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2.3
确定二次函数的表达式（2）
数学北师大版
九年级上
复习导入
二次函数表达式有哪几种表达方式？
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
新知讲解
已知二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
的图象所经过的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？
根据二次函数图象上的三个点的坐标,可代入二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,列出方程确定二次函数的表达式.
新知讲解
例2
已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
解：设所求的二次函数的表达式为
y
=
ax
2
+
bx
+
c，
由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）
分别代入表达式，得
新知讲解
10
=
a
-
b
+
c，
4
=
a
+
b
+
c，
7
=
4
a
+
2
b
+
c
解这个方程组，得
a
=
2，
b
=
-3，
c
=
5．
∴
所求函数表达式为y
=2x2
-3x+5．
新知讲解
∴二次函数对称轴为直线
，
顶点坐标为
新知讲解
一个二次函数的图象经过点
A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.
议一议
新知讲解
议一议
1
=c，
2=
a
+
b
+
c，
1=
4
a
+
2
b
+
c
法一
解：设所求的二次函数的表达式为
y
=
ax
2
+
bx
+
c，
A（0，1），B（1，2），C（2，1）代入
a
=-1，
b
=2，
c
=1
二次函数解析式为y=-x2+2x+1
解得
新知讲解
法二
解：因为A（0，1）和C（2，1）关于x=1对称，
抛物线的对称轴为x=1,而B（1，2）在抛物线上，
所以设所求的二次函数的表达式为
y
=
m(x-1)2+2
，
代入A（0，1），
得到m=-1.
二次函数的表达式为
y
=
-(x-1)2+2.
新知讲解
变式1
某抛物线和抛物线y=-2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（-1，3），则该抛物线的解析式为（ ）
A．y=-2（x-1）2+3
B．y=-2（x+1）2+3
C．y=-（2x+1）2+3
D．y=-（2x-1）2+3
解:形状、开口方向完全相同，a=-2.
抛物线解析式为y=-2（x+1）2+3．
故选B.
B
新知讲解
变式2
若所求的二次函数图象与抛物线y=2x2-4x-1有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的解析式为（ ）
A．y=-x2+2x-5
B．y=ax2-2ax+a-3（a＞0）
C．y=-2x2-4x-5
D．y=ax2-2ax+a-3（a＜0）
D
新知讲解
解：抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），
根据题意得所求的二次函数的解析式的顶点坐标是
（1，-3），且抛物线开口向下．
新知讲解
A、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-4），故选项错误；
B、抛物线开口向上，顶点坐标是（1，-3），故选项错误；
C、抛物线开口向下，顶点坐标是（-1，-3），故选项错误；
D、抛物线开口向下，顶点坐标是（1，-3），故选项正确．
在确定二次函数的表达式时，
（1）若已知图象上三个非特殊点，常设一般式
；
（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式较为简便；
（3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式较为简单.
新知讲解
1、一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，-4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=-2（x+2）2+4
B．y=-2（x-2）2+4
C．y=2（x+2）2-4
D．y=2（x-2）2-4
课堂练习
B
新知讲解
解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），
∴设这个二次函数的解析式为y=a（x-2）2+4，
把（0，-4）代入得a=-2，
∴这个二次函数的解析式为y=-2（x-2）2+4．
课堂练习
2、若抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y=ax2+bx+c的表达式是（ ）
A．y=4x2-8x-7
B．y=4x2-8x+1
C．y=2x2-4x+1
D．y=-2x2-4x+1
B
课堂练习
解：∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），
∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），
∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，
∵与y轴的交点的坐标为（0，1），
∴1=a-3，解得a=4，
∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1．
课堂练习
3、用“?”定义一种新运算：对于任意实数m，n和抛物线
y=ax2，当y=ax2?（m，n）后都可以得到y=a（x-m）2+n．例如：当y=2x2?（3，4）后都可以得到y=2（x-3）2+4．若函数y=x2?（1，n）得到的函数如图所示，则n=____________．
2
课堂练习
解：根据题意得y=x2?（1，n）是函数y=（x-1）2+n；
由图象得此函数的顶点坐标为（1，2），
所以此函数的解析式为y=（x-1）2+2．
∴n=2．
拓展提高
4、如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出点P的坐标．
拓展提高
解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），
∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，
又∵抛物线过点C（0，-3），
∴-3=a（0-1）2-4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=（x-1）2-4，
即y=x2-2x-3；
拓展提高
（2）∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，
∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，
∴点P的纵坐标一定为4．令y=4，则x2-2x-3=4，
解得
∴点P的坐标为
或
课堂总结
解题的一般步骤
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;
2.设抛物线的表达式;
3.写出相关点的坐标;
4.列方程(或方程组);
5.解方程或方程组,求待定系数;
6.写出函数的表达式.
