湘教版 八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.2.1勾股定理 同步练习 （Word版 含答案）

1.2.1勾股定理
1．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
2．【中考·滨州】在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知一个直角三角形的两条边长分别为8和15，则第三条边长为(　　)
A．17 B．
C．或17 D．不确定
4．【中考·毕节】如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为(　　)
A． B．3 C． D．5

5.【中考·陕西】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为(　　)

A． B． C． D．
6．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　D　)
A．3 B．4 C．5 D．7
7.【中考·包头】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2 ，则BE的长为(　　)
A． B． C． D．
8．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为(　　)
A． B．
C． D．
9．【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD的长为正整数，则点D的个数共有(　　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
10.【中考·娄底】由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a－b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0，b＞0且a2＋b2为定值，则当a________b时，ab取得最大值．
11．【中考·雅安】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝________．
12．【中考·营口】如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为_______
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AC＝2，求AD的长．
14．【易错题】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．
15．【中考·益阳】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D′处，求阴影部分△AFC的面积．
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为____
(1)以Rt△ABC的三边为边作正方形，如图①所示，你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？
(2)以Rt△ABC的三边为直径作半圆，如图②所示，(1)中的结论是否仍成立？
(3)以Rt△ABC的三边为斜边作等腰直角三角形，如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论，不需要证明)?

18．在Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边AB上的动点．
(1)如图①，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE的长；
(2)如图②，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD的长．
1.2.1勾股定理
1．若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为c，则下列关于a，b，c的关系式中不正确的是(　C　)
A．b2＝c2－a2 B．a2＝c2－b2
C．b2＝a2－c2 D．c2＝a2＋b2
2．【中考·滨州】在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为(　A　)
A．5 B．6 C．7 D．8
3．已知一个直角三角形的两条边长分别为8和15，则第三条边长为(　C　)
A．17 B．
C．或17 D．不确定
4．【中考·毕节】如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为(　B　)
A． B．3 C． D．5

5.【中考·陕西】如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为(　D　)

