2021中考数学复习《二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练十二：与最值、定值相关的压轴题（附答案）

2021中考数学复习《探索二次函数综合型压轴题解题技巧》分类训练十二：
与最值、定值相关的压轴题（附答案）
方法提炼：
1、已知一条直线上一动点M和直线同侧两个固定点A、O，求AM+OM最小值的问题，我们只需做出点O关于这条直线的对称点B，将点A与B连接起来交直线与点M，那么AB就是AM+OM的最小值。同理，我们也可以做出点A关于这条直线的对称点A’，将点O与A’连接起来交直线与点M，那么OA’就是AM+OM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。?
2、?初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边之间的关系，“两边之和大于第三边”求第三边的最小值；“两边之差小于第三边”，求第三边的最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。
典例引领：
8．已知抛物线C：y＝ax2﹣2ax+c经过点C（1，2），与x轴交于A（﹣1，0）、B两点
（1）求抛物线C的解析式；
（2）如图1，直线y＝x交抛物线C于S、T两点，M为抛物线C上A、T之间的动点，过M点作ME⊥x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME+MF的最大值；
（3）如图2，平移抛物线C的顶点到原点得抛物线C1，直线l：y＝kx﹣2k﹣4交抛物线C1于P、Q两点，在抛物线C1上存在一个定点D，使∠PDQ＝90°，求点D的坐标．
分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出ME，MF与t的关系，最后建立ME+MF与t的函数关系式，即可得出结论；
（3）先求出x2+2kx﹣4k﹣8＝0，进而得出x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8，而DE'?DF'＝PE'?QF'，得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（b﹣y1）（b﹣y2），借助b＝，y1＝，y2＝，即可得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）
（
x1﹣a）（x2﹣a），即可得出结论．
解：（1）∵抛物线C：y＝ax2﹣2ax+c经过点C（1，2），与x轴交于A（﹣1，0）、B两点
∴，
∴
；
（2）如图1，设直线OT交ME于G，
设M（t，），则ME＝，G（t，t），
OG＝t，MG＝，
sin∠OGE＝sin∠MGF＝，MF＝MG＝，
ME+MF＝，
a＜0，当t＝时，ME+MF的最大值为；
（3）如图2，过D作E'F'∥x轴，作PE'⊥E'F'于E'，QF'⊥E'F'于F'，
设D（a，b），P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，得x2+2kx﹣4k﹣8＝0
∴x1+x2＝﹣2k，x1x2＝﹣4k﹣8，
由△PE'D∽△DF'Q得，，
∴DE'?DF'＝PE'?QF'，
∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（b﹣y1）（b﹣y2），
∵b＝，y1＝，y2＝
∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（）（）
∴（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）
（
x1﹣a）（x2﹣a），
∴﹣4＝（a+x1）（a+x2），
∴x1x2+a（x1+x2）+a2＝﹣4，
∴﹣4k﹣8+a（﹣2k）+a2＝﹣4
∴a2﹣4﹣2ak﹣4k＝0，
∴（a+2）（a﹣2）﹣2k（a+2）＝0，
∵k为任意实数，
∴a+2＝0，
∴a＝﹣2，
∴b＝﹣2，
∴D（﹣2，﹣2）．
点评：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，根与系数的关系，相似三角形的判定和性质，得出（a﹣x1）（x2﹣a）＝（a+x1）（a+x2）
（
x1﹣a）（x2﹣a）是解本题的关键．
跟踪训练：
1．如图，抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，与y轴交于C，M为此抛物线的顶点．
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．
①直接写出点P所经过的路线长为　
　；
②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E，作DF⊥AB于点F，连接PE、PF、EF，在旋转过程中，求EF的最小值；
