2021年中考二轮复习数学《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练八：与相似三角形相关的压轴题（word版含答案）

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练八：
与相似三角形相关的压轴题（附答案）
方法提炼：
1、求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况，需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。
典例引领：
例：如图，直线y=-x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点。
（1）求抛物线的解析式;?
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
解：（1）抛物线的解析式为y=x2-4x+3
（2）由题意可得：△ABO为等腰三角形， ? ?
若△ABO∽△AP1D ，则=? ? ??
∴DP1=AD=4??,?∴P1(1,4)
若△ABO∽△ADP2?，过点P2作P2?M⊥x轴于M，AD=4,?
∵△ABO为等腰三角形,?∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2=?P2M，
?即点M与点C重合???，∴P2（1，2）
跟踪训练：
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4），BC与抛物线的对称轴相交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；
（2）过点A作AE⊥AC交抛物线于点E，求点E的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F在射线AE上，若△ADF∽△ABC，求点F的坐标．
2．如图1，已知二次函数y＝ax2﹣a（a为常数，且a≠0）与x轴交于A、B，与y轴的交点为C．过点A的直线l：y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与抛物线另一交点为E，交y轴于D．
（1）用含k的式子表示直线l的解析式；
（2）若a＝3，k＝，点P为抛物线上第四象限上的一动点，过P作y轴的平行线交AD于M，作PN⊥AD于N，当△PMN面积有最大值时，求点P的坐标；
（3）如图2，若a＝3，k＝1，连结AC、BC，在坐标平面内，求使得△ACD与△BCQ相似（其中点Q与点A是对应顶点）的Q的坐标．
3．如图1，抛物线y＝ax2﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求出抛物线的函数表达式；
（2）设△PMN的面积为S1，△AEN的面积为S2，若S1：S2＝36：25，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E'A、E'B，在坐标平面内找一点Q，使△AOE′～△BOQ，并求出Q的坐标．
4．如图1，以点A（﹣1，2）、C（1，0）为顶点作Rt△ABC，且∠ACB＝90°，tanA＝3，点B位于第三象限
（1）求点B的坐标；
（2）以A为顶点，且过点C的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）是否经过点B，并说明理由；
（3）在（2）的条件下（如图2），AB交x轴于点D，点E为直线AB上方抛物线上一动点，过点E作EF⊥BC于F，直线EF分别交y轴、AB于点G、H，若以点B、G、H为顶点的三角形与△ADC相似，求点E的坐标．
5．抛物线C1：y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B两点，与y轴交于点C，点M（﹣2，3）是抛物线上一点．
（1）求抛物线C1的表达式．
（2）若抛物线C2关于C1关于y轴对称，点A、B、M关于y轴的对称分别为A′、B′、M′．过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2），点D为OC中点，连接AC、BD，并延长BD交AC于点E．
（1）求抛物线w1的表达式；
（2）若抛物线w1与抛物线w2关于y轴对称，在抛物线w2位于第二象限的部分上取一点Q，过点Q作QF⊥x轴，垂足为点F，是否存在这样的F点，使得△QFO与△CDE相似？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
7．在平面直角坐标系中，如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝，与x轴的交点A（﹣1，0）与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2．点P是直线BC下方抛物线上的一点，过点P作BC的平行线交抛物线于点Q（点Q在点P右侧），连结BQ，当△PCQ的面积为△BCQ面积的一半时，求P点的坐标；
