班级：
姓名：
《椭圆及其标准方程》评测练习
已知为两定点，，动点M满足，则动点M的轨迹是（
）
A.椭圆
B.直线
C.圆
D.线段
2.椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为（
）
A.5
B.6
C.4
D.10
3.椭圆的焦点坐标是（
）
A.（）
B.（）
C.（）
D.（）
4.椭圆的焦点坐标是（
）
A.
B.
C.
D.
5.到两定点的距离之和为10，则动点p的轨迹方程为（
）
A.
B.
C.
D.
6.分别求出适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（-3,0），（3,0），椭圆经过点（5,0）.
（2）两个焦点的坐标分别是（0，-5），（0,5），椭圆上一点到两个焦点的距离之和等于26.
2
1《椭圆及其标准方程》教学设计
【教学目标】
（一）知识与技能
1、掌握椭圆的定义及其标准方程
2、理解椭圆标准方程的推导；
3、会根据给定的椭圆方程求焦点坐标和根据已知条件求椭圆的标准方程。
（二）过程与方法
1、通过学生积极参与，分组讨论，培养学生分析问题解决问题的能力。
2、通过学生的动手操作和多媒体辅助教学，使学生体会从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；
3、体验“坐标法”在处理几何问题中的优越性，从而进一步掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
（三）情感、态度与价值观
1、在引入椭圆概念的过程中，除了让学生动手亲自画，还借助《几何画板》实践操作，让学生体会知识产生的全过程，帮助学生树立运动、变化的辩证唯物主义思想，培养学生勇于进取精神和良好心理素质；
2、通过椭圆方程的化简过程，增强学生战胜困难的意志力，增强学生学习数学的自信心，并体会数学的简洁美、对称美及其理性和严谨，帮助学生形成严谨的科学态度。
【教学重点】
掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想
【教学难点】
椭圆标准方程的推导与化简
【教学方法策略】
采用问题驱动式教学，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．
【教学用具】
多媒体（PPT）、一根无弹性的细绳
【课前准备】
每位同学准备一根无弹性的细绳?
【教学过程】
教学环节
教学内容
设计意图
一、情境启发
【问题1】
能否举出几个生活中你遇到的椭圆形状的实例？
通过问题启发学生思考，使学生感受数学源于生活。
二、椭圆定义二、椭圆定义
【问题2】如何画出一个椭圆？（小组合作，探究画椭圆的过程，并通过几何画板验证。）
让学生通过动手实践，小组合作，明白知识产生的全过程以问题串的形式引导学生尝试总结定义、学习定义，为后面分析椭圆的标准方程做铺垫。通过对椭圆定义的再认识，加深学生对椭圆定义的理解。通过一组练习让学生巩固对椭圆定义的掌握。通过小组合作，让学生亲身体会坐标系建立的恰当给计算带来的便捷。通过“坐标法”来推导椭圆的标准方程，一是让学生再次巩固“坐标法”求动点轨迹；二是让学生理解椭圆标准方程推导的全过程，突破本节课的难点。小组合作，通过集体的智慧来攻克难关，培养学生迎难而上、锲而不舍、勇于探索的精神。让学生自己探索椭圆的标准方程中b的引入。以表格的形式让学生直观对比椭圆标准方程的两种形式，并会判定焦点的位置。通过练习加强学生对椭圆的标准方程的掌握，检验学生是否会判断焦点的位置，起到巩固的作用。
【思考】在画椭圆的过程中1、固定绳的两个端点F1、F2间的距离与绳长的大小关系？2、笔尖到两个定点F1、F2间的距离之和与绳长有什么关系？得到椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|，焦距的一半称为半焦距。
定义的再认识：1.通常用表示常数，用2c表示|F1F2|，则表示椭圆的条件是：
；2.
定义的数学语言：3.当时，轨迹是
；当时，轨迹是
；
【练习】判断下列动点的轨迹。(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点P的轨迹。(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点Q的轨迹。(3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点M的轨迹。
三、椭圆的标准方程三、椭圆的标准方程三、椭圆的标准方程三、椭圆的标准方程三、椭圆的标准方程
【思考】1、用坐标法求动点的轨迹方程的步骤是：
；(2)
；(3)
；(4)
；(5)
。以下面两图为例，讨论如何建立平面直角坐标系？椭圆标准方程的推导：解：①当焦点在x轴上时，取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设是椭圆上任意一点M(x,
y).由椭圆的定义得(限制条件)：代入点坐标
EMBED
Equation.3
\
MERGEFORMAT
【思考】①式怎样化简？能直接平方吗？
EMBED
Equation.3
\
MERGEFORMAT
【思考】你能否从右图中找到表示
的线段吗？
EMBED
Equation.KSEE3
\
MERGEFORMAT
表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程。②当焦点在y轴上时，焦点在轴上焦点在轴上图形标准方程焦点坐标的关系如何确定焦点的位置得到椭圆的标准方程：
练习：求出a、b的值，并判断焦点的位置
四、例题讲解
题型一：已知椭圆的方程求焦点坐标例1.
