2020-2021华东师大版数学九下课堂小练习：第27章《圆》综合题专练（五）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021华东师大版数学九下课堂小练习：第27章《圆》综合题专练（五）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 238.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-20 14:43:19 | ||
图片预览
文档简介
华东师大版数学九年级下册课堂小练习：
第27章《圆》综合题专练（五）
1．如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．
（1）求证：∠PAC＝∠B，且PA?BC＝AB?CD；
（2）若PA＝10，sinP＝，求PE的长．
2．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP＝∠BAN
（2）求证：＝．
3．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH?EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
4．已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，∠DAB＝30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．
（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；
（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为？（直接写出答案）
（3）当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．
5．如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2＝CG?CE．
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC＝∠ABC
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF＝∠P，求证：＝＝．
7．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
8．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若＝，且OC＝4，求PA的长和tanD的值．
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosA＝，AB＝8，AG＝2，求BE的长；
（3）若cosA＝，AB＝8，直接写出线段BE的取值范围．
10．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长．
参考答案
1．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PAO＝90°，∠C＝90°，
∴∠PAC+∠BAC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∴∠PAC＝∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP＝∠C＝90°，
∴△PAD∽△ABC，
∴AP：AB＝AD：BC，
∵在⊙O中，AD⊥OD，
∴AD＝CD，
∴AP：AB＝CD：BC，
∴PA?BC＝AB?CD；
（2）解：方法一：
∵sinP＝，且AP＝10，
∴＝，
∴AD＝6，
∴AC＝2AD＝12，
∵在Rt△ADP中，PD＝＝8，
又∵△PAD∽△ABC，
∴AP：AB＝PD：AC，
∴AB＝＝15，
∴A0＝OE＝，
在Rt△APO中，根据勾股定理得：OP＝＝，
∴PE＝OP﹣OE＝﹣＝5．
方法二：
由sinP＝＝，设OA为3x，PO为5x，
由勾股定理得PA为4x，
∵PA＝10，∴x＝2.5，
∴OA＝7.5，OP＝12.5，
又∵OE＝OA＝7.5，
∴PE＝OP﹣OE＝5．
2．（1）证明：∵AC为⊙O直径，
∴∠ANC＝90°，
∴∠NAC+∠ACN＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAN＝∠CAN，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠ACP＝90°，
∴∠ACN+∠PCB＝90°，
∴∠BCP＝∠CAN，
∴∠BCP＝∠BAN；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC＝∠AMN+∠ACN＝180°，
∴∠PBC＝∠AMN，
由（1）知∠BCP＝∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴．
3．（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2＝EH?EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB?sin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8，