（3）现将该抛物线沿射线AC的方向进行平移，平移后的抛物线与直线AC的交点为A'、C'（点C'在点A'的下方），与x轴的交点为B'，当△AB'C'与△AA'B'相似时，求出点A′的横坐标．
8．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y＝﹣x+3．
（1）求抛物线的表达式．
（2）请你判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，已知动圆A恒过定点B（0，﹣1），圆心A在抛物线y＝﹣x2上运动，MN为⊙A在x轴上截得的弦（点M在点N左侧）．
（1）当点A坐标为（，a）时，求a的值，并计算此时⊙A的半径与弦MN的长；
（2）当⊙A的圆心A运动时，判断弦MN的长度是否发生变化？若改变，请举例说明；若不变，请说明理由；
（3）连接BM，BN，当△OBM与△OBN相似时，计算点M的坐标．
10．如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（3，1），点C（0，4），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连结BC．
（1）求该二次函数的解析式及点M的坐标；
（2）若将该二次函数图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点与△ABC的外心重合，求m的取值；
（3）点P是坐标平面内的一点，使得△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，请写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．
11．如图1，已知抛物线；C1：y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴交于点B、C（点B在点C的左侧），与y轴交于点E．
（1）求点B、点C的坐标；
（2）当△BCE的面积为6时，若点G的坐标为（0，b），在抛物线C1的对称轴上是否存在点H，使得△BGH的周长最小，若存在，则求点H的坐标（用含b的式子表示）；若不存在，则请说明理由；
（3）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
12．如图，抛物线y＝（x+2）2+m与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．点D在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，抛物线的顶点为M，点B的坐标为（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及A，C，D的坐标；
（2）判断△ABM的形状，并证明你的结论；
（3）若点P是直线BD上一个动点，是否存在以P，C，D为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由
13．已知一次函数y＝kx+2的图象经过点，与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，二次函数y＝ax2+bx（a＞0）的图象经过点A和点P，顶点为M，对称轴与一次函数的图象相交于点N．
（1）求一次函数的解析式以及A点，B点的坐标；
（2）求顶点M的坐标；
（3）在y轴上求一点Q，使得△PNM和△PBQ相似．
14．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，A（﹣1，0）与y轴交于点C，点E（1，﹣4）为抛物线的顶点，且OD＝OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin（α﹣β）的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与△BCE相似，若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将C（0，﹣4）代入得：﹣8a＝﹣4，解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4．
如图1所示：记抛物线的对称轴与x轴交点坐标为F．
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，
∴BF＝OB﹣OF＝3．
