2021中考二轮复习数学《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练三：与图形面积最值相关的压轴题（附答案）

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练三：
与图形面积最值相关的压轴题（附答案）
方法提炼：
1、三角形面积最值。分规则与不规则。有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则，直接用面积公式求解。没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法或S△=?水平宽?铅垂高。
2、四边形面积最值。常用到的方法是利用割补法将四边形分成两个三角形（常作平行于坐标轴的直线来分割四边形面积），其求法同三角形。
典例引领：
例2：如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴I为x=﹣1．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上。
①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标。
②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
②方法1：
当P位于第二象限即-3＜x＜0时，S△AOC=，S△OCP=-x，S△OAP=?3?|yP|=-x2-3x+，
∴S△APC=S△OAP+S△OCP-S△AOC=-x2+x-9=-（x+）2+，当x=-时取得最大值；
∴当x=-时，S△APC最大值，
此时P（-，）
∵S四边PA= S△ABC+S△APC，S四边形PABC最大=．
方法2：
可求直线AC：YAC=x+3，设PD与AC的交点为E,则点E（x，x+3）
PE=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x
当P位于第二象限即-3＜x＜0时，S△APC=?3?PE=(-x2-3x) =-（x+）2+，当x=-时取得最大值；
∴当x=-时，S△APC最大值，
此时P（-，）
∵S四边PA= S△ABC+S△APC，S四边形PABC最大=．
跟踪训练：
1．如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）直线x＝m（在A、B之间）交抛物线于M点，交直线AB于N，用m表示线段MN的长．
（3）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△PAB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C．
（1）求直线AC解析式；
（2）过点A作AD平行于x轴，交抛物线于点D，点F为抛物线上的一点（点F在AD上方），作EF平行于y轴交AC于点E，当四边形AFDE的面积最大时？求点F的坐标，并求出最大面积；
（3）若动点P先从（2）中的点F出发沿适当的路径运动到抛物线对称轴上点M处，再沿垂直于y轴的方向运动到y轴上的点N处，然后沿适当的路径运动到点C停止，当动点P的运动路径最短时，求点N的坐标，并求最短路径长．
3．如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧）与y轴交于点C．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标．
4．已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（4，0）、B（﹣2，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为第四象限抛物线上一点，设点D的横坐标为m，四边形ABCD的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S的最值；
（3）点P在抛物线的对称轴上，且∠BPC＝45°，请直接写出点P的坐标．
5．如图，直线l：y＝﹣3x+8与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+9（a＜0）经过点B．
（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，
①当点M（2，n）时，求n，并求△ABM的面积．
②当点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值和此时点M的坐标．
6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（5，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C．点P是线段AC上一动点．
（1）求该抛物线解析式；
（2）连接OP并延长交抛物线于点D，连接AD，是否存在点P，使S△AOP＝S△APD．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结BC，过点P作PE∥CB交x轴于点E．将△CEP沿CE翻折，当点P的对应点P′恰好落在x轴上时，则E的坐标为　 　．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点（异于点A、C），连接BC，AC，PA，PB，PB与AC交于点D，设点P的横坐标为m．
①若△CBD，△DAP的面积分别为S1和S2，当S1﹣S2最小时，求点P的坐标；
②过点P作x轴的垂线，交AC于点E．以原点O为旋转中心，将线段PE顺时针旋转90°，得到线段P′E′．当线段P′E′与直线PE有交点时，设交点为F，求交点F的路径长．
8．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+6x+5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l．
（1）求点P，C的坐标；
