2021年九年级中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练四：与等腰三角形相关的压轴题（附答案）

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练四：
与等腰三角形相关的压轴题（附答案）
方法提炼：
1、设出点坐标，利用等腰三角形的性质求边长；
2、当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分情况讨论:
①当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；
②当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即为所求的点，若作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在．用以上方法即可找出所有符合条件的点。
典例引领：
例：如图，直线y＝3x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0)。
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：(1)抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3
(2)该抛物线的对称轴为x= 1。设Q点坐标为(1，m)
当AB=AQ时 Q点坐标(1，?6)，或(1，-?6)；
当BA= BQ时 解得：m=0，m =6, Q点坐标为(1，0)或(1，6) 此点在直线AB上，不符合题意应舍去; 当QA=QB时 解得：m=1， Q点坐标为(1，1)．
抛物线的对称轴上是存在着点Q(1,?6)、(1,-?6)、(1，0)、(1，1)
跟踪训练：
1．抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知△ABC的面积为3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ∥AC交y轴于点Q，AQ的长度为d，求d与m的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当d＝4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点M，连接MN，若△AMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标．
2．如图，抛物线y＝﹣x2﹣x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q．
（1）求A，C两点的坐标．
（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值．
（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，若点P为线段BC上的一个动点（不与点B、点C重合），过点P作直线PN⊥x轴于点N，交抛物线于点M，当△BCM面积最大时，求△BPN的周长．
（3）在（2）的条件下，当△BCM面积最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△CNQ为等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标．
5．图1，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），顶点为D（1，﹣4），点P为y轴上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在y轴的负半轴上是否存在点P，使△BDP是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点在抛物线上，求的最小值．
6．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当＝时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
7．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接AC，AD，CD，试判断△ADC的形状，并说明理由；
（3）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P的坐标；
（4）在线段AC上，是否存在点F，使△AEF为等腰三角形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
8．抛物线y＝ax2+bx+分别交x轴于点A（1，0），B（﹣3，0），交y轴于点C．抛物线的对称轴l与x轴相交于点D，直线AC与抛物线的对称轴l相交于点P．
（1）请直接写出抛物线的解析式和点D的坐标；
（2）如图1，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且MN⊥AC，在点M，点N移动的过程中，DM+MC是否有最小值？如果有，请求出最小值；
（3）以点C为旋转中心，将直线AC绕点C逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α≤90°），直线AC旋转时，与抛物线的对称轴l相交于点E，与抛物线的另一个交点为点Q．
①如图2，当直线AC旋转到与直线BC重合时，判断线段PE、ED的数量关系？并说明理由；
②当△CPQ为等腰三角形时，请直接写出点Q的坐标．
9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴相交于A，B两点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，﹣4）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段BA上的一动点，点E为线段AC上一动点，若始终保持∠AQE＝∠ABC，连接CQ，求△CQE的面积S关于点Q的横坐标m的函数关系式；
