2020-2021学年苏科版九年级数学下册 第6章 图形的相似 单元检测试题（word版，有答案）

1049020010693400123190000第6章 图形的相似 单元检测试题
（满分120分；时间：90分钟）
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） ?
1. 已知四条线段a、b、c、d依次成比例，且a=1，b=3，c=3，则d=( ? ? ??)
A.3 B.6 C.8 D.9
?
2. 如果2a=5b，那么下列比例式中正确的是（? ? ? ? ）
A.ab=25 B.a5=2b C.ab=52 D.a2=b5
?
3. 已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=2，则AC为（ ）
A.5-1 B.3-5 C.5-12 D.0.618
?
4. 点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD)，若AB=2，则BD=(? ? ? ? )
A.5-12 B.3-52 C.5-1 D.3-5
?
5. 下列结论错误的是（ ）
A.所有的正方形都相似 B.所有的等边三角形都相似
C.所有的菱形都相似 D.所有的正六边形都相似
?
6. 若ab=38，则aa+b的值是（ ）
A.811 B.613 C.311 D.35
?
7. 如图L1?//L2?//L3，AB=4，DE=3，EF=6，则BC的长（ ）

A.4 B.6 C.8 D.10
?
8. 下列语句正确的是（ ）
A.有一个角对应相等的两个直角三角形相似
B.如果两个图形位似，那么对应线段平行或在同一条直线直线上
C.两个矩形一定相似
D.如果将一个三角形的各边长都扩大二倍，则其面积将扩大4倍
?
9. 如图，AD?//?BE?//?CF，直线m，n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F，已知AB=5，BC=10，DE=4，则EF的长为（ ）
A.12.5 B.12 C.8 D.4
?
10. 如图，AB与CD相交于点E，AD?//?BC，BEAE=35，CD＝16，则DE的长为（ ）

A.3 B.6 C.485 D.10
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ， ） ?
11. 如图，点A，D，B，F在一条直线上，AC=EF,AD=FB，要使△ABC?△FDE，需添加的条件是________（填一个即可）．
?
12. 如图，点G是△ABC的重心，点D、E分别在边AB、AC上，DE过点G，且DE?//?BC，则DEBC的值为________．
?
13. 如图，△ADE和△ABC中，∠1＝∠2，请添加一个适当的条件________，使△ADE∽△ABC（只填一个即可）．
?
14. 如图，在△ABC中，AD是中线，G是重心，过点G作EF?//?BC，分别交AB、AC于点E、F，若AC=18，则AF=________．

?
15. 如图，若△ABC∽△DEF，则∠D的度数为________．
?
16. 顶角为36?的等腰三角形被称为黄金三角形，在∠A=36?的△ABC中，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，交AC于D，若AC=4cm，则BC=________cm．
?
17. 已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个内角分别为60?和70?，那么另一个三角形的最小内角的度数为________．
?
18. 如图，将△DEF缩小为原来的一半，操作方法如下：任意取一点P，连接DP，取DP的中点A，再连接EP，FP，取它们的中点B，C得到△ABC，则△ABC与△DEF的面积之比是________．
?
19. 如图所示，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，同时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，则电线杆AB的高为________米．
?
20. 为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底(B)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树(AB)的高度约为________米（精确到0.1米）.

三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计60分 ， ） ?
21. 如图，正方形桌子的正上方挂着一盏灯，已知桌面连长为0.8m，桌面的高度为1m，灯泡距地面3m，求桌面在地面上的投影（正方形）面积．
?
22. 电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB?//?CD，AB=2m，CD=5m．
（1）若点P到CD的距离是3m，求点P到AB的距离．
（2）若PE⊥CD于D交AB于F，EF=1m，求PF．
?
23. 如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90?，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E．已知AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点．设DP=xcm(x>0)，四边形BCDP的面积为ycm2．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值．
?
