湘教版 八年级数学下册 第1章 直角三角形 1.2.3 勾股定理的逆定理 同步练习 （Word版 含答案）

1.2.3 勾股定理的逆定理
1．【中考·南通】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　)
A．3，4，5 B．2，3，4
C．4，6，7 D．5，11，12
2．在三角形中，三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－2|＋(c2－8)2＝0，则此三角形为(　　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
3．【中考·益阳】已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的△ABC是(　　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
5．如果一个三角形的三边长的比为2∶3∶，那么这个三角形是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都不对
6．【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
7.△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：
①∠A＝∠B－∠C；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
③a2＝(b＋c)(b－c)；
④a：b：c＝5：12：13.
其中能判定△ABC是直角三角形的有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8.【中考·眉山】如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(　　)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
9．下列结论中，错误的有(　　)
①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；
②△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠A＝90°；
③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
10．【中考·河北】如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是(　　)
A．1，4，5 B．2，3，5
C．3，4，5 D．2，2，4
11．如果11，a，61是勾股数，则a的值是________．
12．【中考·四川】已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为_ _____________________．
13.【教材改编题】如图，在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝13，求四边形ABCD的面积．
14．如图，已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝13 cm，D是腰AB上一点，且CD＝12 cm，AD＝5 cm.
(1)求证：△BDC是直角三角形；
(2)求△ABC的周长．

15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3.
(1)求∠DAB的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
16．【中考·河北】已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0.
尝试：化简整式A．
发现：A＝B2，求整式B．
联想：由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值．
17．【中考·呼和浩特】如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
(2)求证：△ABC的内角和等于180°；
3)若＝，求证：△ABC是直角三角形．
18．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD．
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝ 8时，求∠BPC的度数；
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．




1.2.3 勾股定理的逆定理
1．【中考·南通】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　A　)
A．3，4，5 B．2，3，4
C．4，6，7 D．5，11，12
2．在三角形中，三边长a，b，c满足(a－b)2＋|b－2|＋(c2－8)2＝0，则此三角形为(　C　)
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
3．【中考·益阳】已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(　B　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【点拨】如图，依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2＋2＋1＝5，进而得出AC2＋BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
4．如图，正方形小方格的边长为1，则网格中的△ABC是(　A　)
A．直角三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．以上答案都不对
5．如果一个三角形的三边长的比为2∶3∶，那么这个三角形是(　C　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上都不对
6．【中考·绍兴】长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形(木棒允许连接，但不允许折断)，得到的三角形的最长边长为(　B　)
A．4 B．5
C．6 D．7
7.△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：
①∠A＝∠B－∠C；
②∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
③a2＝(b＋c)(b－c)；
④a：b：c＝5：12：13.
其中能判定△ABC是直角三角形的有(C　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
【点拨】①中，因为∠A＝∠B－∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形；②中，由∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5得△ABC中最大角∠C＝180°×＝75°，则△ABC为锐角三角形；③中，a2＝(b＋c)(b－c)＝b2－c2，即a2＋c2＝b2，所以△ABC是直角三角形；④中，因为a∶b∶c＝5∶12∶13，所以a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形．故选C.
8.【中考·眉山】如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为(　C　)
A．90°
B．60°
C．45°
D．30°
【点拨】连接AC，根据勾股定理可以得到AC＝BC＝，AB＝.
∵()2＋()2＝()2，
即AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC＝45°.
9．下列结论中，错误的有(　C　)
①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；
②△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠A＝90°；
③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【点拨】①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；②△ABC的三边分别为AB，BC，AC，若BC2＋AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；③在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶5∶6，则△ABC是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为3∶4∶5，则该三角形是直角三角形，正确．
10．【中考·河北】如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块(可重复选取)按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是(　B　)
A．1，4，5 B．2，3，5
C．3，4，5 D．2，2，4
11．如果11，a，61是勾股数，则a的值是__60______．
12．【中考·四川】已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式＋|a－b|＝0，则△ABC的形状为_ ______等腰直角三角形_______________．
13.【教材改编题】如图，在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，DC＝13，求四边形ABCD的面积．
解：∵在△ABD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，
∴BD＝＝＝5.
又∵在△BCD中，BC＝12，DC＝13，∴BC2＋BD2＝DC2，
∴△BCD是直角三角形，∠CBD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BDC
＝AD·AB＋BD·BC＝×4×3＋×5×12＝36.
14．如图，已知等腰三角形ABC的腰AB＝AC＝13 cm，D是腰AB上一点，且CD＝12 cm，AD＝5 cm.
(1)求证：△BDC是直角三角形；
(2)求△ABC的周长．

证明：(1)∵AC＝13 cm，CD＝12 cm，AD＝5 cm，
∴AD2＋CD2＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，且∠ADC＝90°，
∴∠BDC＝90°，∴△BDC为直角三角形．
(2)∵AB＝13 cm，AD＝5 cm，∴BD＝8 cm，
由(1)知△BDC为直角三角形，
∴BC＝＝＝4(cm)，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝13＋13＋4
＝26＋4(cm)．
15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3.
(1)求∠DAB的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
解：连接AC.∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴AC＝2 ，∠BAC＝45°.∵AD＝1，CD＝3，
∴AD2＋AC2＝12＋(2 )2＝9，CD2＝9，∴AD2＋AC2＝CD2，
∴△ADC是直角三角形，且∠DAC＝90°，
∴∠DAB＝∠DAC＋∠BAC＝135°.
(2)：在Rt△ABC中，S△ABC＝BC·AB＝×2×2＝2.
在Rt△ADC中，S△ADC＝AD·AC＝×1×2 ＝.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝2＋.
16．【中考·河北】已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B>0.
尝试：化简整式A．
发现：A＝B2，求整式B．
联想：由上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n>1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示，填写下表中B的值．
解：尝试：A＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1.
发现：∵A＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2，A＝B2，B>0，∴B＝n2＋1.
联想：17；37
17．【中考·呼和浩特】如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c. (1)若a＝6，b＝8，c＝12，请直接写出∠A与∠B的和与∠C的大小关系；
(2)求证：△ABC的内角和等于180°；
3)若＝，求证：△ABC是直角三角形．
(2答题图）
解：(1)∠A＋∠B<∠C.
(2)证明：如图，过点B作MN∥AC，
则∠MBA＝∠A，∠NBC＝∠C.
∵∠MBA＋∠ABC＋∠NBC＝180°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
即△ABC的内角和等于180°.
(3)证明：∵＝，
∴ac＝(a＋b＋c)(a－b＋c)＝[(a2＋2ac＋c2)－b2]，
∴2ac＝a2＋2ac＋c2－b2，
∴a2＋c2＝b2，∴△ABC是直角三角形．
18．在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，点P为△ABC内一点，将CP绕点C顺时针旋转α得到CD，连接AD．
(1)如图①，当α＝60°，PA＝10，PB＝6，PC＝ 8时，求∠BPC的度数；
(2)如图②，当α＝90°，PA＝3，PB＝1，PC＝2时，求∠BPC的度数．


(1答题图) (2答题图)
解：(1)如图①，连接DP，易知△DCP为等边三角形，易得△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝60°，AD＝PB＝6，DP＝PC＝8，
∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，
∴∠ADC＝150°，∴∠BPC＝150°.
(2)：如图②，连接DP，易得△DCP为等腰直角三角形，△CPB≌△CDA，∴∠BPC＝∠ADC，∠CDP＝45°，AD＝PB＝1，DP＝2 ，
∴AD2＋DP2＝AP2，∴∠ADP＝90°，
∴∠ADC＝135°，∴∠BPC＝135°.