《形如
QUOTE
函数的初探》教学设计
课题
形如函数的初探
备课人
课时
一课时
授课时间
2020.11.02
教材分析与课标要求
教材分析：本节课是在学习了基本不等式与函数基本性质的基础上，通过对对号函数的初步研究，体会研究函数性质的基本方法课标要求：学会运用函数图像理解和研究函数的性质
三维目标
知识与技能
过程与方法
情感态度与价值观
以对勾函数为载体，进一步熟悉研究函数基本性质的基本方法；了解对勾函数的图象与性质；利用对勾函数的图象与性质解决实际问题。
通过对勾函数特例的研究，让学生体会研究一类函数的基本内容与方法；在由具体函数实例到一般函数概念的归纳过程中，培养学生的数学抽象素养；借助函数图象数形结合探索函数的性质，通过问题引发学生的学习兴趣，启动观察、分析、归纳、总结、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数形结合的数学思想和方法。
1.培养对数学问题不断深入研究的探索精神，提高实践能力。
导学环节
教师活动
学生活动
设计目的
导入
通过基本不等式与函数的性质学习中，我们已经熟悉了函数的图像与性质，首先我们一起复习这个函数的图像与性质。
问题的提出进一步激发学生的学生兴趣与热情。
基础层次问题
思考一：证明函数分别在和上的单调性。思考二：函数的图象与性质。3.思考三：证明函数在和的单调性。4.思考四：函数函数的图像与性质。5.思考五：证明在和上的单调性？6.思考六：函数的图像与性质。
1.学生复习这个函数的单调性证明与图像性质，为下面的思考做准备。2.通过思考一与思考二，学生可以类比出思考三思考四问题答案，为研究思考五思考六提供了思路。3.学生通过前面的问题可以直接类比得到函数的性质与图象。
1.以问题串的形式化解难点，解决重点。2.通过函数的类似性归纳总结出函数的性质与图像，让学生体会研究函数的一般方法。
合作探究
函数的图象与性质。（1）函数图象与之前的函数图象是否类似？（2）函数单调性的证明是否与之前函数单调性证明类似？（3）尝试得到函数的性质与图象。
学生通过前面的问题串，具备了研究这个函数的基本思路，由于参数大于0，提出系数a，便可得到与函数类似的性质。
让学生体会研究函数时由特殊到一般、化归转化、数形结合等数学思想方法，并在合作探究中学会互相帮助。同时，通过合作探究教师可以让学生自己解决此类函数的难点与重点问题。
典例分析
例一：已知函数在是减函数，在是增函数，求的值。
学生通过前面掌握了的图像与性质，明白通过基本不等式，当时，最小值点是函数单调性的变化点。
强化本节课研究的函数的性质。
例2.函数（1）当时，求函数的值域；（2）当时，求函数的最小值；（3）当时，求函数的最大值
学生自主完成，通过视频展台让学生讲解解题过程。
教师在学生完成过程中发现学生问题，强化本节课研究的函数性质，引导学生学会数形结合。
例3：已知函数,求
的最大值。
学生与老师一起完成
引导学生在函数变形的情况下抓住函数本质，解决问题。
能力提升
求函数在的最小值。
学生合作探究
引导学生在有参数的情况下学会分类讨论，类比二次函数定轴动区间的解决思路。
兴趣拓展
（1）函数的图象是什么情况？（2）函数的图象是什么情况？（3）函数的图象是什么情况？
学生结合函数解析式以及函数的性质大胆猜测，提升学生的学习兴趣。
利用几何画板演示当符号不同时函数图象与性质的变化，一方面提升了学生学习的兴趣，另一方面让学生学会利用数学软件研究函数。
小结
知识方面：函数的图像与性质。方法方面：巩固了研究函数的一般方法，三部曲——画函数图象，观察归纳特征，数学语言描述性质。思想方面：化归转化的思想，数形结合的思想，函数与方程的思想，特殊与一般的思想。
学生总结本节课内容。
体现本节课的目标。
课后检测
求函数在以下区间的最值。（1）（2）
（3）
2.求函数的值域。3.求函数的值域。4.设常数，若对一切正实数成立，求的取值范围。5.求函数的最大值。
学生自主完成
检测本节课效果
课后反思
本节课是学习了基本不等式、函数性质与研究了幂函数之后的一节函数新内容，在此基础上让学生进一步感悟体会研究函数的一般方法与步骤。在整个过程中教师扮演引领者的角色，让学生自主探究，合作学习，最大程度上激发学生的学习兴趣。
课堂整体氛围较好，但是可以进一步放手给学生，让学生更深层次的研究函数的性质。还可以更大程度的借助计算机来研究函数的性质，教学生利用几何画板构造自己所需的函数图像。(共22张PPT)
高一数学人教版（2019）必修第一册
定义域
值域
单调性
奇偶性
奇函数
如何求得？
2
4
4
定义域
值域
单调性
奇偶性
奇函数
?