∵，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH?EA，
∴EH＝＝，
在Rt△BEH中，BH＝＝＝．
4．解：（1）∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．
∵∠DAB＝30°，OB＝CD＝×2＝1，
∴AO＝2OB＝2，AC＝AO﹣CO＝2﹣1＝1．
当Q、C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如图1，
则有∠ACP＝90°，
∴cos∠CAP＝＝＝，
解得AP＝；
（2）有4个位置使△CQD的面积为．
提示：设点Q到CD的距离为h，
∵S△CQD＝CD?h＝×2×h＝，
∴h＝．
由于h＝＜1，结合图2可得：
有4个位置使△CQD的面积为；
（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3．
∵S△CQD＝CD?QN＝×2×QN＝，
∴QN＝．
∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，
∴∠CQD＝∠QND＝∠QNC＝90°，
∴∠CQN＝90°﹣∠NQD＝∠NDQ，
∴△QNC∽△DNQ，
∴＝，
∴QN2＝CN?DN，
设CN＝x，则有＝x（2﹣x），
整理得4x2﹣8x+1＝0，
解得：x1＝，x2＝．
∵CQ＞QD，∴x＝，
∴＝2+．
∵QN⊥CD，PM⊥CD，
∴∠PMC＝∠QNC＝90°．
∵∠MCP＝∠NCQ，
∴△PMC∽△QNC，
∴＝＝2+，
∴MC＝（2+）MP．
在Rt△AMP中，
tan∠MAP＝＝tan30°＝，
∴AM＝MP．
∵AC＝AM+MC＝MP+（2+）MP＝1，
∴MP＝，
∴AP＝2MP＝．
5．（1）解：由题意可得：BO＝4cm，t＝＝2（s）；
（2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC，
又∵∠A＝45°，
∴AO＝OH＝3cm，
∴AD＝AO﹣DO＝（3﹣3）cm；
（3）证明：如图3，连接EF，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵DE为直径，
∴∠ODF+∠DEF＝90°，
∠DEC＝∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠ODF＝∠OFD＝∠CFG，
又∵∠FCG＝∠ECF，
∴△CFG∽△CEF，
∴＝，
∴CF2＝CG?CE．
6．证明：（1）连接CM，
∵∠PAC＝∠ABC，∠M＝∠ABC，
∴∠PAC＝∠M，
∵AM是直径，
∴∠M+∠MAC＝90°，
∴∠PAC+∠MAC＝90°，
即：∠MAP＝90°，
∴MA⊥AP，
∴MA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接AE，
∵M为中点，AM为⊙O的直径，
∴AM⊥BC，
∵AM⊥AP，
∴AP∥BC，
∴△ADP∽△CDB，
∴＝，
∵AP∥BC，
∴∠P＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠CAE，
∴∠P＝∠DCF，
∴∠DCF＝∠CAE，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴＝，
∴＝＝．
7．解：（1）∵⊙M经过O、A、B三点，且∠AOB＝90°，
∴AB为直径∵点A为（，0），点B为（0，﹣），
∴OA＝，OB＝，
∴AB＝＝2，
∴⊙M的半径为：；
（2）∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠CBA，
∴∠CBO＝∠CBA，
即BD平分∠ABO；
（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，
∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝＝，
∴∠OAB＝30°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝60°，
∴∠ABC＝∠OBC＝∠ABO＝30°，
∴OC＝OB?tan30°＝×＝，
∴AC＝OA﹣OC＝，
∴∠ACE＝∠ABC+∠OAB＝60°，
∴∠EAC＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝，
∴AF＝AE＝，EF＝AE＝，
∴OF＝OA﹣AF＝，
∴点E的坐标为：（，）．
8．（1）证明：连接OB，则OA＝OB，
∵OP⊥AB，
∴AC＝BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO＝∠PAO，PB＝PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PAO＝90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵＝，且OC＝4，
∴AC＝6，
∴AB＝12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO＝＝2，
∴AE＝2OA＝4，OB＝OA＝2，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC2＝OC?PC，
解得：PC＝9，
