江西省宜春市2020-2021学年高一上学期期末质量监测数学试题 Word版含解析

宜春市2020～2021学年上学期期末质量监测
高一年级数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是第（ ）象限的角.
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
2. 设集合，则中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数在上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 函数的部分图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设，，，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 若奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为7，最小值为-1，则的值为（ ）
A. 5 B. -5 C. 13 D. -13
8. 人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为，喷气式飞机起飞时，声音约为，大货车鸣笛时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（ ）倍.
A. B. C. D. 1000
9. 设函数，且方程有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
10. 《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A. 1.012米 B. 1.768米 C. 2.043米 D. 2.945米
11. 已知函数图像相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A. B. C. 0 D.
12. 设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数，则________.
14. 将函数的图像先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数的图像，则函数的解析式为_________.
15. 已知函数在值域为，则的取值范围为________.
16. 对于函数、，设，，若存在、使得，则称与互为“友好函数”.已知函数与互为“友好函数”，则实数的取值范围是________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，求
（1）求值；
（2）求的值.
18. 记全集，函数的定义域为集合、函数（）的值域为集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
19. 某同学学习习惯不好，把老师写的表达式忘了，只记得，，.记不清楚是还是.翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）















（1）请你帮助该同学补充表格中的数据，写出该函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；
（2）设，其中，求.
20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且的图象与函数（且）的图象相交于定点.
（1）求函数的解析式，并写出的单调递减区间（不用证明）；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.
21. 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中，，是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作.
（1）令，求取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
22. 已知函数，.
（1）对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值；
（2）在满足（1）的条件时，若方程在区间上有解，求实数的取值范围.
宜春市2020～2021学年上学期期末质量监测
高一年级数学试卷（解析版）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 是第（ ）象限的角.
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
【答案】C
【解析】
分析】
将转化为且，并判断所在象限.
【详解】由已知得，
故与终边相同，即为第三象限角，
故选：C.
2. 设集合，则中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式特征用列举法表示集合进行求解即可.
【详解】因为，所以当时，由可得：；
当时，由可得：；
当时，由可得：，
当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，
所以,
因此中元素的个数为5.
故选：C
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
将代入可求得的值.
【详解】，.
故选：A.
4. 下列函数在上是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数的单调性分别判断各选项中函数的单调性.
【详解】函数在单调递减，故A选项错误；
函数在和上单调递减，故B选项错误；
函数，在单调递增，故在单调递增成立，C选项正确；
函数在单调递减，故D选项错误；
故选：C.
5. 函数的部分图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，判断出函数是奇函数，排除B、D，然后再判断时，，排除C.
【详解】已知，所以函数是奇函数，排除B、D，又因为时，，，所以，故排除C，
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
6. 设，，，则下列结论成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
比较、的大小关系，并比较、、三个数与的大小关系，由此可得出、、三个数的大小关系.
【详解】且，即，
又，因此，.
故选：B.
7. 若奇函数在区间上是增函数，且在区间上的最大值为7，最小值为-1，则的值为（ ）
A. 5 B. -5 C. 13 D. -13
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用条件找到，，再利用是奇函数求出，代入即可．
【详解】由题意在区间上是增函数，
在区间上的最大值为7，最小值为，
得，，
是奇函数，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查利用函数的单调性求最值，关键点是利用函数的奇偶性先求函数值，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
8. 人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级，强度为的声音对应的等级为，喷气式飞机起飞时，声音约为，大货车鸣笛时，声音约为，则喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的（ ）倍.
A. B. C. D. 1000
【答案】C
【解析】
【分析】
解出、可得答案.
【详解】由可得
由可得
所以喷气式飞机起飞时的声音强度是大货车鸣笛时声音强度的倍
故选：C
9. 设函数，且方程有三个不相等的实根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出的图象，然后条件可转化为函数的图象与的图象有三个交点.
【详解】的图象如下：
方程有三个不相等的实根等价于函数的图象与的图象有三个交点
所以，即
故选：B
10. 《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）
A. 1.012米 B. 1.768米 C. 2.043米 D. 2.945米
【答案】B
【解析】
【分析】
由题分析出这段弓所在弧长，结合弧长公式求出其所对圆心角，双手之间的距离为其所对弦长．
【详解】解：由题得：弓所在的弧长为：；
所以其所对的圆心角；
两手之间的距离．
故选：．
【点睛】本题主要考查圆心角，弧长以及半径之间的基本关系，本题的关键在于读懂题目，能提取出有效信息．
11. 已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，则（ ）
A. B. C. 0 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定，再求.
【详解】因为
，
由题意知的最小正周期为，所以，即，
所以，
故选：D.
【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.
12. 设动直线与函数和的图象分别交于、两点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用三角恒等变换思想化简得出，求出的值域，由此可求得的取值范围，即可得解.
【详解】，
，
，可得，
所以，，即.
故选：A.
【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法：
①利用和的最值直接求；
②把形如的三角函数化为的形式求最值；
③利用和的关系转换成二次函数求最值．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知幂函数，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
由条件可得，然后可得答案.
【详解】因为是幂函数，所以，即
所以，所以
故答案为：
14. 将函数的图像先向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后，得到函数的图像，则函数的解析式为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的图象变换规律，即可得到的解析式．
【详解】函数的图像先向右平移个单位后解析式变为：
，
再将横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）后解析式变为：
，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：函数的图像与函数的图像两者之间可以通过变化A，ω，φ，B来相互转化，A、ω影响图像的形状，φ、B影响图像与x轴交点的位置，由A引起的变换称为振幅变换，由ω引起的变换称为周期变换，它们都是伸缩变换；由φ引起的变换称为相位变换，由B引起的变换称为上下平移变换，它们都是平移变换.三角函数图像变换的两种方法为先平移后伸缩和先伸缩后平移.
15. 已知函数在的值域为，则的取值范围为________.
【答案】
【解析】
【分析】
由可得，然后可建立不等式求解.
【详解】由可得，因为值域为
所以，解得
故答案为：
16. 对于函数、，设，，若存在、使得，则称与互为“友好函数”.已知函数与互为“友好函数”，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的零点为，由题意可求得函数零点的取值范围是，由可得出，令，，则实数的取值范围即为函数在的值域，利用二次函数的基本性质求出为函数在的值域，即为实数的取值范围.
【详解】由于函数为增函数，函数为减函数，则函数为增函数，
因为，.
由于与互为“友好函数”，
则，可得，解得，
所以，函数的零点的取值范围是，
由可得，
令，，则实数的取值范围即为函数在的值域.
当时，.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知，求
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式化简， 利用齐次式直接求解；
（2）利用齐次式直接求解.
【详解】（1）由诱导公式得，原式.
（2）原式.
【点睛】(1)应用公式时注意方程思想的应用，对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α可以知一求二．
(2)关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．
18. 记全集，函数的定义域为集合、函数（）的值域为集合.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据对数函数的定义，可得集合A，根据同角三角函数关系将转化为二次函数形式，利用三角函数的有界性求出集合B，再结合交集补集的概念，可得结果.
（2）易得，由集合之间的关系列出不等式，解不等式可得结果
【详解】（1）依题可知：，∴，
，
∵，
∴，则，
∴；
（2）∵，
又∵（），
∴.
【点睛】关键点点睛：
应用集合关系求解参数范围的关键及注意点：
（1）关键：解答此类问题的关键是利用两集合关系，列出所求参数满足的不等式（组）；
（2）注意点：当题目中含有条件，，注意将关系等价转化，如.
19. 某同学学习习惯不好，把老师写的表达式忘了，只记得，，.记不清楚是还是.翻出草稿本发现在用五点作图法列表作图时曾算出过一些数据（如下表）