（3）将抛物线C1平移得到抛物线C2，已知抛物线C2的顶点为N，与直线AC交于E、F两点，若EF＝AC，求直线MN的解析式．
2．如图1，抛物线的顶点为点A，与x轴的负半轴交于点D，直线AB交抛物线W于另一点C，点B的坐标为（1，0）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求tan∠BDC的值；
（3）将抛物线W向下平移m（m＞0）个单位得到抛物线W1，如图2，记抛物线W1的顶点为A1，与x轴负半轴的交点为D1，与射线BC的交点为C1．问：在平移的过程中，tan∠D1C1B是否恒为定值？若是，请求出tan∠D1C1B的值；若不是，请说明理由．
3．如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），与x轴交于点B（6，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求这条抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当点P从A点出发沿线段AB上方的抛物线向终点B移动时，点P到直线AB的距离为d，求d最大时点P的坐标．
4．如图1．已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A（2，）直线y＝kx+1与y轴交于点F，与跑抛物线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；
（3）①如图2，点P是抛物线L上的一个动点，过点P作PM⊥l于点M，试判断PM与PF之间的数量关系，并说明理由；
②将抛物线L和点F都向右平移2个单位后，得到抛物线L1和点F1，Q是抛物线L1上的一动点，且点Q在L1的对称轴的右侧，过点Q作QN⊥l于点N，连接QA．求|QA﹣QN|的最大值，并直接写出此时点Q的坐标．
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＜0）交轴于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点D的纵坐标为4
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M在抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的图象上，点N在x轴上，当以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标；
（3）过点D作直线DE∥y轴，交x轴于点E，点P是抛物线上B，D两点间的一个动点（点P不与B，D两点重合），PA、PB与直线DE分别交于点F，G，当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
6．【定义】函数图象上的任意一点P（x，y），y﹣x称为该点的“坐标差”，函数图象上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”
【感悟】根据你的阅读理解回答问题：
（1）点P（2，1）的“坐标差”为　
　；（直接写出答案）
（2）求一次函数y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”；
【应用】（3）二次函数y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交x轴于点A，交y轴于点B，点A与点B的“坐标差”相等，若此二次函数的“特征值”为﹣1，当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，求m．
7．若一次函数y＝kx+m的图象经过二次函数y＝ax2+bx+c的顶点，我们则称这两个函数为“丘比特函数组”
（1）请判断一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5是否为“丘比特函数组”，并说明理由．
（2）若一次函数y＝x+2和二次函数y＝ax2+bx+c为“丘比特函数组”，已知二次函数y＝ax2+bx+c顶点在二次函数y＝2x2﹣3x﹣4图象上并且二次函数y＝ax2+bx+c经过一次函数y＝x+2与y轴的交点，求二次函数y＝ax2+bx+c的解析式；
（3）当﹣3≤x≤﹣1时，二次函数y＝x2﹣2x﹣4的最小值为a，若“丘比特函数组”中的一次函数y＝2x+3和二次函数y＝ax2+bx+c（b、c为参数）相交于PQ两点请问PQ的长度为定值吗？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（﹣1，0），且OB＝OC＝3OA，动点P在过A、B、C三点的抛物线上
（1）求抛物线的解析式
