江西省赣州市2021届高三上学期期末考试数学（文）试题 Word版含答案

赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试
高三数学（文科）试卷
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知R为实数集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数是纯虚数，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. -1
3. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据，其回归直线方程是，且，，则实数a的值为（ ）
A. -5 B. -24 C. 5 D. -3
4. 如图，正方形的边长为，以为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
7. 已知函数恒过定点A，则过点且以A点为圆心的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 己知，，，则a，b，c大小为（ ）
A. B. C. D.
9. 设定义域为R的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
10. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
11. 如图是某四面体水平放置时的三视图，图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
12. 若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知向量，，若，则m=______.
14. 若曲线在处的切线与直线垂直，则a=______.
15. 已知不等式表示的平面区域为D，若存在，使得不等式成立，则实数t的最大值为______.
16. 已知数列的首项，前n项和为，且，则______.
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题（共60分）
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）已知，若且，求的面积.
18. 如图，一简单组合体的一个面内接于圆O，是圆O的直径，矩形所在的平面垂直于圆O所在的平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，试求该简单组合体的体积.
19. 2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.
年级名次 是否近视

近视 40 30
不近视 10 20
（1）若直方图中前四组频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；
（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在名和名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在名的概率.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
，其中.
20. 已知函数，其中k为常数，…为自然对数的底数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调，求k的取值范围.
21. 如图，已知抛物线的焦点为，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.
（1）求证：点N定直线上；
（2）是否存在点N，使得的面积是的面积和的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，已知过点的直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线和曲线交于，两点，且，求实数的值.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 设函数，.
（1）若，解不等式；
（2）如果任意，都存在，使得，求实数的取值范围.
赣州市2020~2021学年度第一学期期末考试
高三数学（文科）试卷（答案）
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知R为实数集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2. 已知复数是纯虚数，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. D. -1
【答案】A
3. 对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据，其回归直线方程是，且，，则实数a的值为（ ）
A. -5 B. -24 C. 5 D. -3
【答案】D
4. 如图，正方形的边长为，以为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
5. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6. 已知函数的图像向左平移个单位后，得到函数的图像，则函数的单调递增区间为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
7. 已知函数恒过定点A，则过点且以A点为圆心的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
8. 己知，，，则a，b，c大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
9. 设定义域为R的奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
10. 我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角的面度数为，则角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
11. 如图是某四面体水平放置时的三视图，图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
12. 若，是双曲线与椭圆的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 已知向量，，若，则m=______.
【答案】0或1
14. 若曲线在处的切线与直线垂直，则a=______.
【答案】；
15. 已知不等式表示的平面区域为D，若存在，使得不等式成立，则实数t的最大值为______.
【答案】-1；
16. 已知数列的首项，前n项和为，且，则______.
【答案】1366或写成
三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题（共60分）
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）已知，若且，求的面积.
【答案】（1）；（2）
18. 如图，一简单组合体的一个面内接于圆O，是圆O的直径，矩形所在的平面垂直于圆O所在的平面.
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，试求该简单组合体的体积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
19. 2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.
年级名次 是否近视

近视 40 30
不近视 10 20
（1）若直方图中前四组频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；
（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在名和名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在名的概率.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
，其中.
【答案】（1）4.74；（2）能；（3）.
20. 已知函数，其中k为常数，…为自然对数的底数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数在区间上单调，求k的取值范围.
【答案】（1）极小值为极大值为；（2）.
21. 如图，已知抛物线的焦点为，过焦点F作直线交抛物线于A，B两点，在A，B两点处的切线相交于N，再分别过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为C，D.
（1）求证：点N定直线上；
（2）是否存在点N，使得的面积是的面积和的面积的等差中项，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，.
（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系中，已知过点的直线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线和曲线交于，两点，且，求实数的值.
【答案】（1）；；（2）1.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 设函数，.
（1）若，解不等式；
（2）如果任意，都存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）或.