∴OP＝PC+OC＝13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP＝＝3，
∴PB＝PA＝3，
∵AC＝BC，OA＝OE，
∴OC＝BE，OC∥BE，
∴BE＝2OC＝8，BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴，
即，
解得：BD＝，
在Rt△OBD中，
tan∠D＝＝＝．
（补充方法：可以证明△DBE∽△DAB，可得＝＝＝，由此解决问题，可以简单一些）
9．（1）证明：连接OD，如图，
∵△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵直线EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠B＝∠EDB，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接GD，
∵AG为直径，
∴∠ADG＝90°，
∵cosA＝，
∴∠A＝60°，
∴∠AGD＝30°，
∴AD＝AG＝，
∵AB＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣＝7，
∵直线EF垂直平分BD，
∴BF＝BD＝，
在Rt△BEF中，∠B＝30°，
∴EF＝BF＝，
∴BE＝2EF＝7；
（3）解：∵cosA＝，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB＝4，
由（2）得AD＝AG，
BF＝（AB﹣AD）＝4﹣AG，
在Rt△BEF中，∠B＝30°，
∴EF＝BF，
∴BE＝2EF＝BF＝（4﹣AG）＝8﹣AG，
∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜4，
∴6＜BE＜8．
10．（1）证明：如图，
连接OA，
∵OA＝OB，GA＝GE
∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE
∵EF⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠ABO+∠BEF＝90°，
又∵∠BEF＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE＝90°，
即AG与⊙O相切．
（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝10，
∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴＝＝
∴EF＝1.8，BF＝2.4，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣2.4＝2.6，
∴OE＝＝．
第27章《圆》综合题专练（五）
1．如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．
（1）求证：∠PAC＝∠B，且PA?BC＝AB?CD；
（2）若PA＝10，sinP＝，求PE的长．
2．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点M，交BC于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P．
（1）求证：∠BCP＝∠BAN
（2）求证：＝．
3．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2＝EH?EA；
（3）若⊙O的半径为5，sinA＝，求BH的长．
4．已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C、D两点，CD＝2，∠DAB＝30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q．
（1）当点P运动到使Q、C两点重合时（如图1），求AP的长；
（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使△CQD的面积为？（直接写出答案）
（3）当△CQD的面积为，且Q位于以CD为直径的上半圆，CQ＞QD时（如图2），求AP的长．
5．如图1，水平放置一个直角三角板和一个量角器，三角板的边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB＝BC＝6cm，OD＝3cm，开始的时候BD＝1cm，现在三角板以2cm/s的速度向右移动．
（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；
（2）如图2，当AC与半圆相切时，求AD；
（3）如图3，当AB和DE重合时，求证：CF2＝CG?CE．
6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，P是⊙O外的一点，AM是⊙O的直径，∠PAC＝∠ABC
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）连接PB与AC交于点D，与⊙O交于点E，F为BD上的一点，若M为的中点，且∠DCF＝∠P，求证：＝＝．
7．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣），点D在劣弧上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