板书设计
课题：2.3
确定二次函数的表达式（2）
?
教师板演区
?
学生展示区
一、二次函数的表达式
二、例题
作业布置
基础作业：
课本P45练习第1、2题
练习册基础
能力作业：
课本P45练习第3题中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版数学九年级上2.3
确定二次函数的表达式（2）导学案
课题
2.3
确定二次函数的表达式（2）
单元
第2章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识.
2.会利用待定系数法求二次函数的表达式.?
3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程.
重点
难点
根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式.
导学
环节
导学过程
自
主
学
习
求出二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c中的a,b,c，至少需要几个方程求解？
合
作
探
究
探究一：
已知二次函数
y
=
ax2
+
bx
+
c
的图象所经过的三个点，可以确定这个二次函数的表达式吗？
例2
已知一个二次函数的图象经过（-1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个二次函数的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标.
探究二：
一个二次函数的图象经过点
A（0，1），B（1，2），C（2，1），你能确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行交流.
在确定二次函数的表达式时
（1）若已知图象上三个非特殊点，常设一般式
；
（2）若已知二次函数顶点坐标或对称轴，常设顶点式较为简便；
（3）若已知二次函数与x轴的两个交点，常设交点式较为简单.
当
堂
检
测
1、
一个二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，-4），则这个二次函数的解析式为（ ）
A．y=-2（x+2）2+4
B．y=-2（x-2）2+4
C．y=2（x+2）2-4
D．y=2（x-2）2-4
2、若抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，且与y轴的交点的坐标为（0，1），则抛物线y=ax2+bx+c的表达式是（ ）
A．y=4x2-8x-7
B．y=4x2-8x+1
C．y=2x2-4x+1
D．y=-2x2-4x+1
3、用“?”定义一种新运算：对于任意实数m，n和抛物线y=ax2，当y=ax2?（m，n）后都可以得到y=a（x-m）2+n．例如：当y=2x2?（3，4）后都可以得到y=2（x-3）2+4．若函数y=x2?（1，n）得到的函数如图所示，则n=____________．
4、如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A、B两点．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线上存在点P（不与点D重合），使得S△PAB=S△ABD，请求出P点的坐标．
课
堂
小
结
解题的一般步骤
1.若无坐标系,首先应建立适当的直角坐标系;
2.设抛物线的表达式;
3.写出相关点的坐标;
4.列方程(或方程组);
5.解方程或方程组,求待定系数;
6.写出函数的表达式.
参考答案
自主学习：
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)
合作探究：
探究一：
根据二次函数图象上的三个点的坐标,可代入二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,列出方程确定二次函数的表达式.
解：设所求的二次函数的表达式为
y
=
ax
2
+
bx
+
c，
由已知，将三点（-1，10），（1，4），（2，7）
分别代入表达式，得
解这个方程组，得
∴二次函数对称轴为直线，
顶点坐标为
探究二：
法一：解：设所求的二次函数的表达式为
y
=
ax
2
+
bx
+
c，
A（0，1），B（1，2），C（2，1）代入
二次函数解析式为y=-x2+2x+1
法二：A（0，1）和C（2，1）关于x=1对称，
抛物线的对称轴为x=1,而B（1，2）在抛物线上，
所以设所求的二次函数的表达式为
y
=
m(x-1)2+2
，
代入A（0，1），
得到m=-1
二次函数的表达式为
y
=
-(x-1)2+2
当堂检测：
B
解：∵二次函数的图象的顶点坐标是（2，4），
∴设这个二次函数的解析式为y=a（x-2）2+4，
把（0，-4）代入得a=-2，
∴这个二次函数的解析式为y=-2（x-2）2+4．
2、解：∵y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，
∴抛物线y=2x2-4x-1的顶点坐标为（1，-3），
∵抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=2x2-4x-1的顶点重合，
∴抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，-3），
∴设此抛物线为y=a（x-1）2-3，
∵与y轴的交点的坐标为（0，1），
∴1=a-3，解得a=4，
∴此抛物线为y=4（x-1）2-3=4x2-8x+1．
3、解：根据题意得y=x2?（1，n）是函数y=（x-1）2+n；
由图象得此函数的顶点坐标为（1，2），
所以此函数的解析式为y=（x-1）2+2．
∴n=2．
4、解：（1）∵抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），
∴设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，
又∵抛物线过点C（0，-3），
∴-3=a（0-1）2-4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=（x-1）2-4，
即y=x2-2x-3；
（2）∵S△PAB=S△ABD，且点P在抛物线上，
∴点P到线段AB的距离一定等于顶点D到AB的距离，
∴点P的纵坐标一定为4．令y=4，则x2-2x-3=4，
解得
∴点P的坐标为或
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精品试卷·第
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