2020-2021学年人教版九年级数学下册 第27章：相似 精选提升练习（三）（word版含解析）

2020-2021学年人教版九年级数学下册
第27章：相似
精选提升练习（三）
1．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点P在BC上，且BP：PC＝2：3，动点E在边AD上，过点P作PF⊥PE分别交射线AD、射线CD于点F、G．
（1）如图，当点G在线段CD上时，设AE＝x，△EPF与矩形ABCD重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（2）当点E在移动过程中，△DGF是否可能为等腰三角形？如可能，请求出AE的长；如不可能，请说明理由．
2．如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点D位BC中点，连接AD，AD＝4，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E．
（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由．
（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A′D′C′E′与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围．
3．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D为BC边上的动点（D不与B、C重合），∠ADE＝45°，DE交AC于点E．
（1）∠BAD与∠CDE的大小关系为　
　．请证明你的结论；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长；
（4）是否存在x，使△DCE的面积是△ABD面积的2倍？若存在，求出x的值，若不存在，请说明理由．
4．如图已知△ABC中AB＝AC＝10，BC＝16，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上，设DE的长为x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出这个函数的定义域．
5．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，D是边BC的中点，E是射线BA上一动点，直线DE交射线CA于F点．
（1）当DF＝DC时，求AF的值；
（2）当点E位于线段AB上时（与B、A不重合），设BE＝x，AF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）当△AEF为以FA腰的等腰三角形时，求x的值．
6．如图，在△ABC中，AD是角平分钱，点E在AC上，且∠EAD＝∠ADE．
（1）求证：△DCE∽△BCA；
（2）若AB＝3，AC＝4．求DE的长．
7．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，AE与CD相交于点F，过点E作EG∥CD交AC的延长线于点G．若AE平分∠BAC，CE＝CF．
（1）①求证：∠ABC＝∠ACD；
②求证：△EGC∽△CBD
（2）如图2，若∠BAC＝90°，AD＝2，BD＝6，求CG的长．
8．如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA＝DC，∠ADE＝∠B，边DE与AC相交于点F．
（1）求证：AB?AD＝DF?BC；
（2）如果AE∥BC，求证：＝．
9．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是圆上异于A、B的一点，连结BC并延长至点D，使CD＝BC，连结AD交⊙O于点E，连结BE．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）连结OC并延长，与以B为切点的切线交于点F，若AB＝4，CF＝1，求DE的长．
10．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠CBD的平分线BG交AC于E，交CD于F，且DG⊥BG．
（1）求证：BF＝2DG；
（2）若BE＝，求BF的长．
参考答案
1．解：（1）过点E作EH⊥BC，
∵EP⊥PF，
∴△PEH∽△GPC，
∴＝，
∵BP：PC＝2：3，BC＝5，
∴PB＝2，PC＝3，
∴GC＝?3．
∴y＝2×5﹣2x﹣×（2﹣x）×2﹣×3×＝x+（≤x＜2）；
（2）解：当点E在移动过程中，△DGF不能为等腰三角形，
理由是：∵要使△DFG是等腰三角形，∠GDF＝90°，
∴DF＝DG，
∴∠G＝∠GFD＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠GPC＝45°＝∠G，
∴CP＝CG＝3，
由（1）知：＝，
∴＝，
PH＝2，
即H和B重合，
∵EH⊥BC，
∴E和A重合，
即当AE＝0时，△DFG是等腰三角形，
故当点E在移动过程中，△DGF不能为等腰三角形．
2．解：（1）∵AB＝AC，D为BC中点，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，
又∵AE平分∠CAM，
∴∠MAE＝∠CAE，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝×180°＝90°，
∴∠AEC＝∠DAE＝∠ADC＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
（2）平移过程中有两种不同情况：
①当0≤t＜3时，重叠部分为五边形，
设C′E′与AC交于点P，A′D′与AB交于点Q，
∴E′P＝AE′＝（3﹣t）A′Q＝A′A＝t，
∴S＝S矩形A′D′CE′﹣S△AA′Q﹣S△AE′P
＝3×4﹣AA′?A′Q﹣AE′?E′P
＝12﹣t?t﹣（3﹣t）?＝﹣+4t+6；
②当3≤t≤6时，重叠部分为三角形，
设AB与C′E′交于点R，
∵C′E′∥AD，
∴△BC′R∽△BDA，
∴＝＝
∵BC′＝6﹣t，
∴C′R＝（6﹣t），
∴S＝S△BC′R＝BC′?C′R
＝（6﹣t）?（6﹣t）
＝（6﹣t）2，
∴S＝．
3．（本小题满分14分）
解：（1）相等；（1分）
证明如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°．如图1，
∵∠1+∠B+∠ADB＝180°，
∴∠1+∠ADB＝180°﹣∠B＝135°．
又∵∠2+∠ADE+∠ADB＝180°，
∴∠2+∠ADB＝180°﹣∠ADE（2分）
＝180°﹣45°＝135°，
即∠1+∠ADB＝∠2+∠ADB，
∴∠1＝∠2．（3分）
（2）由（1）知∠1＝∠2，又∵∠B＝∠C＝45°，
∴△DCE∽△ABD．（4分）
若BD＝x，则CD＝BC﹣BD＝2﹣x，
由△DCE∽△ABD得，即，
CE＝（2﹣x）x，
＝﹣x2+x，（5分）