（3）若点D为OB的中点，点M是线段BC上一点，当△OMD为等腰三角形时，直接写出点M的坐标．
10．已知：如图，抛物线y＝ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B（﹣3，0），C（1，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积最大？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
11．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，顶点为C，对称轴交x轴于点D，点P为抛物线对称轴CD上的一动点（点P不与C，D重合）．过点C作直线PB的垂线交PB于点E，交x轴于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；
（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；
（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．
13．如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，边AB在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，AB＝10，tan∠DAB＝，抛物线经过点B、C、D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线EF与BC平行，与抛物线只有一个交点，求直线EF解析式；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形？若存在直接写出P点坐标，若不存在说明理由．
参考答案
1．分析：（1）y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，则点B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0），点A（0，3a），△ABC的面积＝AB×OA＝3a＝3，即可求解；
（2）PQ平行线于AC直线，其表达式设为：y＝﹣x+b，设点P（m，m2﹣4m+3）（m＞2），将点P的坐标代入上式，即可求解；
（3）d＝4时，点P（4，3），设点G（n，n2﹣4n+3），直线PD的函数表达式为：y＝2x﹣5…①，直线AG的函数表达式为：y＝（n﹣4）x+3…②，联立①②并解得：x＝，故点M（，﹣5），AN＝AM，即4+9＝（）2+（﹣8）2，即可求解．
解：（1）y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，
则点B、C的坐标分别为：（1，0）、（3，0），点A（0，3a），
△ABC的面积＝AB×OA＝3a＝3，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）点A（0，3），点C（3，0），D（2，﹣1），
则PQ平行线于AC直线，其表达式设为：y＝﹣x+b，
设点P（m，m2﹣4m+3）（m＞2），
将点P的坐标代入上式并解得：b＝m2﹣3m﹣3，
则d＝AQ＝|m2﹣3m|（m＞2）；
（3）当d＝4时，|m2﹣3m|＝4，
解得：m＝4或﹣1（舍去﹣1），故点P（4，3），
设点G（n，n2﹣4n+3），点D（2，﹣1），则点N（0，﹣1）
同理可得：直线PD的函数表达式为：y＝2x﹣5…①，
直线AG的函数表达式为：y＝（n﹣4）x+3…②，
联立①②并解得：x＝，故点M（，﹣5），
点A（0，3）、点N（0，﹣1），
AN＝AM，即16＝（）2+（﹣8）2，
解得：n＝或4，
故点G（，﹣）或（4，3）．
点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
2．分析：（1）将点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式可得出c＝4，解方程，得x1＝3，x2＝﹣4，则A（﹣4，0）；
（2）求出直线AC的解析式y＝﹣x+4，设P（a，），则点Q（a，a+4），则PQ可用a表示，由二次函数的性质可求出PQ的最大值；
（3）分BC＝BQ、BC＝CQ、CQ＝BQ三种情况，分别列得出方程求解即可．
解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线解析式得，
，
解得：c＝4，
令y＝0，则，
解得x1＝3，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），C（0，4）；
（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式y＝x+4，
点P的横坐标为a，P（a，），则点Q（a，a+4），
∴PQ＝＝，
∵，
∴a＝﹣2时，PQ有最大值；
（3）存在，理由：
点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），
则BC＝5，AB＝7，AC＝4，∠OAC＝∠OCA＝45°，
将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，
设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（），
∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝，
①当BC＝BQ时，如图1，
∴BC＝BQ＝5，
设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，
由勾股定理得：（7﹣n）2+n2＝25，
解得：n＝3或4（舍去4），
故点Q1（﹣1，3）；
②当BC＝CQ时，如图1，
∴CQ＝5，
则AQ＝AC﹣CQ＝4，
∴，
∴，
③当CQ＝BQ时，
联立直线AC解析式y＝x+4和y＝，
解得x＝﹣（不合题意，舍去），