（2）如图1，抛物线上是否存在点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由
（3）如图2，过动点P作PE⊥y轴于点E，交直线BC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连结EF，当点P在什么位置时，线段EF最短，求出EF长的最小值．
9．如图，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝x+3经过A，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N是x轴上的动点，过点N作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线AC于点H．
①点D在线段OC上，连接AD、BD，当AH＝BD时，求AD+AH的最小值；
②当OC＝3OD时将直线AD绕点A旋转45°，使直线AD与y轴交于点P，请直接写出点P的坐标．
10．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，与x轴交于另一点A，对称轴x＝﹣2交x轴于点C，直线l过点N（0，﹣2），且与x轴平行，过点P作PM⊥l于点M，△AOB的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当∠MPN＝∠BAC时，求P点坐标；
（3）①求证PM＝PC；
②若点Q坐标为（0，2），直接写出PQ+PC的最小值．
12．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，且抛物线经过点D（2，3）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向下平移，使得新抛物线的顶点G在x轴上．原抛物线上一点M平移后的对应点为点N，如果△AMN是以MN为底边的等腰三角形，求点N的坐标；
（3）若点P为抛物线上第一象限内的动点，过点B作BE⊥OP，垂足为E，点Q为y轴上的一个动点，连接QE、QD，试求QE+QD的最小值．
参考答案
1．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣4，0）、B（2，0）两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4；
（2）①在Rt△BOC中，
BC＝＝＝2．
∵点D是线段BC一点，P是线段AD的中点，
∴点P运动的路径是△ABC的中位线P1P2，如图1，
则P1P2＝BC＝．
故答案为：；
②如图2，
∵DE⊥AC，DF⊥AB，P是线段AD的中点，
∴PE＝PA＝PD＝PF，
∴点A、E、D、F在以点P为圆心，AD为半径的圆上，
∴∠EPF＝2∠EAF．
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°，
∴∠EPF＝90°，
∴EF＝＝PE＝AD．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当AD⊥BC时，AD最小，此时EF最小，
此时，S△ABC＝BC?AD＝×2?AD＝12，
解得：AD＝，
此时EF＝，
则EF的最小值为；
（3）如图3，
设直线AC的解析式为y＝mx+n，
则有
，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+4．
由EF＝AC可得MN∥AC．
可设直线MN的解析式为y＝x+t．
∵点M是抛物线y＝﹣x2﹣x+4的顶点，
∴点M的坐标为（﹣1，），
把M（﹣1，）代入y＝x+t，得
﹣1+t＝，
解得t＝，
∴直线MN的解析式为y＝x+．
2．解：（1）在中，当x＝0时，有y＝﹣2，∴A（0，﹣2），
∵点B的坐标为（1，0），可设直线AB的解析式为y＝kx+b，
则，解得，
∴直线AB的解析式为y＝2x﹣2；
（2）在中，当y＝0时，有，
解得：x1＝﹣2，x2＝2，
∵抛物线与x轴的负半轴交于点D，∴D（﹣2，0），
∵点C是直线AB与抛物线W的交点，
∴联立方程组，解得，，由此可知，C（4，6），
过点C作CE⊥x轴于点E，∴CE＝6，OE＝4，
∴DE＝DO+OE＝6，∴△CDE为等腰直角三角形，
∴∠CDE＝45°，∴tan∠CDE＝1，
∴tan∠BDC＝1；
（3）tan∠D1C1B恒为定值，理由如下：
由题意，抛物线W1的解析式为，
设点D1的坐标为（t，0），其中t＜0，∴，∴，
∴，
∵点C1是直线BC与抛物线W1的交点，
∴，解得，，
∵点C1是直线BC与抛物线W1的交点，且t＜0，
∴点C1的坐标为（2﹣t，2﹣2t），
过C1作C1E1⊥x轴于点E1，
∴C1E1＝2﹣2t，OE1＝2﹣t，
∴D1E1＝D1O+OE1＝2﹣t+（﹣t）＝2﹣2t，
∴C1E1＝D1E1，∴Rt△C1D1E1为等腰直角三角形，∴∠C1D1E1＝45°，