（2）直线l上是否存在点D，使△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C．点D是抛物线上的一个动点，点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DB，DC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△QAC的周长最小，若存在，求出点Q的坐标．
10．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，A、B两点横坐标为﹣1和3，C点纵坐标为﹣4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点D在第四象限且在抛物线上，当△BCD面积最大时，求D点坐标，并求△BCD面积的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得∠QBC＝45°，如果存在，求出点Q的坐标，不存在说明理由．
11．综合与探究：
如图，二次函数y＝ax2+bx﹣6的图象与x轴交于A，B两点，并经过点C（8，﹣6），对称轴交x轴于点D．已知点A坐标是（2，0）．
（1）求点B和点D的坐标；
（2）连接并延长CD交抛物线于点E，连接BC，BE，求△EBC的面积；
（3）抛物线上有一个动点P，与A，B两点构成△ABP，是否存在S△ABP＝S△DBC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣4，0）和点B（1，0），与y轴交于点C，过点A的直线y＝mx+n交抛物线的另一个点为点E，点E的横坐标为2．
（1）求b和c的值；
（2）点P在直线AE下方的抛物线上任一点，点P的横坐标为t，过点P作PF∥y轴，交AE于点F，设PF＝d，求出d与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）问的条件下，过点P作PK⊥AE，垂足为点K，连接PE，若PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，求出此时t的值．
参考答案
1．分析：（1）抛物线经过两点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，则抛物线与x轴另外一个交点坐标为：（1，0），即可求解；
（2）利用两点间的距离公式解答；
（3）S△PAB＝PH×OA＝（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝﹣x2﹣x，即可求解．
（1）解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1且经过点A（﹣3，0），
∴由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点（1，0）．
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0），即：y＝a（x﹣1）（x+3）．
把B（0，3）代入得：3＝﹣3a．
∴a＝﹣1．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴，
∴直线AB为y＝x+3，
由题意，得M（m，﹣m2﹣2m+3），N（m，m+3）
∴MN＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m；
（3）解：由（2）知，直线AB为y＝x+3．
作PH⊥x轴于Q，交直线AB于H，
设P（x，﹣x2﹣2x+3），则H（x，x+3），
∴PH＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝（﹣x2﹣3x）×3＝（x+）2+，
当 x＝时，S最大＝，y＝﹣（）2﹣2×（）+3＝，
∴△PAB的面积的最大值为 ，此时点P的坐标为（，）．
点评：考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式的方法，利用面积的和得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
2．分析：（1）先求出点A，点C坐标，用待定系数法可求解析式；
（2）先求出点D坐标，设点F（x，﹣x2+4x+5），则点E坐标为（x，﹣x+5），即可求EF＝﹣x2+5x，可求四边形AFDE的面积，由二次函数的性质可求解；
（3）由动点P的运动路径＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，则当点G，点M，点H三点共线时，动点P的运动路径最小，由两点距离公式可求解．
解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4x+5与y轴交于点A，与x轴的正半轴交于点C．
∴当x＝0时，y＝5，则点A（0，5）
当y＝0时，0＝﹣x2+4x+5，
∴x1＝5，x2＝﹣1，
∴点B（﹣1，0），点 C（5，0）
设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∴
解得：
∴直线AC解析式为：y＝﹣x+5，
（2）∵过点A作AD平行于x轴，
∴点D纵坐标为5，
∴5＝﹣x2+4x+5，
∴x1＝0，x2＝4，
∴点D（4，5），
∴AD＝4
设点F（x，﹣x2+4x+5），则点E坐标为（x，﹣x+5）
∴EF＝﹣x2+4x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+5x，
∵四边形AFDE的面积＝AD×EF＝2EF＝﹣2x2+10x＝﹣2（x﹣）2+
∴当x＝时，四边形AFDE的面积的最大值为，
∴点F（，）；
（3）∵抛物线y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴对称轴为x＝2，
∴MN＝2，
如图，将点C向右平移2个单位到点H（7，0），过点F作对称轴x＝2的对称点G（，），连接GH，交直线x＝2于点M，
∵MN∥CH，MN＝CH＝2，