24. 如图(1)，在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，点E是AB边上-动点（点E不与点A、B重合），过点E作EF?//?AC交BC于点F，连接ED．
（1）设AE=x，则EF=________；
（2）若DE⊥EF，求EF的长；
（3）如图(2)，过点E作EG⊥EF．交AC于点H，交直线CD于点G，连接AG、FG，随着点E在线段AB上的运动，当AE为何值时，△EFG与△AHE相似？
?
25. 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE．

（1）发现：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，①线段DG与BE之间的数量关系是 ?? ；②直线DG与直线BE之间的位置关系是 ?? ．
（2）探究：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，证明：直线DG⊥BE．
（3）应用：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE?//?AB，且AB＝，AE＝1，则线段DG是多少？（直接写出结论）
?
参考答案与试题解析
一、 选择题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
1.
【答案】
D
【解答】
解：根据题意得：ab=cd，即13=3d，
解得：d=9．
故选D.
2.
【答案】
C
【解答】
解：两边同除以2b得：ab=52,C正确，
其他等式均无法得到.
故选C.
3.
【答案】
A
【解答】
解：∵ 点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，
∴ AC=5-12AB，
而AB=2，
∴ AC=5-1．
故选A．
4.
【答案】
D
【解答】
解：当AD>BD时，
AD=5-12×2=5-1，
BD=2-(5-1)=3-5.
故选D.
5.
【答案】
C
【解答】
解：A、所有的正方形，边长相等，所以对应边成比例，角都是直角，相等，所以都相似，故本选项正确，不符合题意；
B、所有的等边三角形，边长相等，所以对应边成比例，角都是60?，相等，所以都相似，故本选项正确，不符合题意；
C、所有的菱形，边长相等，所以对应边成比例，角不一定对应相等，所以不一定都相似，故本选项错误，符合题意；
D、所有的正六边形，边长相等，所以对应边成比例，角都是120?，相等，所以都相似，故本选项正确，不符合题意．
故选C．
6.
【答案】
C
【解答】
解：由比例的性质，得3b=8a，b=8a3，
aa+b=aa+8a3=a11a3=311，
故选：C．
7.
【答案】
C
【解答】
解：∴ 111213
ABBC=DEEF
∵ AB=4,DE=3,EF=6
BC=8
故答案为：C．
8.
【答案】
B
【解答】
解：A、有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，所以A选项错误；
B、如果两个图形位似，那么对应线段平行或在同一条直线直线上，所以B选项正确；
C、两个矩形不一定相似，所以C选项错误；
D、如果将一个三角形的各边长都扩大原来的二倍，则其面积将扩大4倍，所以D选项错误．
故选B．
9.
【答案】
C
【解答】
解：∵ AD?//?BE?//?CF，
∴ ABBC=DEEF，即510=4EF，
解得，EF=8，
故选：C．
10.
【答案】
D
【解答】
∵ AD?//?BC，
∴ △CBE∽△AED，
∴ BE:AE＝CE:ED＝3:5，
∵ CD＝16．CE+ED＝CD，
∴ DE=58×16=10，
二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）
11.
【答案】
∠A=∠F
【解答】
解：增加一个条件：∠A=∠F，
∵ AD=BF，
∴ AD+BD=BF+BD
即AB=FD.
在△ABC和△FDE中，
AC=FE，∠A=∠F，AB=FD，(SAS)
∴ △ABC?△FDE.
故答案为：∠A=∠F.
12.
【答案】
2:3
【解答】
解：∵ 三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍
∴ DE:BC=2：(2+1)=2:3．
故答案为：2:3．
13.
【答案】
∠D＝∠B或∠E＝∠C或ADAB=AEAC
【解答】
∵ ∠1＝∠2，
∴ ∠DAE＝∠BAC，
∴ 要使△ADE∽△ABC，则添加的一个条件可以是∠D＝∠B或∠E＝∠C或ADAB=AEAC．
14.
【答案】
12
【解答】
解：∵ G是△ABC的重心，
∴ AG=2DG，AD=3DG；
∵ EF?//?BC，
∴ AFAC=AGAD=2DG3DG=23，
∵ AC=18，
∴ AF=12．
故答案为：12．
15.
