2020-2021学年九年级数学华东师大版下册课堂小练习第27章圆综合题专练（四）（word版含答案）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年九年级数学华东师大版下册课堂小练习第27章圆综合题专练（四）（word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 203.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-20 16:01:41 | ||
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文档简介
华东师大版数学九年级下册课堂小练习：
第27章《圆》综合题专练（四）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF＝BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝1，求HG?HB的值．
2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、H的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD＝∠CED．
（1）求证：GC是⊙O的切线；
（2）求DE的长；
（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED＝30°，求CF的长．
3．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
（1）AC?PD＝AP?BC；
（2）PE＝PD．
4．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC＝CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD＝，求AD的长．
5．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE＝CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
6．如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长．
7．已知在△ABC中，∠B＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC?AD＝AB?AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．
8．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．
（1）如图1，EB＝AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF＝30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
9．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD＝FI；
②设AC＝2m，BD＝2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．
10．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
参考答案
1．（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠C+∠A＝∠A+∠AFD＝90°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ABC与△EBF中，，
∴△ABC≌△EBF；
（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB
证明如下：∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠C＝∠BFE，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF＝90°，∴∠DBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（3）解：如图2，连接CF，HE，
∵∠CBF＝90°，BC＝BF，
∴CF＝BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，
∴BF＝，
∵△ABC≌△EBF，
∴BE＝AB＝1，
∴EF＝＝，
∵BH平分∠CBF，
∴，
∴EH＝FH，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴HF＝EF＝，
∵∠EFH＝∠HBF＝45°，∠BHF＝∠BHF，
∴△BHF∽△FHG，
∴，
∴HG?HB＝HF2＝2+．
2．（1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示：
∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，
∴∠DOE＝∠OEC＝∠ODC＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴∠DCE＝90°，DE＝OC，MC＝MD，
∴∠CED+∠MDC＝90°，∠MDC＝∠MCD，
∵∠GCD＝∠CED，
∴∠GCD+∠MCD＝90°，
即GC⊥OC，
∴GC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：DE＝OC＝AB＝3；
（3）解：∵∠DCE＝90°，∠CED＝30°，
∴CE＝DE?cos∠CED＝3×＝，
∴CF＝CE＝．
3．解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴＝…①，
又∵AD∥OC，
∴∠DAE＝∠COB，
∴△AED∽△OBC，
∴＝＝＝…②，
由①②，可得ED＝2EP，
∴PE＝PD．
（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴，
∵PE＝PD，
∴，
∴AC?PD＝AP?BC．
4．（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC＝CG，
∴，