∵BO＝OC＝4，∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝45°．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∴FD＝FB＝3．
∴D（1，﹣3）．
（2）如图2，过点E作EH⊥AB，垂足为H．
∵∠EAB+∠BAC＝90°，∠BAC+∠ACO＝90°，
∴∠EAH＝∠ACO．
∴tan∠EAH＝tan∠ACO＝．
设EH＝t，则AH＝2t，
∴点E的坐标为（﹣2+2t，t）．
将（﹣2+2t，t）代入抛物线的解析式得：（﹣2+2t）2﹣（﹣2+2t）﹣4＝t，
解得：t＝或t＝0（舍去）
∴E（5，）．
（3）A、B、C、D四个点坐标分别为：A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣4），D（1，﹣3），
则：AD＝3，AB＝6，AC＝2，BC＝4，
∵△ADF∽△ABC，
∴，
∴，
∴AF＝，
设：点F坐标为（x，x+1），
过点F作x轴的垂线交x轴于点H，
则：AF2＝FH2+AH2，
即：10＝（x+1）2+（x+2）2，
解得：x＝﹣2+2或﹣2﹣2（舍去），
故点F坐标为（﹣2+2，）．
2．解：（1）∵二次函数y＝ax2﹣a（a为常数，且a≠0）与x轴交于A，
∴y＝0时，ax2﹣a＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵直线l：y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）过点A，
∴﹣k+b＝0，
∴b＝k，
∴直线l的解析式为y＝kx+k；
（2）∵a＝3，k＝，
∴二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝，
∴D（0，），
∴OA＝1，OD＝，
∴AD＝＝＝，
设点P的坐标为（x，3x2﹣3），则点M （x，），
∴PM＝，
∵PM∥y轴，
∴∠PMN＝∠ADO．
又∵∠PNM＝∠AOD＝90°，
∴△PMN∽△ADO，
∴，
∴＝，
∴当PM有最大值时，S△PMN的面积最大，此时x＝，
∴，
∴．
（3）△ACD与△QBC相似，
当a＝3，k＝1时，二次函数解析式为y＝3x2﹣3，直线l的解析式为y＝x+1，
∴C（0，﹣3），B（1，0），D（0，1），
∴，CD＝4，AC＝，BC＝，
设点Q坐标为（x，y）
若△ACD∽△QBC，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，，
∴Q点的坐标为（）或；
若△ACD∽△QCB，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或，
∴Q点的坐标为（0，﹣）或（），
综上所述：点Q坐标为：或或或（）．
3．解：（1）把A（8，0）代入y＝ax2﹣6ax+6，得64a﹣48a+6＝0，解得a＝，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+x+6；
（2）如图1，在y＝x2+x+6中，令x＝0，得y＝6，
∴B（0，6），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得
∴直线AB解析式为y＝x+6
∵PE⊥x轴，PM⊥AB
∴∠AEN＝∠PMN＝90°，
∵∠ANE＝∠PNM
∴△ANE∽△PNM
∴＝＝，＝＝（）2，
∵S1：S2＝36：25，
∴＝
∴＝，即6AN＝5PN
∵E（m，0）（0＜m＜8），
∴P（m，+m+6），N（m，m+6）
∴EN＝m+6，PN＝PE﹣EN＝+m+6﹣（m+6）＝+3m
OE＝m，AE＝8﹣m，
∵AB＝＝＝10
∴cos∠OAB＝＝，即＝
∴AN＝（8﹣m），
∴6×（8﹣m）＝5×（+3m），解得：m1＝4，m2＝8（不符合题意，舍去），
∴m＝4；
（3）如图2，∵线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，
∴OE′＝OE＝4，∠AOE′＝30°
∵△AOE′～△BOQ，
∴＝，∠BOQ＝∠AOE′＝30°，
∴＝，即OQ＝3，过点Q作QH⊥y轴于H，
∴QH＝OQ＝，OH＝＝＝，
∴当点Q在y轴右侧时，Q1（，），
当点Q在y轴左侧时，Q2（﹣，）．
综上所述，Q的坐标为：Q1（，），Q2（﹣，）．
4．解：（1）过C点作MN垂直x轴．过A、B两点分别作AM⊥MN，垂足为M，BN⊥MN，垂足为N，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBN＝∠ACM，
∴△CNB～△AMC，
∴，
∵A（﹣1，2）、C（1，0），
∴AM＝2，CM＝2，
又∵tanA＝＝3，
∴BN＝6，CN＝6，
∴B点坐标为（﹣5，﹣6）．
（2）设以A（﹣1，2）为顶点的抛物线为y＝a（x+1）2+2，
∵抛物线经过C（1，0）
∴a（1+1）2+2＝0，