定义域
值域
单调性
奇偶性
奇函数
（1）函数图象与之前的函数图象是否类似？
（2）函数单调性的证明是否与之前函数单调性证明类似？
（3）尝试得到函数的性质与图象。
（1）函数图象与之前的函数图象是否类似？
类似
?
（2）函数单调性的证明是否与之前函数单调性证明类似？
类似
?
?
?
定义域
值域
单调性
奇偶性
奇函数
由函数图象可得
?
?
?
?
小结
作业：完成学案的《课后检测》
形如y=ax
(a,b>0)函数的初探
V00r(x)-f(x2)=x1+1-x2-1
2<0,x1x2<1
(x1-x2)+
f(x1)-f(x2)
(x1-x2)+(
0,1单调递
x1·x2-1
(x1-x2)(
同理可证,函数在[1,+∞)是单调递增的
f(=x+
定义域
值域
单调性
奇偶性
v0因为0r(x1)-(x2)=x1+
所以x1-x2<0,x1x2<4
f(x1)-f(x2)>0
2)+4(
2]
(x1-x2)(1
同理可证,函数在[2,+∞)是单调递增的
)
4
f(=x+
定义域
值域
单调性
奇偶性
证明:V0因为0f(x1)-f(x2)=x1+
所以x1-x2<0,x1x2<
(x1-x2)+a(
(x1-x2)+a
所以f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)在(0,√a]单调递减
x1·x2-a
同理可证,函数在[√,+∞)是单调递增的
a
a
定义域
值域
单调性
奇偶性
b
证明:V0b
因为0f(x1)-f(x2)=x1+a
a
所以
2
X1x
所以f(x1)-f(x2)>0
(x1-x2)(1
所以f(x)在(0
单调递减
同理可证,函数在
∞)是单调递增的
|=,2vab)
vab
b
f(x)
ax
(a,b>0)
定义域
值域
单调
奇偶性
由函数性质可得,ya=3,a=9
24√2)
√2
(2,4)
0
(-2,-4)
x
知识方面:y=ax+(ab>0)函数的图像与性质
方法方面:巩固了研究函数的一般方法,“三步曲
画函数图象,观察归纳特征,数学语言描述性质
●思想方面:化归转化的思想,数形结合的思想,函数与
方程的思想,特殊与一般的思想。形如函数的初探
学习目标
理解并掌握对勾函数的图象与性质
通过对勾函数的图象与性质的研究，体会与感悟函数的研究方法。
课前导学
证明函数分别在和上的单调性。
2．证明函数在和的单调性。
定义域
值域
单调性
奇偶性
图象
三、知识构建
定义域
值域
单调性
奇偶性
图象
四、典例分析
例1.已知函数在是减函数，在是增函数，求的值。
例2.函数
（1）当时，求函数的值域；
（2）当时，求函数的最小值；
（3）当时，求函数的最大值
例3：已知函数,求的最大值。
五：能力提升
求函数在的最小值。
六：兴趣拓展
（1）函数的图象是什么情况？
（2）函数的图象是什么情况？
（3）函数的图象是什么情况？
七：课后检测
求函数在以下区间的最值。
（1）（2）
（3）
2.求函数的值域。
3.求函数的值域。
4.设常数，若对一切正实数成立，求的取值范围。
5.求函数的最大值。