∴∠ABC＝∠CBG，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴，
∴，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OB，
∴OC＝OE，
∵∠ECO＝90°，
∴∠E＝30°；
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E＝30°
∴∠EBD＝60°，
∴∠CBD＝EBD＝30°，
∵CD＝，
∴BD＝3，DE＝3，BE＝6，
∴AE＝BE＝2，
∴AH＝1，
∴EH＝，
∴DH＝2，
在Rt△DAH中，AD＝＝＝．
5．（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB＝AC，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中，
，
∴△BED≌△CEF（ASA），
∴CF＝BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，
∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，
∴△AEC∽△CED，
∴＝，
∴CE2＝DE?AE，
设DE＝x，
∵BC＝8，AD＝10，
∴42＝x（10﹣x），
解得：x＝2或x＝8（舍去）
在Rt△CED中，
CD＝＝＝2．
6．（1）证明：连接OE，
∵CD与圆O相切，
∴OE⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∵BE∥OC，
∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOC＝∠COE，
在△AOC和△EOC中，
，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO＝∠CEO＝90°，
则AC与圆O相切；
（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，
∴BE＝OD＝OB＝4，
∵OB＝OE，
∴△BOE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝BE?tan60°＝4．
7．（1）证明：连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴AC?AD＝AB?AE；
（2）解：连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
在RT△OBD中，OE＝BE＝OD，
∴OB＝2OD，
∴∠OBD＝30°，
同理∠BAC＝30°，
在RT△ABC中，AC＝2BC＝2×2＝4．
8．（1）证明：∵对角线AC平分∠DCB，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴＝，
∴AD＝AB，
∵EB＝AD，
∴AB＝EB，
∵∠EBA＝∠ADC＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形
（2）解：直线EF与⊙O相离．理由如下：
∵∠DCB＜90°，∠ACD＝∠ACB，
∵∠ACE≥30°，
∴60°≤∠DCE＜90°，
∴∠AEC≤30°，
∴AE≥AC，
∵OE＞AE，
∴OE＞AC，
作OH⊥EF于H，如图，
在Rt△OEH中，∵∠OEF＝30°，
∴OH＝OE，
∴OH＞OA，
∴直线EF与⊙O相离．
9．解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE＝90°；
（2）四边形FACD是平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°．
又∵∠FDE＝90°，
∴∠AEB＝∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形FACD是平行四边形；
（3）①连接GE，如图．
∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．
∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，
∴∠FHI＝∠FGE．
∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE＝90°，
∴∠FHI＝90°．
∵∠DEC＝∠AEB＝90°，G为线段DC的中点，
∴DG＝GE，
∴＝，
∴∠1＝∠2．
∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴FD＝FI；
②∵AC∥DF，∴∠3＝∠6．
∵∠4＝∠5，∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，∴EI＝EA．
∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，
∴DE＝BD＝n，AE＝AC＝m，FD＝AC＝2m，
∴EF＝FI+IE＝FD+AE＝3m．
在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：
n2+（2m）2＝（3m）2，
即n＝m，
∴S⊙O＝π（）2＝πm2，S菱形ABCD＝?2m?2n＝2mn＝2m2，
∴S⊙O：S菱形ABCD＝．
10．（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠OAC＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠PCA＝∠ABC；
（2）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ACF＝∠ABC，
∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠ACF＝∠CAF，
∴CF＝AF，
∵CF＝5，
∴AF＝5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD＝∠P，
∵sin∠P＝，
∴sin∠FAD＝，
在Rt△AFD中，AF＝5，sin∠FAD＝，
∴FD＝3，AD＝4，∴CD＝8，
在Rt△OCD中，设OC＝r，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
∴r＝10，
