1.3线段的垂直平分线（第2课时）(有答案）

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北师大版八年级数学下册第1章三角形的证明
1.3
线段的垂直平分线
第2课时
线段的垂直平分线2
【知识清单】
1、三角形三边垂直平分线性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.当三角形是锐角三角形时，交点在其内部；当三角形
是钝角三角形时，交点在其外部；当三角形是直角三角形时，交点
在其斜边的中点上.
2、线段的垂直平分线的作法及其作用.
(1)线段的垂直平分线的作法：
已知：线段AB(如图1所示)，求作线段AB的垂直平分线.
作法：①分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，
两弧交于点C和D；
②作直线CD.直线CD就是线段AB的垂直平分线(直线CD与AB的交点就是线段AB的中点).
(2)这个基本作图的另一个作用就是找已知线段的中点.
【经典例题】
例题1、如图所示，A、B、C三点表示三个村庄的地理位置．为了解决吃水难的问题，自来水公司决定在三个村建厂，要求自来水厂到三个村的距离相等．请你设计出自来水厂O点的位置，并说明理由．
【考点】线段垂直平分线的作法和应用．
【分析】根据垂直平分线的性质，作出AB，BC的垂直平分线，两条直线相交于点O，点O位置即可确定．
【解答】连接AB、AC、BC，
作AB、BC的垂直平分线，两线交于点O，
点O就是自来水厂的位置.
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB=OC．
【点评】此题主要考查了应用与设计作图，根据垂直平分线的性质得出O点位置是解题关键．
例题2、如图，已知线段a，m(m>2a).
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，周长为m.
【考点】?基本作图．
【分析】本题的关键是求腰长，腰长.在线段m上作出长为(ma)的线段，然后，再作出该线段的垂直平分线找到中点，从而作出长为(ma)的线段，即为腰长.再根据已知两腰长和底边长作出等腰三角形△ABC．
【解答】作法：如图①(1)作射线EF，
(2)在射线EF是截取EH=m，EG=a，
(3)作GH的垂直平分线PQ，交GH于点D，
(4)如图②，作线段BC=a，
分别以点B和C为圆心，
以GD的长为半径作弧，两弧交于点A；
(5)连接AB、AC，△ABC为所作的三角形.
证明：∵EH=m，
EG=a，
∴GH=EHEG=ma，
∵PQ是GH的垂直平分线，交GH于点D，
∴GD=HD=(ma)，
∵AB=AC=GD=(ma)，BC=a，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=(ma)+
(ma)+a=m.
【点评】作图题重在分析，关键是将复杂的作图转化为基本作图．
【夯实基础】
1、到三角形三个顶点距离都相等的点是三角形(　　)的交点．
A．三边中垂线
B．三条中线
C．三条高
D．三条内角平分线
2、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是(
)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不能确定
3、已知，在△ABC中，AB=AC，O为不同于A的一点，且OB=OC，则直线AO与底边BC的关系为(　　)
A．平行
B．AO垂直且平分BC
C．斜交
D．AO垂直但不平分BC
4、下列条件中，不可以作出唯一的等腰三角形的是
(
)
A．已知腰长和底边长
B．已知一腰长和这腰的高的长
C．已知底角和顶角的度数
D．已知底边长和底边上中线的长
5、已知点P是△ABC三边垂直平分线的交点，点P到顶点A的距离为5，则用线段PA、PB、PC组成的三角形的周长为　　
　　?．
6、已知O是锐角△ABC三边垂直平分线的交点，且∠BAC=70°，则∠BOC=
．
7、在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B=
．
8、如图，已知线段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，BC上的高为h.
9、如图，已知：在△ABC中，AB，BC边上的垂直平分线相交于点P，
求证：点P在AC的垂直平分线上．
【提优特训】
10、如图，已知点O是△ABC三边垂直平分线的交点，连接OA、OB、OC，若∠BAO=14°，则∠ACB等于(
)?
?A．96°
B．86°
C．78°
D．76°
11、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AC=8，则AB的长为(
)
A．
B．4+
C．
D．12
12、已知在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交线段AC于D，若△ABC和△DBC
的周长分别是68cm和50cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是(
)
?A．18?cm和36?cm?
???B．18?cm和32?cm?
C．32?cm和18?cm?
??D．16?cm和38?cm?
13、如图所示，A，B是直线l外两点，在l上求作一点P，使PA＋PB最小，其作法是(
)
?
?A．连接BA并延长与l的交点为P?
B．连接AB，并作线段AB的垂直平分线与l的交点为P
C．过点B作l的垂线，垂线与l的交点为P?
D．过点A作l的垂线段AO，O是垂足，延长AO到A′，
使A′O=AO，再连接A′B，则A′B与l的交点为P
?
14、如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的中垂线，交BC于点E，交AB于点D，若AE是∠BAC的平分线，则∠B=
.