综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（）．
点评：主要考查了二次函数的解析式的求法，等腰三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识点，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
3．分析：（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；
（2）先求出直线BC的解析式，设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），求出△BCM面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件；然后利用勾股定理可求出△BPN的周长；
（3）由（2）可知N（），设Q（1，a），由两点间的距离公式可分别表示出CQ2，QN2，CN2，若△CNQ为等腰三角形，可分CQ＝QN、CQ＝CN、QN＝CN三种情况考虑，由此可得到关于a的方程，解方程求出符合题意的坐标即可．
解：（1）由题意可得：
，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）设直线BC的解析式为：y＝kx+b，则有：
，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3．
设P（x，﹣x+3），则M（x，﹣x2+2x+3），
∴PM＝（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）＝﹣x2+3x．
∴S△BCM＝S△PMC+S△PMB＝（xB﹣xC）＝，
∴S△BCM＝＝，
∴当x＝时，△BCM的面积最大．
此时P（），
∴PN＝ON＝，
∴BN＝OB﹣ON＝3﹣＝，
在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB＝，
C△BCN＝BN+PN+PB＝3+，
∴当△BCM的面积最大时，△BPN的周长为3+；
（3）由（2）知P点坐标为（），
∴，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线的对称轴为x＝1，
设Q（1，a），
∵C（0，3），N（），
∴CQ2＝12+（3﹣a）2，，，
若△CNQ为等腰三角形，可分三种情况：
当CQ＝QN时，1+，
解得：a＝，
∴点Q的坐标为（1，），
当CQ＝CN时，1+，
解得：a＝3，
∴点Q的坐标为（1，3﹣），（1，3+），
当QN＝CN时，，
解得：a＝，
∴点Q的坐标为（1，），（1﹣），
综合以上可得点Q的坐标为（1，）或（1，3﹣）或（1，3+）或（1，）或（1，﹣）．
点评：本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、等腰三角形的性质及分类讨论思想等知识．把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．
4．分析：（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3﹣t），即可得D（t，﹣t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；
（3）如图2，构造BG与x轴成30°角，将MB转化为线段M到BG的距离，从而可知C、M、N、B′在同一条直线上时，CN+MN+MB取最小值，根据CG的长和∠CGB＝60°即可求出最小值．根据直线BG求出直线CB′解析式，即求出MN坐标．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，把A（﹣1，0），C（0，3）代入解析式得，
∴，
解得b＝2，c＝3．
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b′，
则，
解得：，
故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
∴设P（t，3﹣t），
∴D（t，﹣t2+2t+3），
∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，
∵PD∥y轴，
∴∠CPD＝∠OCB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠PCD＝90°，
∴直线CD的解析式为y＝x+3，
解 得 或，
∴D（1，4），
此时P（1，2）；
当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，
∴∠CDP＝90°，
∴CD∥x轴，
∴D点的纵坐标为3，
代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，
解得x＝0或x＝2，
此时P（2，1）；
当PC＝PD时，∵PC＝t，
∴t＝﹣t2+3t，
解得t＝0或t＝3﹣，
此时P（3﹣，）；
综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）．
（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．
理由如下：
如图，取G点坐标为（0，﹣），连接BG，
∵B（3，0），
∴直线BG解析式为：y＝，
∴tan∠GBO＝，∴∠GBO＝30°，
过M点作MB′⊥BG，∴，
∴CN+MN+MB＝CN+MN+B′M，
∴CN+MN+MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，
即CB′⊥BG，
设直线CB′解析式为，∵C（0，3）
故直线CB′解析式为为，
∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，
∴N坐标为（1，3﹣），
M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，
∴M（，0）．