∴AB＝2r＝20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，
∵sin∠EAD＝，∴，
∵AB＝20，
∴BE＝12．
第27章《圆》综合题专练（四）
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，F，且BF＝BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．
（1）求证：△ABC≌△EBF；
（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若AB＝1，求HG?HB的值．
2．如图，AB是⊙O的直径，AB＝6，过点O作OH⊥AB交圆于点H，点C是弧AH上异于A、H的动点，过点C作CD⊥OA，CE⊥OH，垂足分别为D、E，过点C的直线交OA的延长线于点G，且∠GCD＝∠CED．
（1）求证：GC是⊙O的切线；
（2）求DE的长；
（3）过点C作CF⊥DE于点F，若∠CED＝30°，求CF的长．
3．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
（1）AC?PD＝AP?BC；
（2）PE＝PD．
4．如图，AB是⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，且AC＝CG，过点C的直线CD⊥BG于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若，求∠E的度数．
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD＝，求AD的长．
5．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD．
（1）求证：BE＝CE；
（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；
（3）若BC＝8，AD＝10，求CD的长．
6．如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D，连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝OB＝4，求弦AE的长．
7．已知在△ABC中，∠B＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：AC?AD＝AB?AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．
8．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．
（1）如图1，EB＝AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；
（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF＝30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．
9．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点E，F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作⊙O，交DC于D，G两点，AD分别于EF，GF交于I，H两点．
（1）求∠FDE的度数；
（2）试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；
（3）当G为线段DC的中点时，
①求证：FD＝FI；
②设AC＝2m，BD＝2n，求⊙O的面积与菱形ABCD的面积之比．
10．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．
（1）求证：∠PCA＝∠ABC；
（2）过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE．若sin∠P＝，CF＝5，求BE的长．
参考答案
1．（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠EBF＝90°，
∵DF⊥AC，
∴∠ADF＝90°，
∴∠C+∠A＝∠A+∠AFD＝90°，
∴∠C＝∠BFE，
在△ABC与△EBF中，，
∴△ABC≌△EBF；
（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB
证明如下：∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠OFB，
∵∠ABC＝90°，AD＝CD，
∴BD＝CD，
∴∠C＝∠DBC，
∵∠C＝∠BFE，
∴∠DBC＝∠OBF，
∵∠CBO+∠OBF＝90°，∴∠DBC+∠CBO＝90°，
∴∠DBO＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（3）解：如图2，连接CF，HE，
∵∠CBF＝90°，BC＝BF，
∴CF＝BF，
∵DF垂直平分AC，
∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，
∴BF＝，
∵△ABC≌△EBF，
∴BE＝AB＝1，
∴EF＝＝，
∵BH平分∠CBF，
∴，
∴EH＝FH，
∴△EHF是等腰直角三角形，
∴HF＝EF＝，
∵∠EFH＝∠HBF＝45°，∠BHF＝∠BHF，
∴△BHF∽△FHG，
∴，
∴HG?HB＝HF2＝2+．
2．（1）证明：连接OC，交DE于M，如图所示：
∵OH⊥AB，CD⊥OA，CE⊥OH，
∴∠DOE＝∠OEC＝∠ODC＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴∠DCE＝90°，DE＝OC，MC＝MD，
∴∠CED+∠MDC＝90°，∠MDC＝∠MCD，
∵∠GCD＝∠CED，
∴∠GCD+∠MCD＝90°，
即GC⊥OC，
∴GC是⊙O的切线；
（2）解：由（1）得：DE＝OC＝AB＝3；
（3）解：∵∠DCE＝90°，∠CED＝30°，
∴CE＝DE?cos∠CED＝3×＝，
∴CF＝CE＝．
3．解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴＝…①，
又∵AD∥OC，
∴∠DAE＝∠COB，
∴△AED∽△OBC，
∴＝＝＝…②，
由①②，可得ED＝2EP，