∴，
∴函数解析式为，
当x＝﹣5时，y＝＝﹣6，
∴以A为顶点，且过点C的抛物线为经过点BB（﹣5，﹣6）．
（3）∵点A（﹣1，2）、C（1，0），
∴直线yAC＝﹣x+1，∠ACD＝45°，
∵EF⊥BC，
∴∠BHC＝DAC，
∴以点B、G、H为顶点的三角形与△ADC相似，有两种情况：
Ⅰ．如图2（1）．∠HGB＝45°，∵EG∥AC，∴BG∥CD，即BG⊥y轴，
∴G坐标为（0，﹣6）
∴直线yEG＝﹣x﹣6，
依题意得：，
解得（不合题意舍去），得，
∴当∠HGB＝∠ACD＝45°时△HBG∽ADC，即：E点坐标为（）．
Ⅱ．如图2（2）．∠HBG＝∠ACD＝45°时，△HBG∽△ACD，
∵过B点作BP⊥y轴，∴P点（0，﹣6）
∵∠CBP＝45°，
∴∠GBP＝∠ABC，
又∵tan∠GBP＝，tan∠ABC＝，BP＝5，
∴GP＝，即G点坐标为（0，），
∴直线，
依题意得：，
解得，（不合题意舍去），得，
即E点为（，），
综上所述：E点坐标为（）或（，），
5．解：（1）将点A、M的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故抛物线C1的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由题意得：点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）、M（﹣2，3）、B′（﹣1，0）、A′（3，0），D（2，1），
则AB′＝2，AC＝3，B′C＝，A′D＝，
①当点P在直线AC的左侧时，
当点P在DM′左侧时，
A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似，
则△AB′C∽△A′DP，则，
即：，解得：A′P＝3，
故点P（0，0），
当点P在DM′左侧时，
同理可得点P（P′）（，0）；
②当点P在直线AC的右侧时，
则△AB′C、△DA′P″不相似，
综上，点P的坐标为（0，0）或（，0）．
6．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（﹣1，0），B（2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式得：
，
解得：，
∴抛物线w1的表达式为y＝﹣x2+x+2；
（2）∵抛物线w1与抛物线w2关于y轴对称，
∴抛物线w2的解析式y＝﹣x2﹣x+2，
∵点D为OC中点，C（0，2），
∴D（0，1），
∵A（﹣1，0），B（2，0），
∴，
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴△AOC∽△DOB，
∴∠ACO＝∠DBO，
∴BD⊥AC，
∴，
设F（a，0），Q（a，﹣a2﹣a+2），a＜0，若△QFO与△CDE相似，可分两种情况考虑：
①△QFO与∽△CED时，
，
∴，
解得：a1＝﹣1，a2＝2（舍去），
∴F（﹣1，0）；
②△QFO∽△DEC时，
，
∴，
解得：，（舍去），
∴F（，0）．
综合以上可得F点的坐标为F（﹣1，0）或F（，0）．
7．解：（1）由对称性可知B（4，0）
设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）
将（0，﹣2）代入得a＝
∴y＝x2﹣x﹣2．
（2）由平行线间距离处处相等可知，当△PCQ的面积为△BCQ面积的一半时，PQ＝BC
∵C（0，﹣2），B（4，0）
∴BC＝
∴PQ＝
∴PQ2＝+＝5
∵直线BC的解析式为y＝x﹣2，PQ∥BC
∴设直线PQ的解析式为y＝x+b
则yP＝xP+b，yQ＝y＝xQ+b
联立得
x2﹣4x﹣4﹣2b＝0
则xP+xQ＝4
∵PQ2＝+＝5
∴＝5，xQ﹣xP＝2
∴点P（1，﹣3）
（3）由点A（﹣1，0），C（0，﹣2）得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2
设点A'坐标为（a，﹣2a﹣2），由平移的性质，可知AC＝A'C'＝
平移距离为AA'＝（a+1）
∴AC'＝（a+2）
当△AB'C'与△AA'B'相似时，只有当△AB'C'∽△AA'B'
∴AB'2＝AA'×AC'＝5（a+1）（a+2）
过点B'作AA'的平行线，交原抛物线于点D，连接AD，
由平移知四边形ADB'A'为平行四边形，点D的纵坐标为2a+2
设点D的横坐标为m，则点B'坐标为（m+a+1，0）
∴AB'2＝（m+a+2）2＝5（a+1）（a+2），①
将点D（m，2a+2）代入y＝x2﹣x﹣2得
﹣﹣2＝2a+2，②
联立①②，解得：a＝，
m2﹣9m+15＝0，
∴m＝，或m＝（舍）
∴a═＝＝
∴点A′的横坐标为．
8．解：（1）把x＝0代入y＝﹣x+3，得：y＝3，
∴C（0，3）
把y＝0代入y＝﹣x+3，得：x＝3，