8．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若＝，且OC＝4，求PA的长和tanD的值．
9．如图，△ABC中，∠C＝90°，点G是线段AC上的一动点（点G不与A、C重合），以AG为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若cosA＝，AB＝8，AG＝2，求BE的长；
（3）若cosA＝，AB＝8，直接写出线段BE的取值范围．
10．如图，已知，⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA＝GE．
（1）求证：AG与⊙O相切．
（2）若AC＝6，AB＝8，BE＝3，求线段OE的长．
参考答案
1．（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PAO＝90°，∠C＝90°，
∴∠PAC+∠BAC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，
∴∠PAC＝∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP＝∠C＝90°，
∴△PAD∽△ABC，
∴AP：AB＝AD：BC，
∵在⊙O中，AD⊥OD，
∴AD＝CD，
∴AP：AB＝CD：BC，
∴PA?BC＝AB?CD；
（2）解：方法一：
∵sinP＝，且AP＝10，
∴＝，
∴AD＝6，
∴AC＝2AD＝12，
∵在Rt△ADP中，PD＝＝8，
又∵△PAD∽△ABC，
∴AP：AB＝PD：AC，
∴AB＝＝15，
∴A0＝OE＝，
在Rt△APO中，根据勾股定理得：OP＝＝，
∴PE＝OP﹣OE＝﹣＝5．
方法二：
由sinP＝＝，设OA为3x，PO为5x，
由勾股定理得PA为4x，
∵PA＝10，∴x＝2.5，
∴OA＝7.5，OP＝12.5，
又∵OE＝OA＝7.5，
∴PE＝OP﹣OE＝5．
2．（1）证明：∵AC为⊙O直径，
∴∠ANC＝90°，
∴∠NAC+∠ACN＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠BAN＝∠CAN，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠ACP＝90°，
∴∠ACN+∠PCB＝90°，
∴∠BCP＝∠CAN，
∴∠BCP＝∠BAN；
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠PBC+∠ABC＝∠AMN+∠ACN＝180°，
∴∠PBC＝∠AMN，
由（1）知∠BCP＝∠BAN，
∴△BPC∽△MNA，
∴．
3．（1）证明：∵∠ODB＝∠AEC，∠AEC＝∠ABC，
∴∠ODB＝∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD＝90°，
∴∠ODB+∠DBF＝90°，
∴∠ABC+∠DBF＝90°，
即∠OBD＝90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线；
（2）证明：连接AC，如图1所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE＝∠ECB，
∵∠CEA＝∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2＝EH?EA；
（3）解：连接BE，如图2所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵⊙O的半径为5，sin∠BAE＝，
∴AB＝10，BE＝AB?sin∠BAE＝10×＝6，
∴EA＝＝＝8，
∵，
∴BE＝CE＝6，
∵CE2＝EH?EA，
∴EH＝＝，
在Rt△BEH中，BH＝＝＝．
4．解：（1）∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO＝90°．
∵∠DAB＝30°，OB＝CD＝×2＝1，
∴AO＝2OB＝2，AC＝AO﹣CO＝2﹣1＝1．
当Q、C两点重合时，CP与⊙O相切于点C，如图1，
则有∠ACP＝90°，
∴cos∠CAP＝＝＝，
解得AP＝；
（2）有4个位置使△CQD的面积为．
提示：设点Q到CD的距离为h，
∵S△CQD＝CD?h＝×2×h＝，
∴h＝．
由于h＝＜1，结合图2可得：
有4个位置使△CQD的面积为；
（3）过点Q作QN⊥CD于N，过点P作PM⊥CD于M，如图3．
∵S△CQD＝CD?QN＝×2×QN＝，
∴QN＝．
∵CD是⊙O的直径，QN⊥CD，
∴∠CQD＝∠QND＝∠QNC＝90°，
∴∠CQN＝90°﹣∠NQD＝∠NDQ，
∴△QNC∽△DNQ，
∴＝，
∴QN2＝CN?DN，
设CN＝x，则有＝x（2﹣x），
整理得4x2﹣8x+1＝0，
解得：x1＝，x2＝．
∵CQ＞QD，∴x＝，
∴＝2+．
∵QN⊥CD，PM⊥CD，
∴∠PMC＝∠QNC＝90°．
∵∠MCP＝∠NCQ，
∴△PMC∽△QNC，
∴＝＝2+，
∴MC＝（2+）MP．
在Rt△AMP中，
tan∠MAP＝＝tan30°＝，
∴AM＝MP．
∵AC＝AM+MC＝MP+（2+）MP＝1，
∴MP＝，
∴AP＝2MP＝．
5．（1）解：由题意可得：BO＝4cm，t＝＝2（s）；
（2）解：如图2，连接O与切点H，则OH⊥AC，
又∵∠A＝45°，
∴AO＝OH＝3cm，
∴AD＝AO﹣DO＝（3﹣3）cm；
（3）证明：如图3，连接EF，
