2020-2021学年高一数学人教A版（2019）必修第二册第六章6·4·3《余弦定理 正弦定理》基础拔高训练习题集Word含答案

高一数学必修第二册第六章6·4·3《余弦定理 正弦定理》基础拔高训练习题集
一、单选题
1．若钝角三角形的面积是，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．的内角，，的对边分别为，，，且，，，则的面积为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．一艘客船上午在处，测得灯塔在它的北偏东，之后它以每小时海里的速度继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时测得船与灯塔相距海里，则灯塔在处的（ ）
A．北偏东 B．北偏东或东偏南
C．东偏南 D．以上方位都不对
4．在中，，M为内一点且满足，，若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，且，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，角、、的对边分别为、、，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．直角三角形
7．在中，由角，，所对的边分别为，，，且，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
8．在中，角、、的对边分别为、、，已知，，若最长边为，则最短边长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知正方形的边长为，点从顶点沿着的方向，向顶点运动，速度为，同时，点从顶点沿着的方向，向顶点运动，速度为，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．1
10．在中，，，分别为内角，，所对的边，且，若点是外一点，，，.则平面四边形的面积的最大值是（ ）
A． B． C．3 D．
二、多选题
11．对于，有如下命题，其中正确的有（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若是锐角三角形，则不等式恒成立
C．若，则为钝角三角形
D．若，，，则的面积为或
12．在中，内角，，的对边分别为，，，，，的面积为，则可能取到的值为（ ）
A． B． C． D．
13．在中，，，分别是内角，，所对的边，，且，，则以下说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则是等边三角形
D．若的面积是，则该三角形外接圆半径为4
14．如图，的内角，，所对的边分别为，，．若，且，是外一点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．是等边三角形
B．若，则，，，四点共圆
C．四边形面积最大值为
D．四边形面积最小值为
15．已知，，分别为内角，，的对边，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．面积的最大值为 D．面积的最大值为
三、填空题
16．在三角形中，三个内角分别为，，，其中，，则角__________
17．在中，角、、的对边分别为、、，，，则的面积是______________.
18．在中，，，则的最大值为_______．
19．在中，内角的对边分别为，，且，则外接圆的面积为_________．
20．如图，点A是半径为1的半圆O的直径延长线上的一点，，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边，则四边形的面积的最大值为___________.
21．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为米（如图所示），旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为_________（米/秒）
四、解答题
22．在①且为锐角，②且为锐角，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答.
的内角，，的对边分别为，，.已知，，且________，求 的面积及的值.
23．在中，角，，的对边分别是，，，且
（1）求；
（2）若，的面积为，求.
24．锐角的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角；
（2）求的取值范围．
25．在中，角，，的对边分别是，，，已知．
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
26．在锐角中，内角、、所对的边分别为、、，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求边的取值范围．
27．已知函数．
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）在中，，，且的面积为，求的值．
28．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.
（1）求B的大小；
（2）如图，，在直线的右侧取点D，使得，求四边形面积的最大值.
参考答案
1．C
三角形的面积是，
所以，
因为，所以或，
当时，由余弦定理可得
，所以，
此时有，是直角三角形，不符合题意，
当时，由余弦定理可得
，
所以，符合题意，
所以，
2．B
由已知，，，
则.
3．B
如下图所示：

客船半小时的行程为（海里），
因为（海里），，由正弦定理可得，
所以，，或.
当时，，此时，灯塔在处的北偏东；
当时，，此时，灯塔在处的东偏南.
综上所述，灯塔在处北偏东或东偏南.
4．A
设，则，，因为，所以角，在直角中，，在中，，即，即，，又因为，为锐角，解得，所以，所以的面积.
5．D
因为，所以，
所以，所以.
由，得，
所以.
6．D
，，由正弦定理可得，
所以，，则，
，则，，
，，因此，为直角三角形.
7．D
因为在中，
由正弦定理可得．
因为，可得，
即，即，
所以．
因为，可得，所以，
当且仅当，即，，时取“=”，
所以，即的最大值为.
8．A
由知，利用同角三角函数基本关系可求得，，由知，得，，
∴，，
即为钝角，为最大角，故c为最大边，有，
由知，最短边为，
于是由正弦定理，即求得，
9．B
设，运动的时间为，则，，因此，
由得，
因此，
当且仅当时，取得最小值，则的最小值为.