由（2）知∠BDC＝45°．
∴∠C1D1E1＝∠BDC，∴D1C1∥DC，∴∠D1C1B＝∠DCB，∴tan∠D1C1B＝tan∠DCB，
∴tan∠D1C1B恒为定值．
如图2，过B作BF⊥DC于点F，
∵∠BDC＝45°，∴Rt△BDF为等腰直角三角形，
∵BD＝OD+OB＝3，DF＝BF＝，
由（1）知，DC＝6，
FC＝DC﹣DF＝，
∴在Rt△BFC中，有tanFCB＝＝，
∴tan∠D1C1B＝．
3．解：（1）物线y＝ax2+2x+c与y轴交于点A（0，6），则c＝6，
将点B（6，0）代入函数表达式得：0＝36a+12+6，
解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+6，
∴函数的对称轴为：x＝2，顶点坐标为（2，8）；
（2）设点M（m，n），n＝﹣m2+2m+6，点N（s，0），
①当AB是平行四边形的一条边时，
点A向右、向下均平移6个单位得到B，
同理点N右、向下均平移6个单位得到M，
故：s+6＝m，0﹣6＝n，
解得：m＝2±2，
故点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）；
②当AB是平行四边形的对角线时，
则AB的中点即为MN的中点，则
s+m＝6，n+0＝6，
解得：m＝4，
故点M的坐标为（4，6），
综上，点M的坐标为（2﹣2，﹣6）或（2+2，﹣6）或（4，6）．
（3）如下图，过点P作PG∥y轴交AB于点G，作PH⊥AB交于点H，
∵OA＝OB＝6，则∠OAB＝∠OBA＝45°，
∵PG∥y轴，则∠PGH＝∠OAB＝45°，
直线AB的表达式为：y＝﹣x+6，
设点P（x，﹣x2+2x+6），则G（x，﹣x+6），
d＝PH＝PG＝（﹣x2+2x+6+x﹣6）＝（﹣x2+3x），
当x＝3时，d取得最大值，此时点P（3，）．
4．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，
将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2；
（2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：
x2﹣4kx﹣4＝0，
则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，
则x2﹣x1＝＝4，
设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，
则BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，
设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，
故直线l总是与以BC为直径的圆相切；
（3）①设点P（m，m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1），
则PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，
即：PM与PF之间的数量关系为：PM＝PF；
②抛物线新抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2…①，
如图2，设平移后点F的对应点为F′（2，1），
由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，
故当A、F′、Q三点共线时，|QA﹣QN|有最大值，
|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，
则AF′＝＝；
将点A、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，
故直线AF′的表达式为：y＝x﹣…②，
联立①②并解得：x＝1或6（舍去1），
故点Q（6，4）；
故：|QA﹣QN|的最大值为，此时点Q的坐标为（6，4）．
5．解：（1）y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a，
∵抛物线的顶点D的纵坐标为4，
∴﹣4a＝4，
解得a＝﹣1．
故抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
①以AC为对角线，
∵点M在抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的图象上，点N在x轴上，以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，
∴点M的纵坐标为3，
∴﹣x2﹣2x+3＝3，
解得x1＝0，x2＝﹣2．
故点M的坐标为（﹣2，3）；
②以AC为对角线，
点M的坐标为（﹣2，3）；
③以AN为对角线，