∵CG＝3+，∠CGB＝60°，
∴CB′＝CGsin∠CGB＝（3+）×＝，
综上所述：CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
5．分析：（1）由已知抛物线顶点D可设抛物线顶点式，再把点A代入即求得二次项系数a的值．
（2）由点B、D坐标可求BD的长．设点P坐标为（0，t），用t表示BP2，DP2．对BP＝BD、DP＝BD、BP＝DP三种情况进行分类讨论计算，解方程求得t的值并讨论是否合理．
（3）由点B、C坐标可得∠BCO＝45°，所以过点P作BC垂线段PQ即构造出等腰直角△PQC，可得PQ＝PC，故有MP+PC＝MP+PQ．过点M作BC的垂线段MH，根据垂线段最短性质，可知当点M、P、Q在同一直线上时，MP+PC＝MP+PQ＝MH最小，即需求MH的长．连接MB、MC构造△BCM，利用y轴分成△BCD与△CDM求面积和即得到△BCM面积，再由S△BCM＝BC?MH即求得MH的长．
解：（1）∵抛物线顶点为D（1，﹣4）
∴设顶点式为y＝a（x﹣1）2﹣4
∵A（﹣1，0）在抛物线上
∴4a﹣4＝0，解得：a＝1
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3
（2）在y轴的负半轴上存在点P，使△BDP是等腰三角形．
∵B（3，0），D（1，﹣4）
∴BD2＝（3﹣1）2+（0+4）2＝20
设y轴负半轴的点P坐标为（0，t）（t＜0）
∴BP2＝32+t2，DP2＝12+（t+4）2
①若BP＝BD，则9+t2＝20
解得：t1＝（舍去），t2＝﹣
②若DP＝BD，则1+（t+4）2＝20
解得：t1＝（舍去），t2＝﹣﹣4
③若BP＝DP，则9+t2＝1+（t+4）2
解得：t＝﹣1
综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，﹣﹣4）或（0，﹣1）
（3）连接MC、MB，MB交y轴于点D，过点P作PQ⊥BC于点Q，过点M作MH⊥BC于点H
∵x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3
∴C（0．﹣3）
∵B（3，0），∠BOC＝90°
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3
∵∠PQC＝90°
∴Rt△PQC中，sin∠BCO＝＝
∴PQ＝PC
∴MP+PC＝MP+PQ
∵MH⊥BC于点H
∴当点M、P、Q在同一直线上时，MP+PC＝MP+PQ＝MH最小
∵M（﹣，m）在抛物线上
∴m＝（﹣）2﹣2×（﹣）﹣3＝
∴M（﹣，）
设直线MB解析式为y＝kx+b
∴ 解得：
∴直线MB：y＝﹣x+
∴MB与y轴交点D（0，）
∴CD＝﹣（﹣3）＝
∴S△BCM＝S△BCD+S△CDM＝CD?BO+CD?|xM|＝CD?（xB﹣xM）＝××（3+）＝
∵S△BCM＝BC?MH
∴MH＝
∴MP+PC的最小值为
点评：本题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，解二元一次方程组和一元二次方程，垂线段最短定理．求线段和最小值时，一般利用特殊三角函数应用把含有系数的线段长进行转换，再利用三点成一直线或垂线段最短性质得到最短路径的位置，进而计算．
6．分析：（1）求直线y＝﹣x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）根据点B、C坐标求得∠OBC＝45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由PB＝t求得BE＝PE＝t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证△MPQ∽△NCQ，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．
（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°，故有∠DMP＝90°，不合题意；②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°，进而得AE＝ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF进而得CF＝CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF＝CD，解方程即得到t的值．
解：（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB＝t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，sin∠PBE＝
∴BE＝PE＝PB＝t
∴xM＝xP＝OE＝OB﹣BE＝4﹣t，yP＝PE＝t
∵点M在抛物线上
∴yM＝﹣（4﹣t）2+3（4﹣t）+4＝﹣t2+5t
∴MP＝yM﹣yP＝﹣t2+4t
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴
∴
解得：t1＝，t2＝4（点P不与点C重合，故舍去）
∴t的值为
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）
③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴ 解得：
∴直线AM：y＝tx+t
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：x＝
∴DG＝xD＝
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴CD＝DG＝
∴4﹣t＝
解得：t＝﹣1
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．
7．分析：（1）二次函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，即可求解；
（2）由AD2＝AC2+CD2，故△ADC为直角三角形；