∴四边形MNCH是平行四边形，
∴NC＝MH，
∵动点P的运动路径＝FM+MN+NC＝GM+2+MH，
∴当点G，点M，点H三点共线时，动点P的运动路径最小，
∴动点P的运动路径最短距离＝2+＝2+
设直线GH解析式为：y＝mx+n，
∴
解得
∴直线GH解析式为：y＝﹣x+，
当x＝2时，y＝，
∴点N（0，）
点评：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，函数极值的确定方法，两点距离公式等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，
3．分析：（1）利用待定系数法求出B、C两点坐标即可解决问题；
（2）如图，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8），构建二次函数，利用二次函数的性质求出点F坐标，因为点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，求出直线AF的解析式即可解决问题．
解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，
令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，
∴B（﹣8，0），A（2，0），
令x＝0，得到y＝﹣8，
∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．
（2）如图，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）
∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝?FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，
∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，
此时F（﹣4，﹣12），
∵抛物线的对称轴x＝﹣3，
点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，
设直线AF的解析式为y＝ax+b（a≠0），则有，
解得，
∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4，
∴P（﹣3，﹣10），
∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．
点评：本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题．
4．分析：（1）抛物线的了表达式为：y＝（x﹣4）（x+2）＝x2﹣x﹣4；
（2）S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA＝，即可求解；
（3）∠BPC＝45°，则BC对应的圆心角为90°，如图作圆R，则∠BRC＝90°，圆R交函数对称轴为点P，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，证明△BMR≌△RNC（AAS），求出即点R（1，﹣1），即点R在函数对称轴上，即可求解．
解：（1）抛物线的了表达式为：y＝（x﹣4）（x+2）＝x2﹣x﹣4；
（2）设点D（m，m2﹣m﹣4），
S＝S△OBC+S△OCD+S△ODA＝AO×yD＝+＝[﹣（m2﹣m﹣4）]＝﹣（m﹣2）2+16，
当m＝2时，S的最大值为16；
（3）∠BPC＝45°，则BC对应的圆心角为90°，如图作圆R，则∠BRC＝90°，
圆R交函数对称轴为点P，过点R作y轴的平行线交过点C与x轴的平行线于点N、交x轴于点M，设点R（m，n）．
∵∠BMR+∠MRB＝90°，∠MRB+∠CRN＝90°，
∴∠CRN＝∠MBR，
∠BMR＝∠RNC＝90°，BR＝RC，
∴△BMR≌△RNC（AAS），
∴CN＝RM，RN＝BM，
即m+2＝n+4，﹣n＝m，解得：m＝1，n＝﹣1，
即点R（1，﹣1），即点R在函数对称轴上，
圆的半径为：＝，
则点P的坐标为：（1，﹣1+）或（1，﹣1﹣）．
点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
5．分析：（1）根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得抛物线的解析式；
（2）根据题意可以求得点A的坐标．
①把x＝2代入二次函数解析式，求得相应的y值，易得M（2，8）即n＝8，所以此时MB∥x轴，根据三角形的面积公式解答即可．
②根据题意和图形可以用含m的代数式表示出S，然后将其化为顶点式，再根据二次函数的性质即可解答本题．
解：（1）把x＝0代入y＝﹣3x+8得y＝8，
∴B（0，8）．
把B（0，8）代入y＝ax2﹣2ax+a+9，
∴8＝a+9，
∴a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+2x+8．
（2）令y＝0代入得：0＝﹣x2+2x+8，
∴x＝﹣2或4，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣2和4．
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜4，
令y＝0代入y＝﹣3x+8，
∴x＝，
∴A的坐标为（，0）．
①当x＝2时，代入﹣x2+2x+8＝8，则M（2，8）即n＝8．
此时MB∥x轴，S△ABM＝×2×8＝8．
②由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+8）．
S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝×m×8+××（﹣m2+2m+8）﹣××8
＝m2+m．
＝
∴当m＝时，S取得最大值．
当m＝时，y＝﹣（）2+2×+8＝．
∴M的坐标为（，）．