A． B． C． D．
【点拨】由勾股定理得AC＝＝.
∵S△ABC＝3×3－×1×2－×1×3－×2×3＝，
∴AC·BD＝，∴·BD＝7，∴BD＝.
6．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为(　D　)
A．3 B．4 C．5 D．7
7.【中考·包头】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，BE⊥CD，交CD的延长线于点E.若AC＝2，BC＝2 ，则BE的长为(　A　)
A． B． C． D．
【点拨】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝2，由勾股定理得AB＝＝＝2 .∵D是AB的中点，∴BD＝CD＝.设DE＝x，由勾股定理得()2－x2＝(2 )2－(＋x)2，解得x＝，
∴在Rt△BED中，BE＝＝＝.
8．如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…，按照此规律继续下去，则S9的值为(　A　)
A． B．
C． D．
9．【中考·漳州】如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，若线段AD的长为正整数，则点D的个数共有(　C　)
A．5个 B．4个
C．3个 D．2个
【点拨】过A作AE⊥BC，垂足为E，
∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3.
∵D是线段BC上的动点(不含端点B，C)，∴3≤AD<5，
∵AD的长为正整数，∴AD＝3或AD＝4，
∴点D的个数共有3个．
此题易因没看清题意，得出3≤AD≤5，从而得到错误答案A.
10.【中考·娄底】由4个直角边长分别为a，b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示，根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a－b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2＋b2＝c2，还可以用来证明结论：若a＞0，b＞0且a2＋b2为定值，则当a___=_____b时，ab取得最大值．
【点拨】如图，在直角三角形中，两直角边长为a，b，斜边长为c，则a2＋b2＝c2.作直角三角形斜边上的高h，易知ab＝ch，即ab＝ch.
∵(a－b)2≥0，∴a2＋b2－2ab≥0.又∵a2＋b2＝c2，a2＋b2为定值，
∴ab≤，∴ab的最大值为.
当ab取最大值时，ab＝＝ch，∴h＝.要想使直角三角形中斜边上的高等于斜边的一半，则此三角形为等腰直角三角形，即a＝b.
11．【中考·雅安】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2＝__20______．
12．【中考·营口】如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE＋EF的最小值为__3 _____
13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，∠B＝60°，∠C＝45°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)若AC＝2，求AD的长．
解：(1)∵∠C＝45°，∠B＝60°，
∴∠BAC＝180°－60°－45°＝75°.
(2)：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°.
又∵∠C＝45°，∴∠DAC＝45°＝∠C，
∴AD＝CD.
在Rt△ACD中，∵AC＝2，
∴AD2＋DC2＝22.∴AD＝.
14．【易错题】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，则BC的长为．
【点拨】分两种情况讨论：
当CD在△ABC内部时，如图①，
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°. ∵CD＝，AD＝1，∴AC＝2.
∵AB＝2AC，∴AB＝4，∴BD＝4－1＝3，
∴BC＝＝2 .
②当CD在△ABC外部时，如图②，同理得AC＝2，AB＝4，
∴BD＝4＋1＝5，∴BC＝＝2 .
综上所述，BC的长为2 或2 .
15．【中考·益阳】如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
解：作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝14－x，
根据勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，
AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
∴152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.
∴AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144. ∴AD＝12.
∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.
如图，在长方形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将长方形沿AC折叠，点D落在点D′处，求阴影部分△AFC的面积．
解：由题意可知∠D′＝∠D＝∠B＝90°，AD′＝AD＝BC＝4.又∠AFD′＝∠CFB，∴△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF.
设D′F＝BF＝x，则AF＝8－x，
在Rt△AFD′中，(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，
∴AF＝8－3＝5，∴S△AFC＝AF·BC＝10.
17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为_____a2＋b2＝c2________
(1)以Rt△ABC的三边为边作正方形，如图①所示，你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？
(2)以Rt△ABC的三边为直径作半圆，如图②所示，(1)中的结论是否仍成立？
(3)以Rt△ABC的三边为斜边作等腰直角三角形，如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论，不需要证明)?
解：(1)由题意得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2.
∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.
(2)：仍成立．理由如下：易得S1＝·b2，S2＝·a2，S3＝·c2，
∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3.
即(1)中的结论仍成立．

：S1＋S2＝S3仍成立．
18．在Rt△ABC中，AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，点D为斜边AB上的动点．
(1)如图①，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE的长；
(2)如图②，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD的长．
解：(1)∵AC⊥CB，AC＝15，AB＝25，∴BC＝20.
∵AE平分∠CAB，∴∠EAC＝∠EAD.
∵AC⊥CB，DE⊥AB，∴∠ECA＝∠EDA＝90°.
又∵AE＝AE，∴△ACE≌△ADE(AAS)，
∴CE＝DE，AC＝AD＝15.∴BD＝25－15＝10.
设CE＝DE＝x，则BE＝20－x，
在Rt△BED中，x2＋102＝(20－x)2，∴x＝7.5，∴CE＝7.5.
(2)：①当AD＝AC时，△ACD为等腰三角形．
∵AC＝15，∴AD＝AC＝15.
②当CD＝AD时，△ACD为等腰三角形．
∵CD＝AD，∴∠DCA＝∠CAD.
∵AC⊥CB，∴∠CAB＋∠B＝90°，∠DCA＋∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠BCD，∴BD＝CD，∴AD＝BD＝12.5.
③当CD＝AC时，△ACD为等腰三角形，
如图，过点C作CH⊥BA于点H，易知AB·CH＝AC·BC.
∵AC＝15，BC＝20，AB＝25，∴CH＝12.
∴在Rt△ACH中，AH＝＝9.
∵CD＝AC，CH⊥BA，∴DH＝HA＝9，
∴AD＝18.
综上，AD的长为15或12.5或18.