15、已知如图，在△ABC中，BC=21，AB的中垂线交BC于P，AC的中垂线交BC于Q，则
△APQ的周长
.
16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB
为等腰三角形，则符合条件的点P共有
个.
17、为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图).
(1)请你用尺规作图的方法确定点P的位置．(要求：写出已知、求作；不写作法，保留作
图痕迹)；
??
(2)若两村之间距离分别为：AB=5km，AC=5km，BC=6km，求医疗点P到各村的距离.
18、如图，
在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90?，E是AB的中点，过点B作CE的垂线，垂足为点G，与过点A与BC的平行的直线相交于点D，
(1)求证：BE=AD；
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
(3)试问△DBC是等腰三角形吗?并说明理由.
【中考链接】
19、(2020?吉林长春)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB>AC．按下列步骤作图：
?①分别以点B和点C为圆心，大于BC一半的长为半径作圆弧，
②作直线MN，与边AB相交于点D，连结CD．
?
下列说法不一定正确的是(
)
A．∠BDN=∠CDN
B．∠ADC=2∠B
C．∠ACD=∠DCB
D．2∠B+∠ACD=90°
?
20、(2020?哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CA
B'的度数为(
)
A．10°?
B．20°
?C．30°
?D．40°
21、
(2020?湖北十堰)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．若AE3，△ABD的周长
为13，则△ABC的周长为
．
22、(2020?湖南永州)∠AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，且∠AOB=60°，在∠AOB内有一点P(4，3)，M，N分别是OA，OB边上的动点，连接PM，PN，MN，则△PMN的周长的最小值是
．
参考答案
1、A
2、B
3、B
4、C
5、15
6、140°
7、70°或20°
10、D
11、A
12、C
13、D
14、30°
15、21
16、6
19、C
20、A
21、19
22、
8、如图，已知线段a，h.求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，BC上的高为h.
作法：(1)作线段BC=a，
(2)作线段BC的垂直平分线MN，
交BC于点D，
(3)在射线DM上截取DA=h，
(4)连接AB、AC，
△ABC为所求作的三角形.
9、如图，已知：在△ABC中，AB，BC边上的垂直平分线相交于点P，
求证：点P在AC的垂直平分线上．
证明：连接PA、PB、PC.
∵边AB，BC的垂直平分线交于点P，
∴PA=PB，PB=PC．
∴PA=PB=PC．
∴点P必在AC的垂直平分线上．
17、为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C不在同一直线上，地理位置如下图).
(1)请你用尺规作图的方法确定点P的位置．(要求：写出已知、求作；不写作法，保留作
图痕迹)；
??
(2)若两村之间距离分别为：AB=5km，AC=5km，BC=6km，求医疗点P到各村的距离.
(1)已知：A、B、C三点不在同一直线上.
求作：一点P，使PA=PB=PC.
作图：如图(1)
(2)如图(2)，
∵点P是AB和BC垂直平分线的交点，
∴BP=AP，且AD⊥BC于D，
∵AB=AC=5km，
AC=6km，
∴点D为BC的中点，
∴BD=CD==3(km)，
在Rt△ABD中，AD=(km)，
设PB=x，则PB=PA=x，PD=4x，
在Rt△PBD中，BD2+PD2=PB2，
∴32+(4x)2=x2，
解方程得，x=(km)，
∴PB=(km).
∴医疗点P到各村的距离km.
18、如图，
在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90?，E是AB的中点，过点B作CE的垂线，垂足为点G，与过点A与BC的平行的直线相交于点D，
(1)求证：BE=AD；
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；
(3)试问△DBC是等腰三角形吗?并说明理由.
证明(1)∵CE⊥BD，∠ABC=90?，
∴∠2+∠3=90?、∠1+∠1=90?
∴∠1=∠2
又∵AD∥BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠DAB=∠EBC=90°，
在△ABD和△BCE中，
∵，
∴△ABD≌△BCE
(ASA)，
∴BE=AD；
(2)∵E是AB的中点，
∴AE=BD，
∴AE=AD，
∵AB=BC、∠EBC=∠DAB=90°，
∴∠EAC=∠DAC=45°.
又∵AC=AC，
∴△ACE≌△ACD，
∴CE=CD，
∴AC是线段ED的垂直平分线；
(3)由(1)(2)知DB=EC、DC=EC，
∴DB=DC，
∴△DBC是等腰三角形.
第9题图
例题1图
第2题图②
第14题图
第17题图(1)
第17题图
第15题图
第17题图(2)
第9题图
第19题图
例题2图②
第22题图
第13题图
第8题图
第8题图
图1
例题2图
第10题图
第8题图
第18题图
第11题图
例题2图①
第21题图
第17题图
第18题图
第19题图
第20题图
例题1图
第16题图
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