2020-2021学年人教版九年级数学下册 第27章：相似 精选提升练习（四）（word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年人教版九年级数学下册 第27章：相似 精选提升练习（四）（word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 164.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-21 09:19:40 | ||
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文档简介
2020-2021学年人教版九年级数学下册
第27章：相似
精选提升练习（四）
1．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BPQ的面积为cm2；
（2）在点P，Q的运动中，是否存在时间t，使△BPQ为等腰三角形．若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
2．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC平分∠BAD，过点C作CE∥AD交AB于点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）若AB＝4，AD＝3，求EF的长．
3．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE＝3EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．
4．如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC、CD的中点，AE平分∠BAF、FE平分∠CFA，AE交BD于点G，CH⊥EF交EF于点H．
（1）证明：AG+HC＝AE；
（2）证明：AE?GA＝DG?EF．
5．现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为16：9；普屏的长宽比为4：3．
（1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由．
（2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸＝2.54cm，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为1cm），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少cm？（最后结果保留到整数，≈18.4，≈5.8）
（3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由．
6．已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
8．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
9．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上），若测得FM＝1.5米，DN＝1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
10．如图所示，直角三角板ABC放置于直角坐标系中，已知点B（0，2），点A（4，5），点C在第四象限，∠A＝60°，∠C＝30°，BC边与x轴交于点D．
（1）求AB的长度；
（2）求点C的坐标．
参考答案
1．解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，
∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AE⊥BC，
∴BE＝EC＝4cm，
∴AE＝＝＝3cm，
∵∠PFB＝∠AEB＝90°，∠B＝∠B，
∴△AEB∽△PFB，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝cm，BF＝cm，
∵△BPQ的面积为cm2，
∴×BQ×PF＝，
∴×t×＝，
∴t1＝1，t2＝4，
∴当t为1或4时，△BPQ的面积为cm2；
（2）当BP＝BQ时，则5﹣t＝t，
∴t＝，
当BQ＝PQ时，∵PQ2＝PF2+QF2，
∴t2＝[]2+[﹣t]2，
∴t1＝5（不合题意），t2＝，
当BP＝PQ时，则点P在BF的垂直平分线上，
∴＝，
∴t＝，
综上所述：t的值为或或时，△BPQ为等腰三角形．
2．（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACB∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AB?AD；
（2）解：∵AB＝4，AD＝3，
∴AC＝6，
∴＝＝2，
∴，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠CAD＝30°，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ACD＝60°，
∵CE∥AD，
∴∠ECA＝∠CAD＝30°，
∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴，
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，
∴，
∵CE∥AD，
∴∠DCE＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴＝＝．
∵CE∥AD，
∴△CEF∽△ADF，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE，
即∠DAE＝∠DCE，
在△AED和△CED中，
，
∴△AED≌△CED（AAS），
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）当AE＝3EF时，FG＝8EF．
证明：设EF＝k，则AE＝3k
∵△AED≌△CED，
∴CE＝AE＝3k，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠G＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠G，
又∵∠CEF＝∠GEC，
∴△CEF∽△GEC，
∴，
∴，
∴EG＝9k，
∴FG＝EG﹣EF＝8k，
∴FG＝8EF．
4．证明：（1）∵E、F分别是矩形ABCD边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，
∴∠HEC＝∠BGE，
∵AE平分∠BAF、FE平分∠CFA，
∴，，
∵AB∥CD，
∴∠BAF+∠AFC＝180°，
∴∠EAF+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∵BE＝EC，
∴△BGE≌△EHC（AAS），
∴GE＝HC，
∴AG+GE＝AG+HC＝AE；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠GBE，
∵∠GBE＝∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠ADG，
∵∠AEF＝∠AGD＝90°，
∴△DAG∽△AEF，
∴，
即AE?GA＝DG?EF．
5．解：（1）＝0.5625，＝0.75，
∵0.5625与0.618接近，
∴宽屏更适合人体工程学要求．
（2）设宽屏电视机的长为16xcm，宽为9xcm．
则对角线的长＝＝18.4x（cm），
由题意18.4x＝80×2.54，
∴x≈11.04，
∴宽屏电视机的长为176.64cm，宽为99.36cm，
根据进一法，可得宽屏电视机的长为177cm，宽为100cm，
∵边框宽都为1cm，
∴预留的长方形位置的长、宽分别为：178cm，101cm．
（3）设对角线的长为5a．则普屏的电视机的面积为12a2，
设宽屏电视机的长为16y，宽为9y，则对角线＝18.4y＝5a，
∴y＝0.27a，
∴宽屏电视机的面积＝144y2≈10.5a2＜12a2，
∴在相同尺寸的电视机屏幕中，普屏的屏幕面积大．
6．解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；
则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∵∠B＝90°，
∴分两种情况：
①当时，
即，
解得：t＝2.4；
②当时，
即，
解得：t＝；
综上所述：2.4秒或秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．
7．证明：（1）连接OD，如图所示：
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADO+∠BDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠CBA，
∴EB＝ED，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∵EB＝ED，
∴EC＝EB，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB．
8．解：（1）当AD＝CD时，如图3，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
（2）结论：CD＝BD．
∵△BCD∽△BAC，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝BD．
9．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1+3﹣1.5＝（x+2.5）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴＝．
同理，△EMF∽△AMB，
∴＝．
∵EF＝CD，
∴＝，即＝．
解得x＝5，
∵＝，
∴＝．
解得AB＝8．
答：大树AB的高度为8米．
10．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A（4，5），B（0，2），
∴AE＝4，BE＝5﹣2＝3，
由勾股定理得：＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵∠A＝60°，AB＝5，
∴BC＝AB
tan
60°＝5，
过C作CF⊥y轴于点F，
则∠BFC＝∠AEB＝90°
∵∠CBF+∠ABE＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△BFC∽△AEB，
∴，即，
∴，
∵OF＝BF﹣OB＝
∴点C的坐标为（，）．
第27章：相似
精选提升练习（四）
1．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点Q由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BPQ的面积为cm2；
（2）在点P，Q的运动中，是否存在时间t，使△BPQ为等腰三角形．若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
2．如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC平分∠BAD，过点C作CE∥AD交AB于点E，连接DE交AC于点F．
（1）求证：AC2＝AB?AD；
（2）若AB＝4，AD＝3，求EF的长．
3．如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F．
（1）求证：四边形ABCD是正方形；
（2）当AE＝3EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．
4．如图，点E、F分别是矩形ABCD边BC、CD的中点，AE平分∠BAF、FE平分∠CFA，AE交BD于点G，CH⊥EF交EF于点H．
（1）证明：AG+HC＝AE；
（2）证明：AE?GA＝DG?EF．
5．现代电视屏幕尺寸的设计，主要追求以下目标：一是更符合人体工程学要求（宽与长的比接近与0.618）；二是设计适当的长宽比使屏幕的面积尽可能大现行的电视机屏幕有“宽屏”和“普屏”两种制式，宽屏的长宽比为16：9；普屏的长宽比为4：3．
（1）哪种屏幕更适合人体工程学要求？请说明理由．
（2）一般地，电视屏幕的“几寸”指的是这个屏幕的长方形的对角线长有多少英寸，1英寸＝2.54cm，小明家想买80寸的宽屏电视机（边框宽都为1cm），并嵌入到墙中．则需要预留的长方形位置的长、宽各多少cm？（最后结果保留到整数，≈18.4，≈5.8）
（3）在相同尺寸的电视机屏幕中，宽屏的屏幕面积大还是普屏的屏幕面积大？请说明理由．
6．已知，如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P由点A出发沿AB方向向终点点B匀速移动，速度为1cm/s，点Q由点B出发沿BC方向向终点点C匀速移动，速度为2cm/s．如果动点P，Q同时从A，B出发，当P或Q到达终点时运动停止．几秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似？
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE．
（1）求证：△DBE是等腰三角形；
（2）求证：△COE∽△CAB．
8．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．
（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．
（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．
9．“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走3米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上），若测得FM＝1.5米，DN＝1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
10．如图所示，直角三角板ABC放置于直角坐标系中，已知点B（0，2），点A（4，5），点C在第四象限，∠A＝60°，∠C＝30°，BC边与x轴交于点D．