点M的坐标为（﹣1﹣，﹣3），（﹣1+，﹣3）．
综上所述，点M的坐标为（﹣2，3），（﹣1﹣，﹣3），（﹣1+，﹣3）；
（3）EF+EG＝8（或EF+EG是定值），理由如下：
过点P作PQ∥y轴交x轴于Q，如图．
设P（t，﹣t2﹣2t+3），
则PQ＝﹣t2﹣2t+3，AQ＝3+t，QB＝1﹣t，
∵PQ∥EF，
∴△AEF∽△AQP，
∴＝，
∴EF＝＝＝×（﹣t2﹣2t+3）＝2（1﹣t）；
又∵PQ∥EG，
∴△BEG∽△BQP，
∴＝，
∴EG＝＝＝2（t+3），
∴EF+EG＝2（1﹣t）+2（t+3）＝8．
6．解：（1）点P
（2，1）的“坐标差”＝1﹣2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
（2）一次函数y＝2x+1的图象上点的坐标差为：y﹣x＝2x+1﹣x＝x+1，
函数
y＝x+1是增函数，
当﹣2≤x≤3时，x＝3，y的最大值＝4，
∴一次函数
y＝2x+1（﹣2≤x≤3）的“特征值”：4．
（3）y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）交y轴于点B，
∴点B（0，c）
点A与点B的“坐标差”相等，
∴点A
（﹣c，0），
∴﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0，
∵bc≠0，
∴c+b＝1，
∵y＝﹣x2+bx+c（bc≠0）“特征值”为﹣1
即函数
y＝﹣x2+bx+1﹣b﹣x═﹣x2+（b﹣1）x+（1﹣b）的最大值为﹣1
∴
解得
b＝3，
∴c＝﹣2
∴y＝﹣x2+3x﹣2，
∴．
∴当m≤x≤m+3时，此函数的最大值为﹣2m，
Ⅰ．若m≤≤m+3时，则x＝时，函数的最大值为，
依题意得：﹣2m＝，
解得m＝；
Ⅱ．若m＞时，x＝m，函数取最大值为：y＝﹣m2+3m﹣2，
依题意得：﹣m2+3m﹣2＝﹣2m，
解得：m＝＜（舍去），m＝，
Ⅲ．若m+3＜，即m＜﹣时，x＝m+3，函数取最大值为：y＝﹣（m+3）2+3（m+3）﹣2＝﹣m2﹣3m﹣2．
依题意得：﹣m2﹣3m﹣2＝﹣2m，此方程无实数解．
综上所述：m＝或m＝，
7．解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，即顶点坐标为（2，1），
当x＝2时，y＝﹣3x+5＝﹣1≠1，
故一次函数y＝﹣3x+5和二次函数y＝x2﹣4x+5不是“丘比特函数组”；
（2）设：二次函数的顶点为：（m，m+2），
将顶点坐标代入二次函数y＝2x2﹣3x﹣4得：m+2＝2m2﹣3m﹣4，
解得：m＝3或﹣1，
当m＝3时，函数顶点为（3，5），一次函数y＝x+2与y轴的交点为：（0，2），
则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）2+5＝a（x2﹣6x+9）+5，
即：9a+5＝2，解得：a＝﹣，
故：抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；
同理当m＝﹣1时，抛物线的表达式为：y＝x2+2x+2，
综上，抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2或y＝x2+2x+2；
（3）是定值，理由：
令y＝x2﹣2x﹣4＝0，
则x＝1±，
故当﹣3≤x≤﹣1时，x＝﹣1时函数取得最小值，
即a＝1+2﹣4＝﹣1，
设抛物线的顶点为P（m，2m+3），则“丘比特函数组”另外一个交点为Q（x，y），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+（2m+3）＝﹣（x﹣m）2+（2m+3），
由题意得：﹣（x﹣m）2+（2m+3）＝2x+3，
整理得：x2+（2﹣2m）x+（m2﹣2m）＝0，
由韦达定理得：x+m＝2m﹣2，解得：x＝m﹣2，故点Q（m﹣2，2m﹣1），
则PQ＝＝2，为定值．
8．解：（1）由A（﹣1，0）可知OA＝1，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝OC＝3，
∴C（0，﹣3），B（3，0）．
设抛物线的解析式（交点式）为y＝a（x+1）（x﹣3），
则﹣3a＝﹣3，
解得：a＝1，
则抛物线的解析式是y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3，
（2）存在．
①当以C为直角顶点时，
过点C作CP1⊥BC，交抛物线于点P1，
过点P1作y轴的垂线，垂足是M，如图1．
∵∠BCP1＝90°，
∴∠MCP1+∠BCO＝90°．
∵∠BCO+∠OBC＝90°，
∴∠MCP1＝∠OBC．
∵OA＝OC，
∴∠MCP1＝∠OBC＝45°，
∴∠MCP1＝∠MP1C，
∴MC＝MP1，
设P（m，m2﹣2m﹣3），
则﹣3﹣m＝m2﹣2m﹣3，
解得：m1＝0（舍去），m2＝1．