【答案】
30?
【解答】
解：∵ △ABC∽△DEF，∴ ∠D=∠A=30?
故应填30?．
16.
【答案】
2(5-1)
【解答】
解：∵ AB=AC，∠A=36?，
∴ ∠ABC=∠C=72?，
又BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠DBC=∠A=36?，
∴ BD=AD=BC，
∴ △ABC∽△BCD，
∴ BC:AC=CD:BC，即BC2=CD?AC=(AC-BC)?AC，
∵ AC=4，
∴ BC2=4(4-BC)，
BC2+4BC-16=0，
解得BC=2(5-1)cm．
故答案为：2(5-1)．
17.
【答案】
50?
【解答】
解：∵ 一个三角形的两个内角分别为60?和70?，
∴ 第三个内角为180?-60?-70?=50?，
∴ 这个三角形的最小的内角的度数为50?，
∵ 两个三角形是相似形，
∴ 另一个三角形的最小内角的度数为50?．
故答案为：50?．
18.
【答案】
1:4
【解答】
解：依题意，△ABC与△DEF位似，且位似比是1:2，故它们的面积之比是1:4．
19.
【答案】
8
【解答】
解：因为在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同，
∵ 1米高的直杆，量得其影长为0.5米，
∴ CDDE=10.5，而CD=2，
∴ DE=2×0.51=1，
∴ BE=BD+DE=3+1=4
∴ ABBE=10.5，
∴ AB=4×10.5=8米．
20.
【答案】
5.6
【解答】
解：根据镜面反射的性质可得：ZCED=∠AEB，又∠CDE=∠ABE=90?
所以△ABE-ADE
所以BEDE=ABCD，即8.42.4=AB1.6
解得：AB=5.6米．
故答案为：5.6.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）
21.
【答案】
解：如图，AE⊥BC，点E为正方形桌子的中心，
MN=0.8m，DE=1m，AE=3m，
∵ MN?//?BC，
∴ △AMN∽△ABC，
∴ MNBC=ADAE，即0.8BC=3-13，
∴ BC=1.2(m)，
∴ 桌面在地面上的投影（正方形）面积=1.22=1.44(m2)．
【解答】
解：如图，AE⊥BC，点E为正方形桌子的中心，
MN=0.8m，DE=1m，AE=3m，
∵ MN?//?BC，
∴ △AMN∽△ABC，
∴ MNBC=ADAE，即0.8BC=3-13，
∴ BC=1.2(m)，
∴ 桌面在地面上的投影（正方形）面积=1.22=1.44(m2)．
22.
【答案】
解：（1）设点P到AB的距离为xm，
∵ AB?//?CD，
∴ △PAB∽△PCD，
∴ x3=ABCD=25，
解得x=65m．
∴ 点P到AB的距离为65m；
（2）∵ AB?//?CD，PE⊥CD于D交AB于F，
∴ PF⊥AB，
∴ △PAB∽△PCD，
∴ PFPE=ABCD，
∵ EF=1，
∴ PFPF+1=25，
解得：PF=23．
【解答】
解：（1）设点P到AB的距离为xm，
∵ AB?//?CD，
∴ △PAB∽△PCD，
∴ x3=ABCD=25，
解得x=65m．
∴ 点P到AB的距离为65m；
（2）∵ AB?//?CD，PE⊥CD于D交AB于F，
∴ PF⊥AB，
∴ △PAB∽△PCD，
∴ PFPE=ABCD，
∵ EF=1，
∴ PFPF+1=25，
解得：PF=23．
23.
