北师大版数学八年级下册《三角形的证明》课件（共22张）

(共22张PPT)
等腰三角形(1)
三角形的证明
1.两直线被第三条直线所截,如果________相等,那么这两条直线平行;
2.两条平行线被第三条直线所截,________相等;
3.
____________对应相等的两个三角形全等;
（SAS）
4.
____________对应相等的两个三角形全等;
（ASA）
5.
_____对应相等的两个三角形全等;
（SSS）
你能证明下面的推论吗？
推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
基本事实:
同位角
同位角
两边及其夹角
两角及其夹边
三边
推论　两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.（AAS）
已知：如图,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF.
求证：△ABC≌△DEF.
证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）
∴∠C=180°－(∠A+∠B)，∠F=180°－(∠D+∠E)
∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）
∴∠C=∠F（等量代换）
∵BC=EF（已知）
∴△ABC≌△DEF（ASA）
F
E
D
C
B
A
(1)还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗?尽可能回忆出来.
(2)你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗?
如图，先自己折纸观察探索并写出等腰三角形的性质，然后再小组交流，互相弥补不足.
→
→
D
C
B
A
D
C
B
A
D
(C)
B
A
定理:
等腰三角形的两个底角相等.
(等边对等角)
已知：如图,
在△ABC中,
AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：取BC的中点D,
连接AD.
在△ABD和△ACD中
∵
AB=AC,
BD=CD,
AD=AD
∴
△ABD≌△ACD
(SSS)
∴
∠B=∠C
（全等三角形的对应角相等）
C
B
A
D
证法一:
等腰三角形的性质
一题多解
已知：如图,
在△ABC中,
AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：作△ABC顶角∠A的角平分线AD.
在△ABD和△ACD中
∵
AB=AC,
∠BAD=∠CAD,
AD=AD
∴
△ABD≌△ACD
(SAS)
∴
∠B=∠C
（全等三角形的对应角相等）
C
B
A
D
一题多解
证法二:
定理:
等腰三角形的两个底角相等.
(等边对等角)
等腰三角形的性质
已知：如图,
在△ABC中,
AB=AC.
求证：∠B=∠C.
证明：在△ABC和△ACB中
∵
AB=AC,
∠A=∠A,
AC=AB,
∴
△ABC≌△ACB
(SAS)
∴
∠B=∠C
（全等三角形的对应角相等）
C
B
A
一题多解
证法三:
点拨：此题还有多种证法，不论怎样证，依据都是全等的基本性质。
定理:
等腰三角形的两个底角相等.
(等边对等角)
等腰三角形的性质
C
B
A
D
在上面的图形中,线段AD还具有怎样的性质?为什么?由此你能得到什么结论?
推论:
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.
(三线合一)
1.等腰三角形的两个底角相等；
2.等腰三角形顶角的平分线、底边中线、底边上高三条线重合；
等腰三角形的性质
2.
如图,在△ABD中,C是BD上的一点，且AC⊥BD，AC=BC=CD，
（1）求证：
△ABD是等腰三角形;
（2）求∠BAD的度数.
大胆尝试，练一练！
解：（1）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，
∴∠ACB=∠ACD=90°．
∴△ACB≌△ACD．
∴AB=AD．
∴△ABD是等腰三角形．
（2）∵AC⊥BD，AC=BC=CD，
∴△ACB、△ACD都是等腰直角三角形．
∴∠B=∠D=45°．
∴∠BAD=90°．
等腰三角形(2)
三角形的证明
想一想,
做一做
在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗?
你能证明你的结论吗?
作图观察,我们可以发现：等腰三角形两底角的平分线相等；两腰上的高、中线也分别相等．
我们知道，观察或度量是不够的，感觉不可靠．这就需要以公理和已证明的定理为基础去证明它，让人们坚定不移地去承认它，相信它．
下面我们就来证明上面提到的线段中的一种：等腰三角形两底角的平分线相等．
已知：如图，在△ABC中，
AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
例1.
证明:
等腰三角形两底角的平分线相等.
用心想一想，马到功成
2
1
E
D
C
B
A
求证：BD=CE．
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)．
∵∠1=
∠ABC，∠2=
∠ACB，∴∠1=∠2．
在△BDC和△CEB中，
∵∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．
∴△BDC≌△CEB(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
已知：如图，在△ABC中，
AB=AC，
BD、CE是△ABC的角平分线．
例1.
证明:
等腰三角形两底角的平分线相等.
用心想一想，马到功成
4
3
E
D
C
B
A
求证：BD=CE．
一题多解
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠3=
∠ABC，∠4=
∠ACB，
∴∠3=∠4．
在△ABD和△ACE中，
∵∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．
∴△ABD≌△ACE(ASA)．
∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)．
大胆尝试，练一练！
已知：如图，在△ABC中，
AB=AC，
BD、CE是△ABC的高．
1.
证明:
等腰三角形两腰上的高相等.
求证：BD=CE．
E
D
C
B
A
证明：∵AB=AC，BD、CE是高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
在△ABD和△ACE中，
∠ADB＝∠AEC
，∠A＝∠A
，AB＝AC
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE．
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．
大胆尝试，练一练！
已知：如图，在△ABC中，
AB=AC，
BD、CE是△ABC的中线．
2.
证明:
等腰三角形两腰上的中线相等.
求证：BD=CE．
E
D
C
B
A
分析：要证BD=CE，就需证BD和CE所在的两个三角形的全等．
证明：∵AB=AC，BD、CE是△ABC的中线，
AB＝AC
，∴AE=AD，
在△ABD和△ACE中，
AE=AD，∠A＝∠A
，AB＝AC
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=CE．
刚才，我们只是发现并证明了等腰三角形中比较特殊的线段(角平分线、中线、高)相等，还有其他的结论吗?你能从上述证明的过程中得到什么启示?
把腰二等分的线段相等，把底角二等分的线段相等．如果是三等分、四等分……结果如何呢?
想一想,
做一做
议一议
1．在等腰三角形ABC中，
(1)如果∠ABD=
∠ABC，∠ACE=
∠ACB，那么BD=CE吗?如果∠ABD=
∠ABC，∠ACE=
∠ACB呢?由此，你能得到一个什么结论?
(2)如果AD=
AC，AE=
AB，那么BD=CE吗?如果AD=
AC，AE=
AB呢?由此你得到什么结论?
小结
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=
∠ABC，∠ACE=
∠ACB，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=
AC，
AE=
AB，那么BD=CE.
简述为：
（1）在△ABC中，如果AB=AC，∠ABD=∠ACE，那么BD=CE.
（2）在△ABC中，如果AB=AC，AD=AE，那么BD=CE.
1.
求证：等边三角形三个内角都相等并且每个内角都等于60°.
已知：如图，在△ABC中，AB=BC=AC。
求证：∠A=∠B=∠C=60°.
证明：在ΔABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角).
同理：∠C=∠A，
∴∠A=∠B=∠C（等量代换）.
又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）
∴∠A=∠B=∠C＝60°.
大胆尝试，练一练！
C
B
A
随堂练习
及时巩固
如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,
求证:AE=CD
A
B
C
D
E
证明:
∵
△ABC和△BDE都是等边三角形
∴AB=BC,∠ABC=∠DBE=60°,BE=BD
∴
△ABE≌△CBD
∴AE=CD
课时小结
1.等腰三角形中还有那些相等的线段？
2.等边三角形有哪些性质？
3.本节课你学到的探索问题的方法是什么？