点评：这是一道二次函数综合题，主要考查二次函数的最值、最短路径、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想和转化的数学思想解答．
6．分析：（1）由待定系数法可求解析式；
（2）先求出AC解析式，由S△AOP＝S△APD，可得点P是OD的中点，可得P（m，（﹣m2+m+3）），代入AC解析式可求解；
（3）由勾股定理可求BC的长，由平行线的性质和折叠的性质可求BC＝BE，即可求解．
解：（1）将A（5，0），B（﹣1，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c中，
得，
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3①，
令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3），
∵A（5，0），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3，
设点D坐标为（m，﹣m2+m+3），
∵S△AOP＝S△APD．
∴点P是OD的中点，
∴P（m，（﹣m2+m+3）），
∵点P在线段AC上，
∴﹣?m+3＝（﹣m2+m+3），
∴m＝，
∴P（，）或（，）；
（3）如图，
∵C（0，3），B（﹣1，0）
∴CO＝3，BO＝1，
∴BC＝＝＝
∵将△CEP沿CE翻折，当点P的对应点P′恰好落在x轴上
∴∠PEC＝∠BEC，
∵PE∥BC，
∴∠BCE＝∠PEC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴BC＝BE＝，且点B（﹣1，0）
∴E（﹣1+，0）
故答案为：E（﹣1+，0）．
点评：本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式，折叠的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
7．分析：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；
（2）①S1﹣S2＝S△BAC﹣S△BAP＝×AB×（3+m2﹣2m﹣3）＝2（m2﹣2m），即可求解；
②将线段PE顺时针旋转90°，得到线段P′E′，则点E′、P′的坐标分别为：（﹣m+3，﹣m）、（﹣m2+2m+3，﹣m），当线段P′E′与直线PE有交点时，即点F在E′P′之间，即可求解．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）将点A、C（0，3）的坐标代入一次函数表达式得：
直线AC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点P（m，﹣m2+2m+3），则点E（m，﹣m+3），
①S1﹣S2＝S△BAC﹣S△BAP＝×AB×（3+m2﹣2m﹣3）＝2（m2﹣2m），
∴当m＝1时，S1﹣S2最小，此时点P（1，4）；
②将线段PE顺时针旋转90°，得到线段P′E′，
则点E′、P′的坐标分别为：（﹣m+3，﹣m）、（﹣m2+2m+3，﹣m），
当线段P′E′与直线PE有交点时，即点F在E′P′之间，
即﹣m+3≤m≤﹣m2+2m+3，
解得：≤m≤，
故交点F的路径长为：（﹣）＝＝．
点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形旋转、图形的面积计算等，其中（2）②，关键是求出旋转后对应点的坐标，进而求解．
8．分析：（1）利用配方法求出顶点坐标，令x＝0，可得y＝﹣5，推出C（0，5）；
（2）直线PC的解析式为y＝3x+5，设直线交x轴于E，则E（﹣，0），设直线PQ交x轴于F，当BD＝3AF时，△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍，分两种情形分别求解即可解决问题．
解：（1）∵y＝x2+6x+5＝（x+3）2﹣4，
∴顶点P（﹣3，﹣4）．
令x＝0得到y＝5，
∴C（0，5）；
（2）令y＝0，x2+6x+5＝0，解得x＝﹣1或﹣5，
∴A（﹣1，0），B（﹣5，0）．
设直线PC的解析式为y＝kx+b，则有．
解得 ．
∴直线PC的解析式y＝3x+5，
设直线PC交x轴于E，则E（，0），
设直线PD交x轴于F，当BF＝3AE时，△PBD的面积等于△PAC的面积的3倍，
∵AE＝，
∴BF＝2．
∴F（﹣3，0）或F'（﹣7，0）．
当F（﹣3，0）时，直线PF垂直于x轴，
∴D（﹣3，5）．
当F'（﹣7，0）时，直线PF'的解析式为y＝﹣x﹣7，
∴D'（﹣12，5）．
综上所述，满足条件的点D（﹣3，5），D'（﹣12，5）．
点评：本题综合考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．分析：（1）由抛物线交点式表达，即可求解；
（2）利用S△BDC＝HD×OB，即可求解；
（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△QAC的周长最小，如图2，求得抛物线y＝﹣x2+x+6的轴对称为x＝1，把x＝1代入直线BC的表达式y＝﹣x+6即可得到结论．
解：（1）由抛物线交点式得：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8）＝ax2﹣2ax﹣8a，
即﹣8a＝6，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+6；
（2）点C（0，6），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y＝﹣x+6，
如图所示，过点D作y轴的平行线交直线BC与点H，
设点D（m，﹣m2+m+6），则点H（m，﹣m+6）
S△BDC＝HD×OB＝2（﹣m2+m+6+m﹣6）＝2（﹣m2+3m）＝S△ACO＝××6×2＝，
即：2（﹣m2+3m）＝，
解得：m＝1或3（舍去1），
故m＝3；
（3）在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△QAC的周长最小，如图2，
