湘教版八年级数学下册 1.2.2 勾股定理的应用（word版，含答案）

1.2.2 勾股定理的应用
1．如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少应是(　　)
A．13 m B．17 m
C．18 m D．25 m
2．【中考·安顺】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　　)
A．8米 B．10米
C．12米 D．14米
3．【模拟·岳阳】如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为(　　)
A．60海里 B．45海里
C．20 海里 D．30 海里
4．【中考·绍兴】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　　)
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米

5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则该三角形最长边的长为(　　)
A． B． C．3 D．5
6.【中考·威海】七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割成七块，正好制成一副七巧板(如图②)．已知AB＝40 cm，则图中阴影部分的面积为(　　)
A．25 cm2 B． cm2 C．50 cm2 D．75 cm2

7．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是(　　)
A．5 B．25
C．10 ＋5 D．35
8．△ABC是某市在拆除违章建筑后得到的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金(　　)
A．600a元 B．50a元
C．1 200a元 D．1 500a元
9．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为(　A　)
A．32秒 B．36秒
C．40秒 D．44秒

10.【中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7

11．如图，游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的点B 60米，结果他在水中实际游了100米，这条河的宽AB为___米．
12．【改编·扬州】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面_______尺高．
13．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，花朵下部高出水面30 cm.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60 cm，则水深是________cm.


14.【中考·通辽】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是__________
15．如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求点A到BC的距离．
16.【中考·南通】如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520 m，∠D＝30°.
那么另一边开挖点E离D多远时，
正好使A，C，E三点在同一直线上？
(≈1.732，结果取整数)
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E，F分别为AC，BC的中点，DE⊥DF.求证：AE2＋BF2＝EF2.
(18题图）
18．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．
(2)点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？
(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式＋的最小值．

1.2.2 勾股定理的应用
1．如图，在一个高为5 m，长为13 m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少应是(　B　)
A．13 m B．17 m
C．18 m D．25 m
2．【中考·安顺】如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行(　B　)
A．8米 B．10米
C．12米 D．14米
3．【模拟·岳阳】如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为(　D　)
A．60海里 B．45海里
C．20 海里 D．30 海里
【点拨】由题意易得∠B＝30°，AP＝30海里，∠APB＝90°，所以AB＝2AP＝60海里，所以BP＝＝30 海里．
4．【中考·绍兴】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为(　C　)
A．0.7米 B．1.5米
C．2.2米 D．2.4米

【点拨】如图，在Rt△ACB中，
∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，
∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25.易知A′B＝AB，
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2＋A′D2＝A′B2，
∴BD2＋22＝6.25，∴BD2＝2.25.∴BD＝1.5米
∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(米)．
5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，则该三角形最长边的长为(　C　)
A． B． C．3 D．5
6.【中考·威海】七巧板是大家熟悉的一种益智玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割成七块，正好制成一副七巧板(如图②)．已知AB＝40 cm，则图中阴影部分的面积为(　C　)
A．25 cm2 B． cm2 C．50 cm2 D．75 cm2

【点拨】如图，设OF＝EF＝FG＝x cm，则OE＝OH＝2x cm.在Rt△EOH中，由勾股定理得EH＝2 x cm，
由题意易知EH＝20 cm，∴20＝2 x.
∴x＝5 .
∴阴影部分的面积＝(5 )2＝50(cm2)．
7．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是(　B　)
A．5 B．25
C．10 ＋5 D．35
【点拨】本题易因考虑不全面，不能准确地找出最短路径而致错．
8．△ABC是某市在拆除违章建筑后得到的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金(　A　)
A．600a元 B．50a元
C．1 200a元 D．1 500a元
【点拨】∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝30米，AB＝50米，
∴BC＝＝＝40(米)，
∴共需要资金×40×30·a＝600a(元)．
9．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交会，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为(　A　)
A．32秒 B．36秒
C．40秒 D．44秒

【点拨】如图，过点A作AC⊥ON于点C，以A为圆心，200米为半径作弧(弧略)，交ON于B，D两点，连接AB，AD.
∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米．
易知当火车到B点时对A处开始产生噪音影响，
∵AB＝200米，AC＝120米，
∴由勾股定理得BC＝160米，当火车刚离开D点时对A处刚好不产生噪音影响，易得CD＝160米，∴BD＝320米．
∵火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶，
∴A处受噪音影响的时间是320÷10＝32(秒)．
10.【中考·营口】如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在BC上，BD＝3，DC＝1，点P是AB上的动点，则PC＋PD的最小值为(　B　)
A．4 B．5 C．6 D．7