【答案】
解：（1）∵ DE⊥AC，
∴ ∠DFC=∠FCB=90?．
∴ BC?//?DF，
∴ 四边形BCDP是梯形．
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴ AC=AB2-BC2=152-92=12．
在△ACD中，∵ DA=DC，DF⊥AC，
∴ CF=AF=6，
∴ y=12(x+9)×6=3x+27(x>0)．
（2）∵ BC=9（定值）．理由如下：
∴ 要使△PBC的周长最小，只需PB+PC最小．
∵ 点P是线段AC垂直平分线上的点，
∴ PA=PC，
∴ PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
如图，显然当P与E重合时PB+PA最小，
此时x=DP=DE，PB+PA=AB，
在△DAE和△ABC中，
∵ BC?//?DF，
∴ ∠AEF=∠B，
∵ ∠DFA=∠ACB=90?，
∴ △DAE∽△ACB，
∴ ADDE=ACAB，
即ADx=1215，
在△AFE和△ACB中
∵ ∠FAE=∠CAB，∠AFE=∠ACB=90?，
∴ △AFE∽△ACB，
∴ EFAE=BCAB，
即6AE=1215，
∴ AE=152．
在Rt△ADE和△CAB中
∵ ∠AEF=∠B，
∴ tan∠AEF=tan∠B，
∴ ADAE=ACBC即AD152=129，
∴ AD=10，
∴ x=252．
∴ 当x=252时，△PBC的周长最小，此时y=1292．
【解答】
解：（1）∵ DE⊥AC，
∴ ∠DFC=∠FCB=90?．
∴ BC?//?DF，
∴ 四边形BCDP是梯形．
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴ AC=AB2-BC2=152-92=12．
在△ACD中，∵ DA=DC，DF⊥AC，
∴ CF=AF=6，
∴ y=12(x+9)×6=3x+27(x>0)．
（2）∵ BC=9（定值）．理由如下：
∴ 要使△PBC的周长最小，只需PB+PC最小．
∵ 点P是线段AC垂直平分线上的点，
∴ PA=PC，
∴ PB+PC=PB+PA，故只要求PB+PA最小．
如图，显然当P与E重合时PB+PA最小，
此时x=DP=DE，PB+PA=AB，
在△DAE和△ABC中，
∵ BC?//?DF，
∴ ∠AEF=∠B，
∵ ∠DFA=∠ACB=90?，
∴ △DAE∽△ACB，
∴ ADDE=ACAB，
即ADx=1215，
在△AFE和△ACB中
∵ ∠FAE=∠CAB，∠AFE=∠ACB=90?，
∴ △AFE∽△ACB，
∴ EFAE=BCAB，
即6AE=1215，
∴ AE=152．
在Rt△ADE和△CAB中
∵ ∠AEF=∠B，
∴ tan∠AEF=tan∠B，
∴ ADAE=ACBC即AD152=129，
∴ AD=10，
∴ x=252．
∴ 当x=252时，△PBC的周长最小，此时y=1292．
24.
【答案】
54(8-x)；
（2）∵ DE⊥EF，
∴ ∠BEF+∠AED=90?，
∵ ∠AED+∠ADE=90?，
∴ ∠BEF=∠ADE，
∵ EF?//?AC，
∴ ∠BEF=∠BAC，
∵ ∠DAE=∠ABC=90?，
∴ △ADE∽△BAC，
∴ AEBC=ADAB，
即x6=68，
解得：x=92，
∴ EF=54(8-x)=358；
（3）过点G作GH⊥AB于点H，
则四边形ADGH是矩形，
∴ GH=AD=6，
∵ EF⊥EG，
∴ ∠GEH+∠BEF=90?，
∵ ∠GEH+∠EGH=90?，
∴ ∠EGH=∠BEF，
∵ ∠EHG=∠B=90?，
∴ △EGH∽△FBE，
∵ EF?//?AC，
∴ △BEF∽△BAC，
∴ △HGE∽△BAC，
∴ EGAC=GHAB，
∴ EG10=68，
解得：EG=152，
∵ EF⊥EG，EF?//?AC，
∴ EG⊥AC，
∴ △AEH∽△ACB，
∴ AHEH=ABBC=86=43，
若△EFG∽△HEA，
则EFEG=EHAH，
∴ EF152=34，