（3）S＝PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）＝﹣（x+）2+，即可求解；
（4）分AE＝EF、AE＝AF、AF＝EF三种情况分别求解即可．
解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
函数的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，点D（﹣1，﹣4），
AC＝3，CD＝，AD＝＝，
∴AD2＝AC2+CD2，
故△ADC为直角三角形；
（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，
将点A、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，
设点P（x，x2+2x﹣3），则点H（x，﹣x﹣3），
S＝PH×OA＝（﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3）＝﹣（x+）2+，
当x＝﹣时，S最大值为，此时点P（﹣，﹣）；
（4）∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
①当AE＝EF时，如下图，
△AEF为等腰直角三角形，AE＝2＝EF，
∴点F（﹣1，﹣2）；
②当AE＝AF时，
同理可得：点F（﹣3+，﹣）；
③当AF＝EF时，
同理可得：点F（﹣2，﹣1）；
故点F的坐标为：（﹣1，﹣2）或（﹣3+，﹣）或（﹣2，﹣1）．
点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、勾股定理的运用、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
8．分析：（1）用待定系数法即求得抛物线解析式；用顶点坐标公式即求得对称轴直线，得到点D坐标．
（2）求点C坐标，利用三角函数求得∠OCA的度数．由MN垂直AC可把MC转化为MN，所以当点D、M、N在同一直线上时DM+MC＝DM+MN，根据垂线段最短，可知过点D作DF⊥AC于点F，此时为DM+MN最短．求∠OAC的度数，利用三角函数即求得DF的长．
（3）①求直线BC解析式，把x＝1代入即求得点E坐标，进而得DE的长．由∠PDA＝90°，∠PAD＝60°利用三角函数求得PD的长，进而得PE的长，求得PE＝2ED．
②求直线AC解析式，求点P坐标，进而求PC的长．设抛物线上的点Q坐标为（t，﹣t2﹣t+）（t≠0），根据两点间距离公式即能用t表示PQ2，CQ2．由△CPQ为等腰三角形分三种情况讨论两腰相等，即列得关于t的方程，求解得t的值即得到点Q坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+经过点A（1，0），B（﹣3，0）
∴ 解得：
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣x+
∵对称轴为直线：x＝﹣＝﹣1
∴D（﹣1，0）
（2）在M，N移动的过程中，DM+MC有最小值．
如图1，过点D作DF⊥AC于点F
∵当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+＝
∴C（0，）
∵A（1，0）
∴在Rt△AOC中，tan∠OCA＝＝＝
∴∠OCA＝30°
∵MN⊥AC，即∠MNC＝90°
∴MN＝MC
∴DM+MC＝DM+MN
∴当点D、M、N在同一直线上时，DM+MC＝DM+MN＝DF最小
∵∠OAC＝90°﹣∠OCA＝60°
∴在Rt△DAF中，sin∠OAC＝
∴DF＝AD＝×（1+1）＝
∴DM+MC的最小值为
（3）①PE＝2ED，理由如下：
设直线BC的解析式为y＝kx+b
∴ 解得：
∴直线BC的解析式为y＝x+，
∵对称轴为直线：x＝﹣1，点E在对称轴上
∴点E（﹣1，）
∴DE＝
∵∠PDA＝90°，∠PAD＝60°
∴在Rt△PAD中，tan∠OAC＝
∴PD＝2
∴PE＝PD﹣DE＝2﹣＝
∴PE＝2ED
②设直线AC解析式为y＝cx+
把点A（1，0）代入得：c+＝0，解得：c＝﹣
∴直线AC：y＝﹣x+
∵直线AC与对称轴：直线x＝﹣1的交点为P
∴P（﹣1，2）
∴PC＝＝2
∵点Q在抛物线上
∴设点Q坐标为（t，﹣t2﹣t+）（t≠0）
∴PQ2＝（t+1）2+（﹣t2﹣t+﹣2）2，CQ2＝t2+（﹣t2﹣t+﹣）2
i）若PQ＝PC，如图2
∴PE垂直平分CQ
∴QE＝CE＝1，yQ＝yC＝
∴Q（﹣2，）
ii）若PQ＝CQ，则（t+1）2+（﹣t2﹣t+﹣2）2＝t2+（﹣t2﹣t+﹣）2
解得：t1＝﹣2，t2＝﹣1
∴Q（﹣2，）或（﹣1，）
iii）若PC＝CQ，则t2+（﹣t2﹣t+﹣）2＝4
解得：t＝﹣2
∴Q（﹣2，）
综上所述，当△CPQ为等腰三角形时点Q的坐标分别为（﹣2，），（﹣1，）．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，特殊角三角函数，垂线段最短，两点间距离公式，等腰三角形的性质．求线段与线段的几分之一的和的最小值，通常需要对几分之一线段长进行转换，再利用三点共线或垂线段最短等相关定理找到最小值时的位置．
9．分析：（1）将点A、C的坐标代入抛物线，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）先求出点B的坐标，再根据三角形的面积公式求出S△ABC，设Q（m，0），表示出QA，再判断出△AQE∽△ABC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方表示出S△AQE，再根据S△QCE＝S△AQC﹣S△AQE整理得到关于m的函数关系；
（3）分①当DM＝DO时，DO＝DM＝DB＝2，∠OBC＝∠BMD＝45°，再求出∠BDM＝90°，然后写出M点的坐标；
②当MD＝MO时，过点M作MN⊥OD于点N，根据等腰三角形三线合一的性质可得点N为OD的中点，求出DN＝ON＝1，BN＝BD+DN＝3，再根据△BMN为等腰直角三角形求出MN＝BN＝3，然后写出M点的坐标；③当OD＝OM时，根据△OBC为等腰直角三角形求出点O到BC的距离，然后与OD相比较判断出不存在．