∴B（3，0）
将C（0，3）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）△BCD是直角三角形，理由如下：
由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）
又∵C（0，3）、B（3，0）、D（1，4），
∴CD＝＝，BC＝＝3，DB＝＝2
∵（）2+（3）2＝20，（2）2＝20，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°．即△BCD是直角三角形；
（3）如图，连接AC，把y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝﹣1或x＝3，
∴A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∴＝，
∵＝，
∴，
又∵∠AOC＝DCB＝90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB，
过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，
∴△ACQ∽△DCB，
∴，即，
解得：AQ＝10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
9．解：（1）把点A（）代入得，
a＝﹣，
∵B（0，﹣1），
∴AB∥x轴，
∴⊙A的半径为，
如图1，过点A作AE⊥MN于点E，连接AM，
则AM＝AB＝，
∴ME＝＝＝1，
由垂径定理，MN＝2ME＝2×1＝2．
故此时⊙A的半径为，弦MN的长为2；
（2）MN不变．如图2，理由如下：
设点A（m，n），则AB2＝m2+（n+1）2，
在Rt△AME中，ME2＝AM2﹣AE2＝m2+（n+1）2﹣n2＝m2+2n+1，
∵点A在抛物线y＝﹣x2上，
﹣m2＝n，
将n＝﹣代入ME2＝m2+2n+1得，
ME2＝1，
ME＝1，
由垂径定理得，MN＝2ME＝2×1＝2（是定值，不变）；
（3）由（2）知MN＝2，
设M（x，0），则N（x+2，0）．
当△OBM与△OBN相似，有以下情况：
①M、N在y轴同侧，
∵△OBM与△OBN相似，
∴，
即OB2＝OM?ON，
∴x（x+2）＝1，
整理得，x2+2x﹣1＝0，
解得：，
∴当M、N在y轴右侧时，M（﹣1+，0），
当M、N在y轴左侧时，M（﹣1﹣，0），
②M、N在y轴两侧时，
∵△OBM与△OBN相似，
∴，
即OB2＝OM?ON，
﹣x（x+2）＝1，
整理得，x2+2x+1＝0，
解得x＝﹣1，
此时△OBM与△OBN全等，M（﹣1，0），
综合以上可得，M点的坐标为（﹣1+，0）或（﹣1﹣，0）或（﹣1，0）．
10．解：（1）C（0，4），则c＝4，抛物线表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝2，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
则点M（1，5）；
（2）点A（3，1）函数的对称轴为：x＝1，则点B（﹣1，1），点C（0，4），
直线BC的中点坐标为：（﹣，），
则线段BC的中垂线的函数表达式为：y＝﹣x+，
当x＝1时，y＝2，即外心坐标为（1，2），
则二次函数图象向下平移了5﹣2＝3个单位；
（3）△ACB与△MCP相似，且CM的对应边为AC，存在△ACB∽△CMP或△CAB∽△CMP，
点A、B、C、M的坐标分别为：（3，1）、（﹣1，1）、（0，4）、（1，5），
则AB＝4，BC＝，AC＝3，CM＝，
①当△ACB∽△CMP时，如下图左侧图，
则，即，
解得：PM＝，PC＝，
设点P（r，s），
则r2+（s﹣4）2＝，（r﹣1）2+（s﹣5）2＝，
解得：r＝，s＝4或r＝0，s＝
故点P（，4）或（0，）；
②当△CAB∽△CMP时，如上图右侧图，
则点P在直线CA上，直线AC的表达式为：y＝﹣x+4，
同理可得：PC＝，
设点P（n，﹣n+4），则n2+（4﹣n﹣4）2＝，
解得：n＝1或﹣，
故点P（1，）或（﹣，5）；
综上，点P的坐标为P（，4）或（0，）或（1，）或（﹣，5）．
11．解：（1）y＝﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0），令y＝0，则x＝﹣2或m，
故点B、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（m，0）；
（2）存在，理由：
y＝﹣（x+2）（x﹣m），令x＝0，则y＝2，故点E（0，2），
△BCE的面积＝×BC×OE＝（m+2）×2＝6，解得：m＝4，
则抛物线的对称轴为：x＝（﹣2+4）＝1，
点B关于函数对称轴的对称点为点C（m，0），连接CG交对称轴于点H，则点H为所求，