解得：EF=458；
∴ AE=x=72；
若△EFG∽△HAE，
则EFEG=AHEH=43，
解得：EF=10，
此时x=0，不符合题意，舍去．
∴ 当AE=72时，△EFG与△AHE相似．
【解答】
解：（1）∵ 在矩形ABCD中，AD=6，AB=8，
∴ BC=AD=6，∠B=90?，
∴ AC=AB2+BC2=10，
∵ EF?//?AC，
∴ △BEF∽△BAC，
∴ EFAC=BEAB，
∵ AE=x，
∴ BE=AB-AE=8-x，
∴ EF10=8-x8，
解得：EF=54(8-x)；
（2）∵ DE⊥EF，
∴ ∠BEF+∠AED=90?，
∵ ∠AED+∠ADE=90?，
∴ ∠BEF=∠ADE，
∵ EF?//?AC，
∴ ∠BEF=∠BAC，
∵ ∠DAE=∠ABC=90?，
∴ △ADE∽△BAC，
∴ AEBC=ADAB，
即x6=68，
解得：x=92，
∴ EF=54(8-x)=358；
（3）过点G作GH⊥AB于点H，
则四边形ADGH是矩形，
∴ GH=AD=6，
∵ EF⊥EG，
∴ ∠GEH+∠BEF=90?，
∵ ∠GEH+∠EGH=90?，
∴ ∠EGH=∠BEF，
∵ ∠EHG=∠B=90?，
∴ △EGH∽△FBE，
∵ EF?//?AC，
∴ △BEF∽△BAC，
∴ △HGE∽△BAC，
∴ EGAC=GHAB，
∴ EG10=68，
解得：EG=152，
∵ EF⊥EG，EF?//?AC，
∴ EG⊥AC，
∴ △AEH∽△ACB，
∴ AHEH=ABBC=86=43，
若△EFG∽△HEA，
则EFEG=EHAH，
∴ EF152=34，
解得：EF=458；
∴ AE=x=72；
若△EFG∽△HAE，
则EFEG=AHEH=43，
解得：EF=10，
此时x=0，不符合题意，舍去．
∴ 当AE=72时，△EFG与△AHE相似．
25.
【答案】
（1）BE=DG,BE⊥DG;
（2）证明见解析；
（3）4
【解答】
（1）①：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
．．AE=AG，AB=AD，LBAD=LEAG=90?，
∴ _BAE=LDAG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD
\∠B．AE=∠D．AG
AE=AG
．．ΔABE=ΔADG(SAS)，
∴ BE=DG；
○如图2，延长BE交AD于G，交DG于H，
A_．B
图2
由①知，ΔABE=ΔADG，
∴ ．zABE=LADG，
LAGB+LABE=90?，
…．_AGB+LADG=90?，
2AGB=LDGH，
．．zDGH+LADG=90?，
．_DHB=90?，
．．BEIDG
（2）四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
．么BAD=LDAG，
．．zBAE=LDAG，
AD=2AB，AG=2AE，
∴ ABAD=AEAG=12
．．ΔABE-△ADG，
∴ ．zABE=LADG，
LAGB+LABE=90?，
…．_AGB+LADG=90?，
LAGB=LDGH，
．．zDGH+zADG=90?，
．．zDHB=90?，
．BEIDG；
（3）如图4，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
C
：EGIIAB，
．．zDME=zDAB=90?，
在RtΔAEG中，AE=1，
．．AG=2AE=2，
根据勾股定理得，EG=、5，
：AB=、5，
．．EG=AB，
：EGIIAB，
…四边形ABEG是平行四边形，
．AGIIBE，
AGlIEF，
…点B，E，F在同一条直线上如图5，
DC
Fl
c（________E
AB图5
.2AEB=90?，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE=AB2-AE==2，
由（3）知，ΔABE-△ADG，
∴ BEDG=ABAD=12
∴ 2DG=12
．．DG=4．