（1）请你帮助该同学补充表格中的数据，写出该函数的解析式，并求出该函数的单调递增区间；
（2）设，其中，求.
【答案】（1）表格见解析，，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据表格可得，，得，代入计算可得，再利用整体法计算单调递增区间；（2）代入计算，利用角的配凑，转化为，计算出，和差公式展开代入计算即可.
【详解】（1）填表：第一列：；第三列：，，，
由表可知：，，
，
∴.
，
递增区间：.
（2）∵，∴，
又∵，∴，
则
.
【点睛】关键点睛：三角函数中给值求值问题一般是用公式将所求“复角”展开成已知角的形式，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
20. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且的图象与函数（且）的图象相交于定点.
（1）求函数的解析式，并写出的单调递减区间（不用证明）；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1），递减区间为、；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求得点，再由可求得的值，再利用奇函数的定义可求得函数在上的解析式，利用二次函数的基本性质可得出函数的单调递减区间；
（2）由题意可得出在上恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）在函数的解析式中，令，可得，则，
所以，定点的坐标为，
则，解得，所以，当时，.
当时，，则，
所以，，
当时，，此时，函数的递减区间为；
当时，，此时，函数的递减区间为.
综上所述，函数的递减区间为、；
（2）依题可知：在上恒成立，
令，对称轴为，
当时，即时，，此时，；
当时，即时，，此时，，
综上：.
【点睛】结论点睛：求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
21. 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数与时刻（时）的关系为，其中，，是与气象有关的参数，且，若用每天的最大值作为当天的综合放射性污染指数，并记作.
（1）令，求的取值范围；
（2）省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
【答案】（1）；（2）当时不超标，当时超标.
【解析】
【分析】
（1）由正弦函数的图象和性质和幂函数的单调性，即可得到t的范围；
（2）当时，记，运用一次函数的单调性，可得最大值和最小值，作差即可得到，当且仅当时，，即可判断．
【详解】（1）当时，，当时，，
则；
（2）当时，记，
则在上递减，在上递增，
且，，
∴，
故，
又当且仅当时，，
∴当时不超标，当时超标.
【点睛】易错点睛：想要正确的运用分段函数，首先就需要对于分段函数有一个正确的认识.在很多初学者看来，分段函数是几个不同的函数组成的，并且有各自不同的表达式.其实不然，分段函数是一个函数，而不是几个函数：分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集，之所以有不同的表达形式，是因为自变量x在不同的取值范围里有着不同的对应法则.
22. 已知函数，.
（1）对任意的，当时，均有成立，求正实数的最大值；
（2）在满足（1）的条件时，若方程在区间上有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）构造，由单调性的定义得出在区间上为增函数，结合正弦型函数的单调性，得出正实数的最大值.
（2）方程有解，可分离参数为，在上有解，再根据的值域，求解实数的取值范围.
【详解】解：（1）依题可知：
，
又∵，∴，
令，
则
.
∵，∴在上单调递增，
∵，∴，
∴，即的最大值为.
（2）∵，
∴，
∴，
即在上有解，
∵，∴.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.