
则FS＝RP＝a，OR＝PS，
故点P（a，a﹣2），
将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：x＝，
故点P的坐标为：（，）或（，）；
当点P在第二象限时，
同理可设：点P（2﹣m，m），
同理可得点P（，）（舍去）；
综上，点P的坐标为：（，）或（，）．
13．解：（1）解：当x＝0时，y＝4，∴C（0，4）当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），
∵OC＝2OB，∴OB＝2，B（2，0），
将点A、B、C的坐标代入抛物线解析式得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）过点D作DE⊥x轴于E，作QF⊥DE于F，
∴四边形QOEF为矩形，
∴QF＝OE，QO＝FE，设QF＝m，
∵△QDF≌△DPE，
∴QF＝DE＝m，FD＝EP，
∵FD＝4+t﹣m，EP＝4﹣t+m，
∴4﹣t+m＝4+t﹣m，∴m＝t，
∵OP＝4﹣t，
∴（0＜t＜4）；
（3）作PL∥OQ交AC于点L，作GM⊥AB于M，KN⊥AB于N，
∵OC＝OA，∴PL＝PA∵PA＝CQ∴PL＝CQ，
∴△PGL≌△QGC，∴GP＝GQ，
∵OG＝，∴PQ＝，
在△OPQ中，由勾股定理得：（4﹣t）2+（4+t）2＝，
∴t＝2；
∵△PDG为等腰直角三角形，∴四边形PGDK为正方形，
∵OQ＝6∴GM＝3
∵GP＝GO∴PM＝MO＝1，
∵△GMP≌△PNK（AAS），
∴GM＝PN＝3，PM＝KN＝1，
∴AN＝5，ON＝1，
∴K（1，﹣1）