抛物线y＝﹣x2+x+6的轴对称与BC 的交点即为点Q，
∵抛物线y＝﹣x2+x+6的轴对称为x＝1，
∴把x＝1代入直线BC的表达式y＝﹣x+6得y＝，
∴点Q的坐标为（1，）．
点评：本题考查的是二次函数综合运用，待定系数法求函数的解析式，图象的面积计算，轴对称﹣最短路线问题等，正确理解题意是解题的关键．
10．分析：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），即可求解；
（2）S△BCD＝×OB×ND＝3×（x﹣4﹣x2+x+4）＝﹣2x2+6x，即可求解；
（3）设QM＝3x，则HM＝4x，MB＝3x，BH＝HM+MB＝7x＝＝，解得：x＝，即可求解．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
故﹣3a＝﹣4，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；
（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，
由B、C的坐标可得直线BC的表达式为：y＝x﹣4，
设点D（x，x2﹣x﹣4），点N（x，x﹣4），
S△BCD＝×OB×ND＝3×（x﹣4﹣x2+x+4）＝﹣2x2+6x，
∵﹣2＜0，故S有最大值，
此时，x＝，点D（，﹣5）；
（3）存在，理由：
直线BC的表达式为：y＝x﹣4，抛物线的对称轴为：x＝1，故点H（1，﹣），
过点Q作QM⊥BC于点M，tan∠OCB＝＝tanα，∠QBC＝45°，
设QM＝3x，则HM＝4x，MB＝3x，
BH＝HM+MB＝7x＝＝，解得：x＝，
QH＝5x＝，
则yQ＝yH+＝﹣，
故点Q（1，）．
点评：本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图形的面积计算等，其中（3），用解直角三角形的方法求解点Q的坐标，是本题的亮点．
11．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出抛物线对称轴，求出点D的坐标，再令y＝0，进而求出点B坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式，进而求出点E的坐标，再求出点F的坐标，即可得出结论；
（3）先求出△DBC的面积，进而求出△ABP，求出点P的纵坐标，即可得出结论．
解：（1）二次函数y＝ax2+bx﹣6的图象经过点C（8，﹣6），点A（2，0），
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣＝4，
∴D（4，0）；
当y＝0时，则﹣x2+4x﹣6＝0，
∴x＝2（点A的横坐标）或x＝6，
∴B（6，0）；
（2）由（1）知，D（4，0），
∵C（8，﹣6），
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+6①，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+4x﹣6②，
联立①②解得，或（点C的纵横坐标），
∴点E（3，），
如图1，过点B作BF∥y轴交CD于F，
由（1）知，B（6，0），
∴F（6，﹣3），
∴S△EBC＝BF?|xC﹣xE|＝×3×|8﹣3|＝；
（3）设点P的纵坐标为m，由（1）知，B（6，0），D（4，0），
∵C（8，﹣6），
∴S△DBC＝BD?|yC|＝（6﹣4）×6＝6，
∵S△ABP＝S△DBC，
∴S△ABP＝×6＝3，
∵A（2，0），B（6，0），
∴S△ABP＝AB?|yP|＝（6﹣2）|m|＝2|m|＝3，
∴m＝±，
当m＝时，﹣x2+4x﹣6＝，x＝3或x＝5，
∴P（3，）或（5，），
当m＝﹣时，﹣x2+4x﹣6＝﹣，x＝4﹣或x＝4+，
∴P（4﹣，﹣）或（4+，﹣），即：P（3，）或（5，）或（4﹣，﹣）或（4+，﹣）．
点评：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的求法，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
12．分析：（1）抛物线的表达式为：y＝（x+4）（x﹣1），即可求解；
（2）直线AE的表达式为：y＝x+2，点P（t，t2+t﹣2），则点F（t，t+2），d＝PF＝t+2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣t+4（﹣4＜t＜2）；
（3）PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，则ER：KH＝12：11，即：（2﹣t）：（t﹣xK）＝12：11，解得：xK＝，则点K（，），直线PK的表达式为：y＝﹣2x+，将点P的坐标代入上式并化简得：12t2﹣31t+14＝0，即可求解．
解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x+4）（x﹣1）＝x2+x﹣2，
则b＝，c＝﹣2；
（2）点E的横坐标为2，而点E在抛物线上，则点E（2，3），
将A、E的坐标代入y＝mx+n得：，解得：，
故直线AE的表达式为：y＝x+2，
点P（t，t2+t﹣2），则点F（t，t+2），
d＝PF＝t+2﹣（t2+t﹣2）＝﹣t2﹣t+4（﹣4＜t＜2）；
（3）点P（t，t2+t﹣2），分别过点E、K作PF的垂线交于点R、H，
PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，当ER：KH＝12：11时，
即：（2﹣t）：（t﹣xK）＝12：11，
解得：xK＝，
则yK＝，点K在直线AE上，则点K（，），
∵PK⊥AE，则直线PK的表达式可设为：y＝﹣2x+s，
将点K的坐标代入上式并解得：
直线PK的表达式为：y＝﹣2x+，
将点P的坐标代入上式并化简得：12t2﹣31t+14＝0，
解得：t＝或2（舍去2）；
PF把△PKE分成面积比为11：12的两个三角形，当ER：KH＝11：12时，
同理可得：t＝；
综上，t＝或