∴m＝1，
此时m2﹣2m﹣3＝﹣4，
∴P1的坐标是（1，﹣4）．
②当点B为直角顶点时，
过B作BP2⊥BC交抛物线于点P2，
过点P2作y轴的垂线，垂足是N，BP交y轴于点F，如图1．
∴P2N∥x轴，
由∠CBO＝45°得∠OBP2＝45°，
∴∠FP2N＝45°，BO＝OF．
∴P2N＝NF，
设P2（﹣n，n2+2n﹣3），
则3+n＝n2+2n﹣3
解得：n1＝2，n2＝﹣3（舍去），
∴n＝2，
此时n2+2n﹣3＝5，
∴P2的坐标是（﹣2，5）．
综上所述：P的坐标是（1，﹣4）或（﹣2，5）；
（3）当EF最短时，点P的坐标是（，﹣）或（，﹣）．
解题过程如下：
连接OD，由题意可知，四边形OFDE是矩形，则OD＝EF．
根据垂线段最短可得：当OD⊥BC时，OD（即EF）最短．
由（1）可知，在直角△BOC中，OC＝OB＝3．
根据等腰三角形的性质可得：D是BC的中点．
∴EF＝OD＝＝＝，
又∵DF∥OC，
∴△BFD∽△BOC，
∴，
∴DF＝OC＝，
∴点D的纵坐标是﹣，
∴点P的纵坐标也是，
解x2﹣2x﹣3＝﹣得，
x1＝，x2＝，
∴点P的坐标为（，﹣）或（，﹣）．此时EF长为最小值＝．
9．解：（1）直线y＝x+3经过A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，3），
将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）①令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，则x＝﹣3或1，即点B（1，0），
当AH＝BD时，AD+AH＝AD+BD，
当A、B、D三点共线时，
AD+AH＝AD+BD最小，最小值为：AB＝1﹣（﹣3）＝4，
答：AD+AH的最小值为4；
②当OC＝3OD时，OD＝1，AD＝，
则tan∠ADO＝，则sinα＝，
当点P在y轴上方时，如下图，
过点P作△APD的高PH，交AD的延长线与点H，
设：PH＝m，
∵∠PAD＝45°，则AH＝m，
tan∠PDH＝＝tanα＝3，
解得：m＝，
PD＝＝＝5，
故点P（0，6）；
当点P在y轴下方时，如下图所示，
同理可得：DP′＝
故：点P（0，﹣）；
综上，点P（0，6）或（0，﹣）
10．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，把A（﹣1，0），C（0，3）代入解析式得，
∴，
解得b＝2，c＝3．
故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）令﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
即B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b′，
则，
解得：，
故直线BC的解析式为y＝﹣x+3；
∴设P（t，3﹣t），
∴D（t，﹣t2+2t+3），
∴PD＝（﹣t2+2t+3）﹣（3﹣t）＝﹣t2+3t，
∵OB＝OC＝3，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
当CD＝PC时，则∠CPD＝∠CDP，
∵PD∥y轴，
∴∠CPD＝∠OCB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠PCD＝90°，
∴直线CD的解析式为y＝x+3，
解
得
或，
∴D（1，4），
此时P（1，2）；
当CD＝PD时，则∠DCP＝∠CPD＝45°，
∴∠CDP＝90°，
∴CD∥x轴，
∴D点的纵坐标为3，
代入y＝﹣x2+2x+3得，3＝﹣x2+2x+3，
解得x＝0或x＝2，
此时P（2，1）；
当PC＝PD时，∵PC＝t，
∴t＝﹣t2+3t，
解得t＝0或t＝3﹣，
此时P（3﹣，）；
综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣，）．
（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．
理由如下：
如图，取G点坐标为（0，﹣），连接BG，
∵B（3，0），
∴直线BG解析式为：y＝，
∴tan∠GBO＝，∴∠GBO＝30°，
过M点作MB′⊥BG，∴，
∴CN+MN+MB＝CN+MN+B′M，
∴CN+MN+MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，
即CB′⊥BG，
设直线CB′解析式为，∵C（0，3）
故直线CB′解析式为为，
∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，
∴N坐标为（1，3﹣），
M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，