∵OD＝OF，
∴∠ODF＝∠OFD，
∵DE为直径，
∴∠ODF+∠DEF＝90°，
∠DEC＝∠DEF+∠CEF＝90°，
∴∠CEF＝∠ODF＝∠OFD＝∠CFG，
又∵∠FCG＝∠ECF，
∴△CFG∽△CEF，
∴＝，
∴CF2＝CG?CE．
6．证明：（1）连接CM，
∵∠PAC＝∠ABC，∠M＝∠ABC，
∴∠PAC＝∠M，
∵AM是直径，
∴∠M+∠MAC＝90°，
∴∠PAC+∠MAC＝90°，
即：∠MAP＝90°，
∴MA⊥AP，
∴MA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接AE，
∵M为中点，AM为⊙O的直径，
∴AM⊥BC，
∵AM⊥AP，
∴AP∥BC，
∴△ADP∽△CDB，
∴＝，
∵AP∥BC，
∴∠P＝∠CBD，
∵∠CBD＝∠CAE，
∴∠P＝∠DCF，
∴∠DCF＝∠CAE，
∵∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE∽△CDF，
∴＝，
∴＝＝．
7．解：（1）∵⊙M经过O、A、B三点，且∠AOB＝90°，
∴AB为直径∵点A为（，0），点B为（0，﹣），
∴OA＝，OB＝，
∴AB＝＝2，
∴⊙M的半径为：；
（2）∵∠COD＝∠CBO，∠COD＝∠CBA，
∴∠CBO＝∠CBA，
即BD平分∠ABO；
（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点F，即AE是切线，
∵在Rt△AOB中，tan∠OAB＝＝＝，
∴∠OAB＝30°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝60°，
∴∠ABC＝∠OBC＝∠ABO＝30°，
∴OC＝OB?tan30°＝×＝，
∴AC＝OA﹣OC＝，
∴∠ACE＝∠ABC+∠OAB＝60°，
∴∠EAC＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE＝AC＝，
∴AF＝AE＝，EF＝AE＝，
∴OF＝OA﹣AF＝，
∴点E的坐标为：（，）．
8．（1）证明：连接OB，则OA＝OB，
∵OP⊥AB，
∴AC＝BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA＝PB，
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO＝∠PAO，PB＝PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO＝90°，
∴∠PAO＝90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵＝，且OC＝4，
∴AC＝6，
∴AB＝12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO＝＝2，
∴AE＝2OA＝4，OB＝OA＝2，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC2＝OC?PC，
解得：PC＝9，
∴OP＝PC+OC＝13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP＝＝3，
∴PB＝PA＝3，
∵AC＝BC，OA＝OE，
∴OC＝BE，OC∥BE，
∴BE＝2OC＝8，BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴，
即，
解得：BD＝，
在Rt△OBD中，
tan∠D＝＝＝．
（补充方法：可以证明△DBE∽△DAB，可得＝＝＝，由此解决问题，可以简单一些）
9．（1）证明：连接OD，如图，
∵△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵直线EF垂直平分BD，
∴ED＝EB，
∴∠B＝∠EDB，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠ODA+∠EDB＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接GD，
∵AG为直径，
∴∠ADG＝90°，
∵cosA＝，
∴∠A＝60°，
∴∠AGD＝30°，
∴AD＝AG＝，
∵AB＝8，
∴BD＝AB﹣AD＝8﹣＝7，
∵直线EF垂直平分BD，
∴BF＝BD＝，
在Rt△BEF中，∠B＝30°，
∴EF＝BF＝，
∴BE＝2EF＝7；
（3）解：∵cosA＝，
∴∠A＝60°，
∴∠B＝30°，
∴AC＝AB＝4，
由（2）得AD＝AG，
BF＝（AB﹣AD）＝4﹣AG，
在Rt△BEF中，∠B＝30°，
∴EF＝BF，
∴BE＝2EF＝BF＝（4﹣AG）＝8﹣AG，
∵0＜AG＜AC，即0＜AG＜4，
∴6＜BE＜8．
10．（1）证明：如图，
连接OA，
∵OA＝OB，GA＝GE
∴∠ABO＝∠BAO，∠GEA＝∠GAE
∵EF⊥BC，
∴∠BFE＝90°，
∴∠ABO+∠BEF＝90°，
又∵∠BEF＝∠GEA，
∴∠GAE＝∠BEF，
∴∠BAO+∠GAE＝90°，
即AG与⊙O相切．
（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC＝90°，AC＝6，AB＝8，
∴BC＝10，
∵∠EBF＝∠CBA，∠BFE＝∠BAC，
∴△BEF∽△BCA，
∴＝＝
∴EF＝1.8，BF＝2.4，
∴OF＝OB﹣BF＝5﹣2.4＝2.6，
∴OE＝＝．