【点拨】如图，过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P′，连接CP′，此时DP′＋CP′＝DP′＋P′C′＝DC′的值最小．连接BC′，由对称性可知∠C′BP′＝∠CBP′＝45°，
∴∠CBC′＝90°，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，
∴BC′⊥BC，BC′＝BC＝3＋1＝4.
根据勾股定理可得DC′＝＝＝5.
11．如图，游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的点B 60米，结果他在水中实际游了100米，这条河的宽AB为__80_米．
【点拨】易知AC＝100米，BC＝60米，
∠ABC＝90°，由勾股定理得
AB＝＝＝80(米)，
所以这条河的宽AB为80米．
12．【改编·扬州】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈(1丈＝10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？答：折断处离地面________尺高．
13．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，花朵下部高出水面30 cm.突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60 cm，则水深是__45______cm.


14.【中考·通辽】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P在斜边AB上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，∠PCQ＝90°，则PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是____PB2＋PA2＝2PC2._______
【点拨】如图，连接BQ，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°.∵△PCQ是等腰直角三角形，且∠PCQ＝90°，∴PC＝CQ，∠PCQ＝∠ACB，PQ2＝2PC2.
∴∠ACB－∠PCB＝∠PCQ－∠PCB，即∠ACP＝∠BCQ.
又∵AC＝BC，PC＝CQ，∴△ACP≌△BCQ(SAS)．
∴PA＝BQ，∠CAP＝∠CBQ＝45°.∴∠ABQ＝45°＋45°＝90°.
∴PB2＋BQ2＝PQ2.∴PB2＋PA2＝2PC2.
15．如图，每个小正方形的边长都为1.
(1)求四边形ABCD的周长；
(2)求点A到BC的距离．
解：(1)由勾股定理，得AB＝＝，BC＝＝2 ，
CD＝＝，AD＝＝，
则四边形ABCD的周长＝＋3 ＋.
(2)：连接AC.设点A到BC的距离为h，
易知△ABC的面积＝×(2＋5)×5－×1×5－×2×4＝11，
又△ABC的面积＝BC·h，∴×2 ×h＝11，
解得h＝，即点A到BC的距离为.
16.【中考·南通】如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD＝120°，BD＝520 m，∠D＝30°.
那么另一边开挖点E离D多远时，
正好使A，C，E三点在同一直线上？
(≈1.732，结果取整数)
解：∵∠ABD＝120°，∠D＝30°，
∴∠AED＝120°－30°＝90°.
在Rt△BDE中，BD＝520 m，∠D＝30°，
∴BE＝BD＝260 m，
∴DE＝＝260 ≈450(m)．
答：另一边开挖点E离D约450 m远时，正好使A，C，E三点在同一直线上．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，点E，F分别为AC，BC的中点，DE⊥DF.求证：AE2＋BF2＝EF2.

【点拨】本题通过作辅助线将不在同一个三角形中的线段进行转移，转移到同一个三角形中，从而将证明AE2＋BF2＝EF2转化为证明BG2＋BF2＝FG2.
证明：如图，延长ED至点G，使DG＝ED，连接BG，FG.
在△ADE和△BDG中，AD＝BD，∠1＝∠2，ED＝GD，
∴△ADE≌△BDG(SAS)．∴AE＝BG，∠3＝∠4.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°，∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°.
∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF.
在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
18．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC．已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x.
(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长．
(2)点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小？
(3)根据(2)中的结论，请构图求出代数式＋的最小值．
(18答题图）
解：(1)AC＋CE＝＋＝
＋.
(2)：当A，C，E三点共线时，AC＋CE的值最小．
【点拨】类比(1)(2)的结果求＋的最小值，即将该式的最小值转化为某线段的长，利用勾股定理计算．
(3)：如图，作线段BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，
设BC＝x，则AE的长即为代数式＋的最小值．过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，易得DF＝AB＝2，AF＝BD＝12，
所以EF＝ED＋DF＝3＋2＝5，所以AE＝＝13，
即＋的最小值为13.