∴M（，0）．
∵CG＝3+，∠CGB＝60°，
∴CB′＝CGsin∠CGB＝（3+）×＝，
综上所述：CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3﹣），M坐标为（，0）．
11．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且对称轴为x＝﹣2，
∴c＝0，OA＝4，又△AOB的面积为2，
∴BC＝1，即顶点B的坐标为（﹣2，﹣1），
∴，，解得a＝，b＝1，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵BC＝1，AC＝2，∴tan∠BAC＝，设P点坐标为（x，），
如图1，当点P在y轴右侧，PM＝﹣（﹣2）＝，MN＝x，
∴tan∠MPN＝＝，即x2﹣4x+8＝0，此方程无解；
如图2，当点P在y轴左侧，此时PM＝，MN＝﹣x，
∴tan∠MPN＝＝，
即x2+12x+8＝0，解得，，则，，
∴点P坐标为（，）或（，）；
（3）①如图3，过点P作PD⊥BC于点D，则PD＝x+2，DC＝，
由（2）知PM＝，
在Rt△PCD中，
PC2＝＝＝PM2，
∴PM＝PC；
②由①知，PM＝PC，
∴PQ+PC的最小值为PQ+PM的最小值，当Q、P、M三点共线时，PQ+PM有最小值为4．
∴PQ+PC的最小值为4．
12．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）
∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4
∵点B（3，0）在抛物线上
∴a（3﹣1）2+4＝0
解得：a＝﹣1
∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3
（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．
如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'
∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3
∴D（0，3）
∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0
解得：x1＝﹣1，x2＝3
∴A（﹣1，0）
∵点E在抛物线上且横坐标为2
∴yE＝﹣22+2×2+3＝3
∴E（2，3）
∴点D、E关于对称轴对称
∴DG＝EG
设直线AE解析式为y＝kx+e
∴
解得：
∴直线AE：y＝x+1
∴F（0，1）
∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2
∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H
∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小
∵EF'＝
∴C四边形DGHF＝2+2
设直线EF'解析式为y＝mx﹣1
∴2m﹣1＝3
∴m＝2
∴直线EF'：y＝2x﹣1
当y＝0时，解得x＝
∴H（，0）
当x＝1时，y＝2﹣1＝1
∴G（1，1）
∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．
13．解：（1）抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）
∴设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3）
∵抛物线经过点D（2，3）
∴a（x+1）（x﹣3）＝3
解得：a＝﹣1
∴抛物线表达式为y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4
∴向下平移后新抛物线为y＝﹣（x﹣1）2，顶点G（1，0），即抛物线向下平移4个单位
∵原抛物线上一点M平移后的对应点为点N
∴MN＝4，MN⊥x轴
∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形，且点A在x轴上
∴x轴垂直平分MN
∴N的纵坐标为﹣2
∴﹣（x﹣1）2＝﹣2
解得：x1＝1+，x2＝1﹣
∴点N坐标为（1+，﹣2）或（1﹣，﹣2）
（3）作点D关于y轴的对称点点D'，连接D'Q，取OB中点F，连接D'F
∵D（2，3），点Q为y轴上的动点
∴D'（﹣2，3），QD＝QD'
∴当点D'、Q、E在同一直线上时，QE+QD＝QE+QD'＝ED'最小
∵BE⊥OP于点E，P为抛物线上第一象限内的动点
∴∠OEB＝90°
∴点E在以OB为直径的圆在第一象限内的弧上运动
∵圆心F（，0），r＝
∴当点E在线段D'F上时，D'E＝D'F﹣EF＝﹣＝最小
∴QE+QD的最小值为．