y＝AE＝AC﹣CE＝2﹣（﹣x2+x）
∴y＝x2﹣x+2，（6分）
其中0＜x＜2．（7分）
（3）解：∵点D不能与B点重合，∴AD＝AE不能成立（8分）
（或：∵∠ADE＝45°，若AD＝AE，
则∠AED＝ADE＝45°，从而∠DAE＝90°，
即B与D重合，这与已知条件矛盾）．
①当AE、DE为腰，即AE＝DE时（如图2），
∠EAD＝∠EDA＝45°，此时，AD平分∠BAC，
∴D为BC边的中点（“三线合一”性质），
且E也为AC边的中点，∴AE＝1；（9分）
②当AD、DE为腰，即AD＝DE时（如图3），
由（1）△ABD∽△DCE知，此时AD与DE为对应边，
∴△ABD≌△DCE，DC＝AB＝2，
BD＝BC﹣CD＝2﹣2，AE＝AC﹣EC
＝2﹣BD＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；（10分）
综上所述，当△ADE是等腰三角形时，
AE的长为1或4﹣2；（11分）
（4）不存在．（12分）
原因如下：∵△DCE∽△ABD，若△DCE的面积是△ABD面积的2倍，则＝2，
从而＝，CE＝BD，﹣x2+x＝x，
解得x＝0，即BD＝0，就是说D点与B点重合，（13分）
这与已知条件矛盾，
∴不存在x，使△DCE的面积是△ABD面积的2倍．（14分）
4．解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC＝10，BC＝16，
∴BM＝BC＝8，
在Rt△ABM中，AM＝＝6，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，
∴MN＝DE＝x，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC＝AN：AM，
∴，
解得：DG＝﹣x+16，
∴y＝S矩形DEFG＝DE?DG＝x?（﹣x+16）＝﹣x2+16x（0＜x＜6）．
5．解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DF＝DC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝∠F，
∴△ABC∽△DFC，
∴，
∴，
∴CF＝12.8，
∴AF＝2.8；
（2）取AB的中点M，联结DM．
∵D是边BC的中点，
∴DM∥AC，DM＝，
∴△AFE∽△MDE，
∴，
∴，
∴，
函数定义域为5＜x＜10；
（3）当点E位于线段AB上时，
①若AF＝AE，即＝10﹣x，
解得x＝10
舍去，
②若AF＝EFcos∠FAE＝，
5×＝?（x﹣5）
x＝，
当点E位于线段BA延长线上时，此时y＝，
①若AF＝AE，即＝x﹣10，
解得x＝10舍去，
②若AF＝EFcos∠FAE＝，
y＝（x﹣10），
解得x＝舍去．
综上所述，当△AEF为以FA腰的等腰三角形时，x＝．
6．（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EDA，
∵∠EAD＝∠ADE，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AB∥DE，
∴△DCE∽△BCA；
（2）解：∵∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
设DE＝x，
∴CE＝AC﹣AE＝AC﹣DE＝4﹣x，
∵△DCE∽△BCA，
∴DE：AB＝CE：AC，
即x：3＝（4﹣x）：4，
解得：x＝，
∴DE的长是．
7．解：（1）①证明：∵CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CFE．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵∠CEF＝∠ABC+∠BAE，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠ABC＝∠ACD；
②证明：∵EG∥CD，
∴∠CEG＝∠DCB，∠ACD＝∠G，
∵∠ABC＝∠ACD，
∴∠ABC＝∠G，
∴△EGC∽△CBD；
（2）在△AEB和△AEG中，
∴△AEB≌△AEG（AAS），
∴AG＝AB．
∠ABC＝∠G，
∵AD＝2，BD＝6，
∴AB＝AD+BD＝2+6＝8，
∴AG＝8．
∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AB：AC＝AC：AD，
∴AC2＝AB?AD＝8×2＝16，
∴AC＝4（舍负），
∴CG＝AG﹣AC＝8﹣4＝4．
8．（1）证明：∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
又∵∠ADE＝∠B，
∴△ABC∽△FDA，
∴＝，
∴AB?AD＝DF?BC；
（2）证明：∵∠ADE+∠CDF＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，
∴∠CDF＝∠BAD，
∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CDF，∠C＝∠EAF，
∴∠BAD＝∠E，
又∵∠ADE＝∠B，
∴△ABD∽△EDA，
∴＝，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∴∠EAF＝∠DAC，即AC平分∠DAE，
作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，
则FM＝FN，
∵＝＝＝，
∴＝．
9．证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BD，
又∵CD＝BC，
∴AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，
∴∠BAC＝∠BAD，AB＝AD，BC＝BD，
又∵∠BAC＝∠BOC，
∴∠BOC＝∠BAD，
∵BF是⊙O的切线，
∴∠FBO＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠OBF，
∴△OBF∽△AEB，
∴，
∵AB＝4，CF＝1，
∴OB＝2，OF＝OC+CF＝3，
∴，
∴AE＝，
∴DE＝AD﹣AE＝．
10．（1）证明：延长DG、BC交于点H，
∵BG平分∠CBD，
∴∠1＝∠2，
∵DG⊥BG，
∴∠BGD＝∠BGH＝90°，
又∵BG＝BG，
∴△BGD≌△BGH（ASA），
∴BD＝BH，
∴DH＝2DG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCF＝∠DCH＝90°，
又∵∠BGD＝90°，∠3＝∠4，
∴∠2＝∠5，
∴△BCF≌△DCH（ASA），
∴BF＝DH，
∴BF＝2DG；
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝∠BDC＝45°，
∴∠BCE＝∠BDF，
又∵∠1＝∠2，
∴△BEC∽△BFD，
∴，
∵BE＝，
∴BF＝．