∴PE＝PD．
（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，
∴AB⊥BC，
∵DE⊥AB，
∴DE∥BC，
∴△AEP∽△ABC，
∴，
∵PE＝PD，
∴，
∴AC?PD＝AP?BC．
4．（1）证明：如图1，连接OC，AC，CG，
∵AC＝CG，
∴，
∴∠ABC＝∠CBG，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBG，
∴OC∥BG，
∵CD⊥BG，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：∵OC∥BD，
∴△OCF∽△BDF，△EOC∽△EBD，
∴，
∴，
∵OA＝OB，
∴AE＝OA＝OB，
∴OC＝OE，
∵∠ECO＝90°，
∴∠E＝30°；
（3）解：如图2，过A作AH⊥DE于H，
∵∠E＝30°
∴∠EBD＝60°，
∴∠CBD＝EBD＝30°，
∵CD＝，
∴BD＝3，DE＝3，BE＝6，
∴AE＝BE＝2，
∴AH＝1，
∴EH＝，
∴DH＝2，
在Rt△DAH中，AD＝＝＝．
5．（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝∠ACD＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE；
（2）四边形BFCD是菱形．
证明：∵AD是直径，AB＝AC，
∴AD⊥BC，BE＝CE，
∵CF∥BD，
∴∠FCE＝∠DBE，
在△BED和△CEF中，
，
∴△BED≌△CEF（ASA），
∴CF＝BD，
∴四边形BFCD是平行四边形，
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD＝CD，
∴四边形BFCD是菱形；
（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，
∵∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，
∴△AEC∽△CED，
∴＝，
∴CE2＝DE?AE，
设DE＝x，
∵BC＝8，AD＝10，
∴42＝x（10﹣x），
解得：x＝2或x＝8（舍去）
在Rt△CED中，
CD＝＝＝2．
6．（1）证明：连接OE，
∵CD与圆O相切，
∴OE⊥CD，
∴∠CEO＝90°，
∵BE∥OC，
∴∠AOC＝∠OBE，∠COE＝∠OEB，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠AOC＝∠COE，
在△AOC和△EOC中，
，
∴△AOC≌△EOC（SAS），
∴∠CAO＝∠CEO＝90°，
则AC与圆O相切；
（2）在Rt△DEO中，BD＝OB，
∴BE＝OD＝OB＝4，
∵OB＝OE，
∴△BOE为等边三角形，
∴∠ABE＝60°，
∵AB为圆O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE＝BE?tan60°＝4．
7．（1）证明：连接DE，
∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴AC?AD＝AB?AE；
（2）解：连接OD，
∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD，
在RT△OBD中，OE＝BE＝OD，
∴OB＝2OD，
∴∠OBD＝30°，
同理∠BAC＝30°，
在RT△ABC中，AC＝2BC＝2×2＝4．
8．（1）证明：∵对角线AC平分∠DCB，
∴∠ACD＝∠ACB，
∴＝，
∴AD＝AB，
∵EB＝AD，
∴AB＝EB，
∵∠EBA＝∠ADC＝90°，
∴△ABE是等腰直角三角形
（2）解：直线EF与⊙O相离．理由如下：
∵∠DCB＜90°，∠ACD＝∠ACB，
∵∠ACE≥30°，
∴60°≤∠DCE＜90°，
∴∠AEC≤30°，
∴AE≥AC，
∵OE＞AE，
∴OE＞AC，
作OH⊥EF于H，如图，
在Rt△OEH中，∵∠OEF＝30°，
∴OH＝OE，
∴OH＞OA，
∴直线EF与⊙O相离．
9．解：（1）∵EF是⊙O的直径，∴∠FDE＝90°；
（2）四边形FACD是平行四边形．
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°．
又∵∠FDE＝90°，
∴∠AEB＝∠FDE，
∴AC∥DF，
∴四边形FACD是平行四边形；
（3）①连接GE，如图．
∵四边形ABCD是菱形，∴点E为AC中点．
∵G为线段DC的中点，∴GE∥DA，
∴∠FHI＝∠FGE．
∵EF是⊙O的直径，∴∠FGE＝90°，
∴∠FHI＝90°．
∵∠DEC＝∠AEB＝90°，G为线段DC的中点，
∴DG＝GE，
∴＝，
∴∠1＝∠2．
∵∠1+∠3＝90°，∠2+∠4＝90°，
∴∠3＝∠4，
∴FD＝FI；
②∵AC∥DF，∴∠3＝∠6．
∵∠4＝∠5，∠3＝∠4，
∴∠5＝∠6，∴EI＝EA．
∵四边形ABCD是菱形，四边形FACD是平行四边形，
∴DE＝BD＝n，AE＝AC＝m，FD＝AC＝2m，
∴EF＝FI+IE＝FD+AE＝3m．
在Rt△EDF中，根据勾股定理可得：
n2+（2m）2＝（3m）2，
即n＝m，
∴S⊙O＝π（）2＝πm2，S菱形ABCD＝?2m?2n＝2mn＝2m2，
∴S⊙O：S菱形ABCD＝．
10．（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠OAC＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠PCA＝∠ABC；
（2）解：∵AE∥PC，
∴∠PCA＝∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴，
∴∠ACF＝∠ABC，
∵∠PCA＝∠ABC，
∴∠ACF＝∠CAF，
∴CF＝AF，
∵CF＝5，
∴AF＝5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD＝∠P，
∵sin∠P＝，
∴sin∠FAD＝，
在Rt△AFD中，AF＝5，sin∠FAD＝，
∴FD＝3，AD＝4，∴CD＝8，
在Rt△OCD中，设OC＝r，
∴r2＝（r﹣4）2+82，
∴r＝10，
∴AB＝2r＝20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，在Rt△ABE中，
∵sin∠EAD＝，∴，
∵AB＝20，
∴BE＝12．