解：（1）将点A（2，0），C（0，﹣4），分别代入y＝x2+bx+c，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝；
（2）令y＝0，即x2+x﹣4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝2，
∴点B（﹣4，0），
AB＝2﹣（﹣4）＝2+4＝6，
S△ABC＝AB?OC＝＝12，
设Q点坐标为（m，0），则QA＝2﹣m．
∵∠AQE＝∠ABC，
∴QE∥BC，
∴△AQE∽△ABC，
∴，
∴，
S△QCE＝S△AQC﹣S△AQE＝，
＝﹣．
（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：
①当DM＝DO时，DO＝DM＝DA＝2，
所以，∠OBC＝∠BMD＝45°，
所以，∠BDM＝90°，
所以，M点的坐标为（﹣2，﹣2）；
②当MD＝MO时，如图，过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，
∴DN＝ON＝1，BN＝BD+DN＝3，
又△BMN为等腰直角三角形，
∴MN＝BN＝3，
∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；
③当OD＝OM时，
∵△OBC为等腰直角三角形，
∴点O到BC的距离为×4＝2，
即BC上的点与点O之间的最小距离为2，
∵2＞2，
∴OD＝OM的情况不存在，
综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．
点评：本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，抛物线与x轴的交点问题，三角形的面积，相似三角形面积的比等于相似比的平方的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，注意等腰三角形根据腰长的不同分情况讨论．
10．分析：（1）用待定系数法即可求抛物线解析式．
（2）设点P横坐标为t，过点P作PF∥y轴交AB于点F，求直线AB解析式，即能用t表示点F坐标，进而表示PF的长．把△PAB分成△PAF与△PBF求面积和，即得到△PAB面积与t的函数关系，配方即得到t为何值时，△PAB面积最大，进而求得此时点P坐标．
（3）设点P横坐标为t，即能用t表示PD的长．根据对称性可知点P、E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得用t表示点E横坐标，进而用t表示PE的长（注意点P、E左右位置不确定，需分类讨论）．由于△PDE要成为等腰直角三角形，∠DPE＝90°，所以PD＝PE，把含t的式子代入求值即得到点P坐标．
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（﹣3，0），C（1，0）
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）过点P作PH⊥x轴于点H，交AB于点F
∵x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3
∴A（0，3）
∴直线AB解析式为y＝x+3
∵点P在线段AB上方抛物线上
∴设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0）
∴F（t，t+3）
∴PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∴S△PAB＝S△PAF+S△PBF＝PF?OH+PF?BH＝PF?OB＝（﹣t2﹣3t）＝﹣（t+）2+
∴点P运动到坐标为（﹣，），△PAB面积最大
（3）存在点P使△PDE为等腰直角三角形
设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），则D（t，t+3）
∴PD＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t
∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4
∴对称轴为直线x＝﹣1
∵PE∥x轴交抛物线于点E
∴yE＝yP，即点E、P关于对称轴对称
∴＝﹣1
∴xE＝﹣2﹣xP＝﹣2﹣t
∴PE＝|xE﹣xP|＝|﹣2﹣2t|
∵△PDE为等腰直角三角形，∠DPE＝90°
∴PD＝PE
①当﹣3＜t≤﹣1时，PE＝﹣2﹣2t
∴﹣t2﹣3t＝﹣2﹣2t
解得：t1＝1（舍去），t2＝﹣2
∴P（﹣2，3）
②当﹣1＜t＜0时，PE＝2+2t
∴﹣t2﹣3t＝2+2t
解得：t1＝，t2＝（舍去）
∴P（，）
综上所述，点P坐标为（﹣2，3）或（，）时使△PDE为等腰直角三角形．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，等腰直角三角形的性质，中点坐标公式，一元二次方程的解法．分类讨论进行计算时，要注意讨论求得的解是否符合分类条件，是否需要舍去．
11．分析：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5），即可求解；
（2）确定PB、CE的表达式，联立求得点F（2﹣，0），S△PCF＝×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣﹣2）＝5，即可求解；
（3）分当CP＝CF、CP＝PF、CF＝PF三种情况，分别求解即可．
解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣5）＝﹣x2+x+；
（2）抛物线的对称轴为x＝2，则点C（2，2），
设点P（2，m），
将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y＝sx+t并解得：
函数PB的表达式为：y＝﹣mx+，
∵CE⊥PB，故直线CE表达式中的k值为，
将点C的坐标代入一次函数表达式，
