11.2 反比例函数的图像与性质（第2课时）（共30张PPT）

11.2 反比例函数的图像与性质
第2课时
第11章 反比例函数
2020-2021学年度苏科版八年级下册
1. 反比例函数的定义：
叫做反比例函数.
函数
2. 反比例函数的特征：
k ≠0， x ≠0.x是－1次
复习回顾
函数图象画法
列
表
描
点
连
线
描点法
反比例函数的图象又会是什么样子呢?
你还记得作函数图象的一般步骤吗?
用图象法表示函数关系时，首先在自变量的取值范围内取一些值，列表，描点，连线(按自变量从小到大的顺序，用一条平滑的曲线连接起来).
x
画出反比例函数 和
的函数图象.
y =
x
6
y =
x
6
y =
x
6
y =
x
6
合作学习
列
表
描
点
连
线
描点法
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
y
x
x
y =
x
6
y =
x
6
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0
-6
-5
5
6
x
y
1
6
2
3
3
2
4
1.5
5
1.2
6
1
6
-1
-6
-2
-3
-3
-1.5
-2
-4
-5
-1.2
-6
-1
…
…
…
…
-6
6
3
-3
2
-2
1.5
-1.5
1.2
-1.2
1
-1
…
…
y =
x
6
y =
x
6
2. 反比例函数 的图象在哪两个象限？由什么确定？
3. 反比例函数 ，具有怎样的对称性？
4. 反比例函数 的图象的变化趋势是怎样的，它和两条坐标轴的位置关系是怎样的？
1. 反比例函数 和 的图象在哪两个象限？它们相同吗？
y =
x
6
x
y
0
y
x
x
6
y =
0
合作学习
1.当k>0时，图象的两个分支分别在第一、三象限内；
2.当k<0时，图象的两个分支分别在第二、四象限内.
y
x
y
x
6
y =
0
3.图象的两个分支关于直角坐标系的原点成中心对称.
x
0
如果知道双曲线的一支，利用对称性，如何画另一支？
4.双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交.
合作学习
y =
x
6
x
y
0
一般地，反比例函数 （k≠0）的图象有下面的性质：
图象是双曲线
当k>0时，双曲线分别位于第一，三象限内；
当k<0时， 双曲线分别位于第二，四象限内.
双曲线是中心对称图形.
形 状
位 置
变化趋势
对称性
双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交.
解：（1）因为函数 的图像经过点A(2，-4)，把x=2、y=-4代入 ，得-4= 解得k=-8；
（2）因为k=-8<0，由反比例函数的性质可知，函数
的图像在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大；
例1 已知反比例函数 的图像经过点A(2，-4)，
（1）求k的值；
（2）函数的图像在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
（3）画出函数的图像；
（4）点B（ ，-16）、C（-3，5）在这个函数的图像上吗？
（3）函数 的图像如图11-2;
（4）把 代入 得y=16，点B（ ，-16）在函数
的图像上；把x=3代入
得 点C（-3，5）不在函数
的图像上·
解：（1）由“菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半”，得
y与x的函数表达式为 y是x的反比例函数．
（2）根据题意，可知x>0.
反比例函数 （ x >0）的图像是其在第一象限的一支，如图11-3.
例2 设菱形的面积是5cm2，两条对角线的长分别是xcm、ycm.
（1）确定y与x的函数表达式；
（2）画出这个函数的图像．
解：（1）把x=-3代入y=x+1，得y=-2.
根据题意，可得反比例函数
的图像与一次函数y=x+1的图像的一个交点的坐标是
（-3，-2）.
例3 已知反比例函数 的图像与一次函数y=x+1的图像的一个交点的横坐标是-3.
（1）求k的值，并画出这个反比例函数的图像；
（2）根据反比例函数的图像，指出当k＜-1时，y的取值范围．
把x=-3、y=-2代入 得
即k=6.
函数 的图像如图11-4.