10．A
在中，，
，
即
，，
是等边三角形，
，
，，
则当，即时，取得最大值1，
故四边形OACB面积的最大值为.
故选：A.
11．BCD
对于．
对A，，，或，解得：，或，则是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
对B，是锐角三角形，，，化为恒成立，因此正确；
对C，，，由正弦定理可得：，，为钝角，则为钝角三角形，因此正确；
对D，，，，设，由余弦定理可得：，化为：，解得或2．则的面积，或的面积，因此正确．
12．AC
解：，，，
又，，
由余弦定理可得，
，当且仅等号成立，
故的最小值为，可能取到的值为AC选项．
13．AC
解：由正弦定理可将条件转化为，
因为，故，
因为，则，故正确；
若，则由正弦定理可知，则，
因为，则，故错误；
若，根据正弦定理可得，
又因为，即，即有，所以，
因为，则，故，
整理得，即，
解得，故，则，
即，所以是等边三角形，故正确；
若的面积是，即，解得，
由余弦定理可得，即
设三角形的外接圆半径是，
由正弦定理可得，则该三角形外接圆半径为2，故D错误，
故选：AC．
14．AC
由正弦定理，
得，
，
，B是等腰的底角，，
是等边三角形，A正确；
B不正确：若四点共圆，则四边形对角互补，
由A正确知，
但由于时，
，
∴B不正确．
C正确，D不正确：
设，则，
，
，
，
，
，
，
，∴C正确，D不正确；
故选：AC.．
15．BC
∵，
∴，
∴，由正弦定理可得，
∴，，，
，当时取等号，
∴，∴.
16．
在三角形中，,
因为，所以，
同理可求：
所以
所以，所以
17．
由余弦定理可得，，
，可得，则，解得，
因此，的面积是.
18．
由正弦定理可得，则，，
，，
则，
其中为锐角，且，，
所以，当时，取 最大值.
19．
由正弦定理得：则
设外接圆的半径为，则
外接圆的面积为．
20．
四边形的面积的面积的面积，设，
则的面积
的面积，
四边形的面积
，
故当，即时，四边形的面积最大值为，
21．
如图所示，依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°﹣60°﹣15°＝105°，∴∠EAC＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
由正弦定理知 ＝，∴AC＝×sin45°＝20（米），
∴在Rt△ABC中，AB＝AC?sin∠ACB＝20×＝10（米），∵国歌长度约为46秒，
∴升旗手升旗的速度应为 ＝（米/秒）．
故答案为：．
22．，
因为，，所以，
选择①，因为，所以，
解得或，
又为锐角，所以，
所以的面积为，
由余弦定理可得，
；
选择②，因为，所以，
即，则或，即或，
又因为为锐角，所以，
面积及的值解法同①；
③因为，所以，
又因为，所以，
面积及的值解法同①.
23．（1）；（2）.
（1）由于，
所以，
化简得 ，因为，所以，
所以，.
（2）由（1）得得，由已知条件，
得，，
由余弦定理得，
且，得，
由面积公式，即
解得.
24．（1）；（2）.
（1）由题设及正弦定理得
由余弦定理得，
，
（2）
为锐角三角形，，
，，
，
的取值范围为.
25．（1）；（2）．
解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即．
再由余弦定理可得，即．
因为，所以．因为，所以．
（2）因为，所以，当且仅当时取等，
故，则的最大值为．
26．（1）；（2）．
（1）因为，
所以，
所以，所以，
所以，因为为锐角，则，所以，；
（2）因为是锐角三角形，所以，所以．
因为，所以．
在中，由正弦定理得，，则，
所以，
因为，所以，所以，所以，所以，
所以的取值范围是．
27．（1），单调递增区间为；（2）1.
（1）
，由，得单调递增区间为
（2）由，∴，∴，
∵，∴，∴，即.
由的面积为，∴，∴．
由余弦定理可得：，可得：，
联立解得：；或．
∴．
∴．
∴．
28．（1）；（2）.
解：（1）由正弦定理知，，
∵，
∴，
即，
∵，∴，
∵，∴.
（2）由（1）知，，
∵，∴为等边三角形，
在中，由余弦定理知，，
而，
，
∴四边形的面积，
∵，∴，
∴当即时，S取得最大值，为，
故四边形面积的最大值为.