将点C、G的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线CG的表达式为：y＝﹣bx+b，当x＝1时，y＝b，
故点H（1，b）；
（3）∵OE＝OB＝2，故∠EBO＝45°，
过点F作FT⊥x轴于点T；
①当△BEC∽△BCF时，
则BC2＝BE?BF，∠FBO＝EBO＝45°，
则直线BF的函数表达式为：y＝﹣x﹣2，故点F（x，﹣x﹣2）；
将点F的坐标代入抛物线表达式得：﹣x﹣2＝﹣（x+2）（x﹣m），
解得：x＝﹣2（舍去）或2m，
故点F（2m，﹣2m﹣2），
则BF＝2（m+1），BE＝2，
∵BC2＝BE?BF，
则（m+2）2＝22（m+1），解得：m＝2±2（舍去负值），
故m＝2+2；
②当△BEC∽△FCB时，
则BC2＝BF?EC，∠CBF＝∠ECO，
则△BFT∽△COE，
则，则点F[x，﹣（x+2）]，
将点F的坐标代入抛物线表达式得：﹣（x+2）＝﹣（x+2）（x﹣m），
解得：x＝﹣2（舍去）或m+2；
则点F[m+2，﹣（m+4）]
BC2＝BF?EC，则（m+2）2＝?，
化简得：m3+4m2+4m＝m3+4m2+4m+16，
此方程无解；
综上，m＝2．
12．解：（1）把B（﹣1，0）代入抛物线解析式得，
（﹣1+2）2+m＝0，
解得m＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣1，
当y＝0时，（x+2）2﹣1＝0，解得x1＝﹣1，x2＝﹣3，
∴A（﹣3，0）．
当x＝0时，y＝（x+2）2﹣1＝3，
∴C（0，3）
∵抛物线对称轴是直线x＝﹣2，C，D两点关于抛物线对称轴对称，
∴D（﹣4，3）；
（2）△ABM是等腰直角三角形；
证明：∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点是M，
∴M（﹣2，﹣1），
作MN⊥x轴于N，则N（﹣2，0）．
∴AN＝BN＝MN＝1，
∴AM＝BM，
tan∠MAN＝tan∠MBN＝1，
∴∠MAN＝∠MBN＝45°，
∴∠AMB＝180°﹣∠MAN﹣∠MBN＝90°，
∴△ABM是等腰直角三角形；
（3）存在，理由：
①当△ABD∽△PDC时，
，即：，
则PD＝，
过点P分别作x、y轴的垂线交于点M、N，
则PM＝PD＝×＝＝DM，
则点P（，）；
②当△ABD∽△CDP时，
同理可得：点P（2，﹣3）
综上，点P（，）或P2（2，﹣3）．
13．解：（1）∵一次函数y＝kx+2的图象经过点，
∴＝k+2，
∴k＝，
∴一次函数的解析式为：y＝x+2，
∵一次函数y＝x+2的图象与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴点A（﹣4，0），点B（0，2）；
（2）∵二次函数y＝ax2+bx（a＞0）的图象经过点A和点P，
∴
解得：
∴二次函数解析式为：y＝x2+2x
∵y＝x2+2x＝（x+2）2﹣2
∴顶点M坐标（﹣2，﹣2）
（3）∵对称轴与一次函数的图象相交于点N．
∴点N（﹣2，1），
∵点N（﹣2，1），点M（﹣2，﹣2），点P（1，），点B（0，2），
∴MN＝3，NP＝，BP＝，
∵MN∥y轴，
∴∠PBO＝∠PNM，即点Q只能在点B下方，
∵△PNM和△PBQ相似，
∴或
∴，或
∴BQ＝1，或BQ＝，
∴点Q（0，1）或（0，）．
14．解（1）∵点A（﹣1，0），E（1，﹣4）在抛物线y＝ax2+bx﹣3上，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图1，∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OD＝OA，
∴OD＝1，∴D（0，1），
∵E（1，﹣4），
∴OD＝1，OB＝3，，，，
∵，，，
∴，
∴△BOD～△BCE，
∴∠DBO＝∠EBC，
∴∠α﹣∠β＝∠DBC﹣∠CBE＝∠DBC﹣∠DBD＝∠CBO，
∴sin（α﹣β）＝；
（3）由（2）值，△BOD∽△BCE，
∴∠BCE＝∠BOD＝90°，
∵△BOD为直角三角形，
∵以P、A、C三点为顶点的三角形与△BCE相似，
则以P、A、C为顶点的三角形必为直角三角形，如图2，
①以A为直角顶点时，∠CAP1＝90°＝∠AOC，
∴∠OAP1+∠CAO＝90°，
∵∠OAP1+∠OP1A＝90°，
∴∠CAO＝∠AP1O，
∵∠AOP1＝∠COA＝90°，
∴△AOC∽△P1OA，
∴
∴OA2＝OC?OP1，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∵OA＝1，
∴12＝3×OP1，
∴
∴
②以C为直角顶点时，同①的方法得，OC2＝OA?OP2
即：9＝1×OP2
∴OP2＝9
∴P2（9，0）
③以P为直角顶点时，P3（0，0）
综上所述：满足条件的P点有，P2（9，0），P3（0，0）．