（1）求AB的长度；
（2）求点C的坐标．
参考答案
1．解：（1）如图，过点A作AE⊥BC于E，过点P作PF⊥BC于F，
∵AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AE⊥BC，
∴BE＝EC＝4cm，
∴AE＝＝＝3cm，
∵∠PFB＝∠AEB＝90°，∠B＝∠B，
∴△AEB∽△PFB，
∴＝，
∴＝，
∴PF＝cm，BF＝cm，
∵△BPQ的面积为cm2，
∴×BQ×PF＝，
∴×t×＝，
∴t1＝1，t2＝4，
∴当t为1或4时，△BPQ的面积为cm2；
（2）当BP＝BQ时，则5﹣t＝t，
∴t＝，
当BQ＝PQ时，∵PQ2＝PF2+QF2，
∴t2＝[]2+[﹣t]2，
∴t1＝5（不合题意），t2＝，
当BP＝PQ时，则点P在BF的垂直平分线上，
∴＝，
∴t＝，
综上所述：t的值为或或时，△BPQ为等腰三角形．
2．（1）证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴△ACB∽△ADC，
∴，
∴AC2＝AB?AD；
（2）解：∵AB＝4，AD＝3，
∴AC＝6，
∴＝＝2，
∴，
∴∠BAC＝30°，
∴∠BAC＝∠CAD＝30°，
∵∠ACB＝∠ADC＝90°，
∴∠B＝∠ACD＝60°，
∵CE∥AD，
∴∠ECA＝∠CAD＝30°，
∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴，
在Rt△ADC中，∠CAD＝30°，
∴，
∵CE∥AD，
∴∠DCE＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴＝＝．
∵CE∥AD，
∴△CEF∽△ADF，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠BCD＝90°，
∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠BAD﹣∠BAE＝∠BCD﹣∠BCE，
即∠DAE＝∠DCE，
在△AED和△CED中，
，
∴△AED≌△CED（AAS），
∴AD＝CD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形；
（2）当AE＝3EF时，FG＝8EF．
证明：设EF＝k，则AE＝3k
∵△AED≌△CED，
∴CE＝AE＝3k，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，
∴∠G＝∠DAE，
又∵∠DAE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠G，
又∵∠CEF＝∠GEC，
∴△CEF∽△GEC，
∴，
∴，
∴EG＝9k，
∴FG＝EG﹣EF＝8k，
∴FG＝8EF．
4．证明：（1）∵E、F分别是矩形ABCD边BC、CD的中点，
∴EF∥BD，
∴∠HEC＝∠BGE，
∵AE平分∠BAF、FE平分∠CFA，
∴，，
∵AB∥CD，
∴∠BAF+∠AFC＝180°，
∴∠EAF+∠AFE＝90°，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∵BE＝EC，
∴△BGE≌△EHC（AAS），
∴GE＝HC，
∴AG+GE＝AG+HC＝AE；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB＝∠GBE，
∵∠GBE＝∠BAE＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠ADG，
∵∠AEF＝∠AGD＝90°，
∴△DAG∽△AEF，
∴，
即AE?GA＝DG?EF．
5．解：（1）＝0.5625，＝0.75，
∵0.5625与0.618接近，
∴宽屏更适合人体工程学要求．
（2）设宽屏电视机的长为16xcm，宽为9xcm．
则对角线的长＝＝18.4x（cm），
由题意18.4x＝80×2.54，
∴x≈11.04，
∴宽屏电视机的长为176.64cm，宽为99.36cm，
根据进一法，可得宽屏电视机的长为177cm，宽为100cm，
∵边框宽都为1cm，
∴预留的长方形位置的长、宽分别为：178cm，101cm．
（3）设对角线的长为5a．则普屏的电视机的面积为12a2，
设宽屏电视机的长为16y，宽为9y，则对角线＝18.4y＝5a，
∴y＝0.27a，
∴宽屏电视机的面积＝144y2≈10.5a2＜12a2，
∴在相同尺寸的电视机屏幕中，普屏的屏幕面积大．
6．解：设t秒后，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似；
则PB＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
∵∠B＝90°，
∴分两种情况：
①当时，
即，
解得：t＝2.4；
②当时，
即，
解得：t＝；
综上所述：2.4秒或秒时，以Q，B，P为顶点的三角形与△ABC相似．
7．证明：（1）连接OD，如图所示：
∵DE是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
∴∠ADO+∠BDE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠CBA＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠CAB＝∠ADO，
∴∠BDE＝∠CBA，
∴EB＝ED，
∴△DBE是等腰三角形；
（2）∵∠ACB＝90°，AC是⊙O的直径，
∴CB是⊙O的切线，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE＝EC，
∵EB＝ED，
∴EC＝EB，
∵OA＝OC，
∴OE∥AB，
∴△COE∽△CAB．
8．解：（1）当AD＝CD时，如图3，∠ACD＝∠A＝48°，
∵△BDC∽△BCA，
∴∠BCD＝∠A＝48°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．
（2）结论：CD＝BD．
∵△BCD∽△BAC，
∵△BCD∽△BAC，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝BD．
9．解：设NB的长为x米，则MB＝x+1+3﹣1.5＝（x+2.5）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，
∴△CND∽△ANB，
∴＝．
同理，△EMF∽△AMB，
∴＝．
∵EF＝CD，
∴＝，即＝．
解得x＝5，
∵＝，
∴＝．
解得AB＝8．
答：大树AB的高度为8米．
10．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，
∵点A（4，5），B（0，2），
∴AE＝4，BE＝5﹣2＝3，
由勾股定理得：＝5；
（2）在Rt△ABC中，∵∠A＝60°，AB＝5，
∴BC＝AB
tan
60°＝5，
过C作CF⊥y轴于点F，
则∠BFC＝∠AEB＝90°
∵∠CBF+∠ABE＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△BFC∽△AEB，
∴，即，
∴，
∵OF＝BF﹣OB＝
∴点C的坐标为（，）．