同理可得直线CE的表达式为：y＝，
解得：x＝2﹣，
故点F（2﹣，0），
S△PCF＝×PC×DF＝（2﹣m）（2﹣﹣2）＝5，
解得：m＝5或﹣3，
故点P（2，﹣3）或（2，5）；
（3）由（2）确定的点F的坐标得：
CP2＝（2﹣m）2，CF2＝（）2+4，PF2＝（）2+m2，
①当CP＝CF时，即：（2﹣m）2＝（）2+4，解得：m＝0或（0舍去），
②当CP＝PF时，同理可得：m＝，
③当CF＝PF时，同理可得：m＝±2（舍去2），
故点P（2，）或（2，﹣2）或（2，）或（2，）
点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
12．分析：（1）由抛物线与x轴两交点设交点式，把点D代入即求得抛物线表达式．
（2）由原抛物线顶点式可知，向下平移4个单位后顶点落在x轴上，故MN＝4且MN⊥x轴．由于△AMN为等腰三角形且MN为底边，故有x轴垂直平分MN，得到点N纵坐标为﹣2，代入新抛物线解析式解方程即求得点N横坐标．
（3）作点D关于y轴的对称点D'，根据轴对称性质即有QD＝QD'，易得当点D'、Q、E在同一直线上时，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小．由于点E随点P运动也是一个动点，由∠OEB＝90°且O、B是定点可得点E的运动轨迹为圆弧．故当点E运动到点D'与圆心所连线段上时，D'E最小．求出圆心F的坐标，即求出D'F和半径r，所以D'E＝D'F﹣r，所求即为QE+QD的最小值．
解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）
∴设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）
∵抛物线经过点D（2，3）
∴a（x+1）（x﹣3）＝3
解得：a＝﹣1
∴抛物线表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴向下平移后新抛物线为y＝﹣（x﹣1）2，顶点G（1，0），即抛物线向下平移4个单位
∵原抛物线上一点M平移后的对应点为点N
∴MN＝4，MN⊥x轴
∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，且点A在x轴上
∴x轴垂直平分MN
∴N的纵坐标为﹣2
∴﹣（x﹣1）2＝﹣2
解得：x1＝1+，x2＝1﹣
∴点N坐标为（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）
（3）作点D关于y轴的对称点点D'，连接D'Q，取OB中点F，连接D'F
∵D（2，3），点Q为y轴上的动点
∴D'（﹣2，3），QD＝QD'
∴当点D'、Q、E在同一直线上时，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小
∵BE⊥OP于点E，P为抛物线上第一象限内的动点
∴∠OEB＝90°
∴点E在以OB为直径的圆在第一象限内的弧上运动
∵圆心F（，0），r＝
∴当点E在线段D'F上时，D'E＝D'F﹣EF＝﹣＝最小
∴QE+QD的最小值为．
点评：本题考查了二次函数的图象与性质，平移的性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程，轴对称求最短路径，圆周角定理，勾股定理．第（3）题求线段和最小值涉及的两条线段有2个动点，先由常规的轴对称求最短路径问题确定点D'、Q、E必须共线，再找出点E运动轨迹为圆弧而得到点E在D'与圆心连线上时D'E最小．
13．分析：（1）由菱形的性质可得AD∥BC，BC＝AB＝10，那么∠DAB＝∠CBO，根据tan∠DAB＝tan∠CBO＝＝，求出B、C、D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝x+8．根据EF∥BC，可设直线EF解析式为y＝x+t，根据直线EF与抛物线只有一个交点，得出方程x2+x+8＝x+t只有一个解，即△＝0，求出t的值，得到直线EF的解析式；
（3）分别利用当CP＝CB时，△PCB为等腰三角形；当BP＝BC时，△PCB为等腰三角形，利用勾股定理列方程即可．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，BC＝AB＝10，
∴∠DAB＝∠CBO，
∴tan∠DAB＝tan∠CBO＝＝，
∵BC＝10，
∴CO＝8，BO＝6，
∴B（﹣6，0），C（0，8），D（﹣10，8）．
设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线经过点B、C、D，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2+x+8；
（2）设直线BC的解析式为y＝mx+n，
代入B、C点，解得：，
∴y＝x+8．
∵EF∥BC，
∴设直线EF解析式为y＝x+t，
又∵直线EF与抛物线只有一个交点，
∴x2+x+8＝x+t只有一个解，△＝0，
解得：t＝5，
∴直线EF解析式为x+5；
（3）∵y＝x2+x+8＝（x+5）2﹣，
∴对称轴为直线x＝﹣5．
设抛物线的对称轴上存在点P（﹣5，y），使△PBC是以BC为腰的等腰三角形．
B（﹣6，0），C（0，8），BC＝10．
分两种情况：
①如果CP＝CB，那么52+（y﹣8）2＝100，解得y＝8±5；
②如果BP＝BC时，那么（﹣5+6）2+（y﹣0）2＝100，解得y＝±3．
故抛物线对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为腰的等腰三角形，此时P点坐标为（﹣5，8+5）或（﹣5，8﹣5）或（﹣5，3）或（﹣5，﹣3）．
点评：本题是二次函数综合题，涉及到利用待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，正切函数定义，一次函数图象与几何变换，直线与抛物线的交点，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，综合性较强，难度适中．利用方程思想与分类讨论是解题的关键