求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
【变式1】求下列方程表示的椭圆的焦点坐标：
小结：已知椭圆方程求焦点坐标的步骤是：题型二：根据已知条件求椭圆的标准方程例2.已知椭圆的焦点坐标分别是（-2,0）、（2,0），并且经过点，求椭圆的标准方程。【变式2】已知椭圆的焦点坐标分别是（0,-4）、（0,4），并且经过点(3,0)，求椭圆的标准方程。小结：根据已知条件求椭圆标准方程的步骤是：
让学生学会用椭圆的方程求焦点坐标和利用定义求椭圆的标准方程两种题型，一是巩固本节所学的知识，二是学会对知识的应用。并引领学生进行【小结】，进一步加强对方法的掌握。
五、课堂小结
本节课你学到了什么？
让学生自己总结本节课所学的知识，教师引领总结所用的思想方法、。
六、布置作业
必做题：教材Ｐ109
练习1、2探究题：教材Ｐ109
练习3
作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生得以进一步发挥。
【板书设计】?
3.1.1椭圆的定义及其标准方程
定义：
标准方程：
（学生板书的练习1）
F2
F1
M
●
●
●
两边同时除以
得：
得：
F2
F1
M
●
●
●
F1
F2
M
●
●
●
①
x
F1
F2
M
0
y
将①式左边的一个根式移到右边得：
②
③
两边平方得：
两边再平方得
整理得
由椭圆定义可知：
③式
化为：
（学生画出的椭圆）
（学生板书的练习2）
PAGE
1(共27张PPT)
【学习目标】
1
经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程；
2
掌握椭圆的定义及其标准方程。
你能否举出几个椭圆物品的例子？
怎样画一个椭圆呢？
思考：在画椭圆的过程中
1、固定绳的两个端点F1、F2间的距离与绳长的大小关系？
2、笔尖到两个定点F1、F2间的距离之和与绳长有什么关系？
一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数
（大于|F1F2|
）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2
)，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|，
焦距的一半称为半焦距。
F2
F1
M
●
●
●
文字语言
数学语言：
（定义式）
3.当2a<2c时，轨迹
。
2.当2a=2c时，轨迹__________________。
思考：
1.当2a>2c时，轨迹___________________。
F2
F1
M
●
●
●
是椭圆
是线段F1F2
不存在
练习：判断下列动点的轨迹。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点P的轨迹。
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点Q的轨迹。
(3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点M的轨迹。
∵|PF1|+|PF2|=6>|F1F2|=4，∴点P的轨迹是椭圆
∵|QF1|+|QF2|=4=|F1F2|=4，∴点Q的轨迹是线段F1F2
∵|MF1|+|MF2|=3＜|F1F2|=4，∴点M的轨迹不存在。
如何建立椭圆的标准方程？
思考：
1：用坐标法求动点的轨迹方程的步骤是：
(1)
；(2)
；(3)
；(4)
；(5)
。
2：以下面两图为例，讨论如何建立平面直角坐标系？
建
设
限
代
化
F2
F1
M
●
●
●
F1
F2
M
●
●
●
焦点在x轴上
焦点在y轴上
小组合作
限时两分钟
解：①当焦点在x轴上时，
设是椭圆上任意一点M(x,
y).
x
F1
F2
M
0
y
思考：①式怎样化简？能直接平方吗？
由椭圆的定义得(限制条件)：
代入点坐标
①
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
小组合作
限时三分钟
由椭圆定义可知：
将①式左边的一个根式移到右边得：
②
两边同时除以
得：
③
两边平方得：
两边再平方得
整理得
思考：
你能否从右图中找到表示
的线段吗？
③式
化为：
焦点是F1(-c,
0)、F2(c,
0)，且c2＝a2-b2.
表示焦点在x轴上的椭圆的标准方程
②当焦点在y轴上时，
焦点是F1(0，-c)、F2(0，c,)，且c2＝a2-b2.
表示焦点在y轴上的椭圆的标准方程
二、椭圆的标准方程
分母哪个大，
焦点就在哪一坐标轴上
则a＝
，b＝
，焦点在
轴上；
则a＝
，b＝
，焦点在
轴上；
则a＝
，b＝
，焦点在
轴上；
则a＝
，b＝
，焦点在
轴上。
．
5
3
4
6
3
2
练习：求出a、b的值，并判断焦点的位置
x
y
x
y
三、例题讲解
题型一：根据椭圆的方程写焦点坐标
确定焦点
的位置上
题型一：根据椭圆的方程写焦点坐标
小结：已知椭圆的方程求焦点坐标的步骤：
1、化为标准方程；
2、定焦点位置，写出a,b,求出c;
3、写出焦点坐标；
变式：
题型二：根据已知条件求椭圆的标准方程.
确定焦点
的位置上
你还能用其他的方法求椭圆的标准方程吗？
题型二：根据已知条件求椭圆的标准方程.
定义法
待定系数法
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a,
b的值.
小结：根据已知条件求椭圆标准方程的步骤：
变式：
思想方法上：
课堂小结
知识上：
数形结合思想、分类讨论思想；坐标法.
必做题：教材Ｐ109
练习1、2
探究题：教材Ｐ109
练习3
作业
谢
谢
大
家