（2）由函数图像知，当x＜-1时，-61.函数 的图象在第__________象限，
2. 双曲线 经过点（-3，___）
y =
x
5
y =
1
3x
二，四
9
1
3.函数 的图象在二、四象限，则m的取值范围是 ____ .
4.对于函数 ，当 x<0时，图象在第 ________象限.
m-2
x
y =
m < 2
三
y =
1
3x
练习
当　　 时，在　　　 　内，　　
　随　的增大而　　　．
O
反比例函数　　　　　 的图象：
A
B
O
C
D
A
B
C
D
减少
每个象限
当　　 时，在　　　 　内，　　
　随　的增大而　　　．
增大
每个象限
反 比 例
函 数
图 象
图象的
位置
图 象 的
对 称 性
增 减 性
（k > 0）
（k < 0）
y =
x
k
y =
x
k
x
y
0
y
x
0
当k>0时，在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
当k＜0时，在每一象限内函数值y随自变量x的增大而增大.
两个分支关于原点成中心对称
两个分支关于原点成中心对称
在第一、
三象限内
在第二、
四象限内
学生总结：反比例函数的性质
提高练习
1、图1是正比例函数y＝-kx的图像，则反比例函数 的图像最有可能是 （ ）.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
图1
A
B
C
D
O
O
O
O
O
D
提高练习
2、如图，动点P在反比例函数 图像的一个分支上，过点P作PA⊥x轴于点A、PB⊥y轴于点B，当点P移动时，△OAB的面积大小是否变化？为什么？
x
y
O
A
B
P
已知点A（1，4）是双曲线 的一点，过点A作x轴的垂线段PA垂足为P，过点A作AB⊥y轴于B点.得到长方形OPAB.
（1）你能说出长方形OPAB的面积吗？
（2）若A点是该双曲线上的一个动点，分别过点A给坐标轴作垂线段得到的长方形面积是否发生变化？若不变，请求出其面积；若改变，试说明理由.
A
O
P
x
y
B
1、如图，点P是反比例函数 图象上的一点，PD⊥x轴于D.
则△POD的面积为_______.
D
o
y
P
x
2、如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为12，则这个反比例函数的关系式是__________ .
x
y
o
M
N
p
P(m，n)
A
o
y
x
B
P(m，n)
A
o
y
x
B
说说你的推理
过点P分别作x轴，y轴的垂线段，垂足为A，B，
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|k|.
上任意一点，
是双曲线

)
，
(
n
m
P
P(m，n)
A
o
y
x
P(m，n)
A
o
y
x
则
垂足为
轴的垂线
作
过
，
，
)
1
(
A
x
P
有
上任意一点
是双曲线
设
:
，
)
，
(
n
m
P
P(m，n)
A
o
y
x
P(m，n)
A
o
y
x
想一想
若将此题改为过P点作y轴的垂线段，其结论成立吗？
你认为作反比例函数图像时应注意哪些问题？与同伴进行交流.
（1）列表时，选取的自变量的值既要易于计算又要便于描点，尽量多取一些数值（取互为相反数的一对一对的数），多描一些点，这样既可以方便连线，又可以使图象精确.
（2）描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把点的位置描错.
（3）一定要按自变量从小到大的顺序依次画线，连线时必须用光滑的曲线连接各点，不能用折线连接.
（4）图像是延伸的，注意不要画成有明确端点.
（5）曲线的发展趋势只能靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交.
反比例函数的图象与性质：
课堂小结
反 比 例
函 数
图 象
图象的
位置
图 象 的
对 称 性
增 减 性
（k > 0）
（k < 0）
y =
x
k
y =
x
k
x
y
0
y
x
0
当k>0时，在每一象限内，函数值y随自变量x的增大而减小.
当k＜0时，在每一象限内函数值y随自变量x的增大而增大.
两个分支关于原点成中心对称
两个分支关于原点成中心对称
在第一、
三象限内
在第二、
四象限内
谢谢聆听