2020-2021学年九年级数学人教版下册 第27章：相似 精选提升练习（二） (Word版 含解析)

2020-2021学年人教版九年级数学下册
第27章：相似
精选提升练习（二）
1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E在线段AB上，CF⊥CE，CF＝CE，EF交AC于G，连接AF．
（1）填空：线段BE、AF的数量关系为　
　，位置关系为　
　；
（2）若当＝时，求证：＝2．
2．一块直角三角形木板的面积为1.5m2，一条直角边AB为1.5m，怎样才能把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用所学的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗不计，计算结果中的分数可保留）
3．在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC为格点三角形（顶点是网格线的交点）．
（1）画出△ABC先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在第一象限画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1．
4．已知：如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，过点C作射线CP∥AB，D为射线CP上一点，E在边BC上（不与B、C重合），且∠DAE＝45°，AC与DE交于点O．
（1）求证：△ADE∽△ACB；
（2）如果△COD与△BEA相似，求CE：BE的值．
5．如图，BO是△ABC的角平分线，延长BO至D使得BC＝CD．
（1）求证：△AOB∽△COD．
（2）若AB＝2，BC＝4，OA＝1，求OC长．
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC上一点，∠BAE＝∠DAC．
（1）求证：△BAE∽△BCA．
（2）若AB＝6，AD＝9，求CE的长．
7．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E在边CB的延长线上，且∠EAC＝90°，AE2＝EB?EC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）延长DB、AE交于点F，若AF＝AC，求证：AE＝BF．
8．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F．
（1）求证：△ACD∽△BFD；
（2）若AC＝BF，求∠ABD的度数．
9．在锐角△ABC中，边BC长为18，高AD长为12
（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；
（2）设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．
10．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．
（1）当t为何值时，PQ⊥AC？
（2）设△APQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
参考答案
1．（1）解：∵CF⊥CE，∠ACB＝90°，
∴∠FCA+∠ACE＝∠ACE+∠BCE＝90°，
∴∠FCA＝∠ECB，
在△ACF和△BCE中，
，
∴△ACF≌△BCE（SAS），
∴BE＝AF，∠FAC＝∠EBC，
∵∠EBC+∠CAE＝90°，
∴∠FAC+∠CAE＝90°
（2）证明：作GM⊥AB于M，GN⊥AF于N，
∵△ACF可由△BCE绕点C顺时针方向旋转90°而得到，
∴AF＝BE，∠CAF＝∠CBE＝45°．
∴AE＝2AF，∠CAF＝∠CAB，
∴GM＝GN．
∴S△AEG＝2S△AFG，
∴EG＝2GF，
∴＝2．
2．解：由AB＝1.5m，S△ABC＝1.5m2，可得BC＝2m，
由图甲，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高，BH交DE于P，交AC于H．
由AB＝1.5m，BC＝2m，
得AC＝＝2.5（m），
由AC?BH＝AB?BC
可得：BH＝＝1.2（m），
设甲设计的桌面的边长为xm，
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴＝，即＝，
解得x＝（m），
由图乙，若设乙设计的正方形桌面边长为ym，
由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴＝，即＝，
解得y＝（m），
∵x＝，y＝，
∴x＜y，即x2＜y2，
∴S正方形甲＜S正方形乙，
∴第二个正方形面积大
3．解：（1）△A1B1C1；如图所示．
（2）△A2B2C2如图所示．
4．（1）证明：由题意可知∠CAD+∠CAE＝∠CAE+∠BAE＝45°，
∴∠CAD＝∠BAE；
∵CP∥AB，
∴∠ACD＝∠CAB＝45°．
∴△ACD∽△ABE，
∴＝，即＝，
又∵∠DAE＝∠CAB＝45°，
∴△ADE∽△ACB．
（2）解：在△COD与△BEA中，∠DCO＝∠B＝45°，∠DOC与∠AEB均为钝角，
∴如果△COD与△BEA相似，只能是△COD∽△BEA，
∴∠1＝∠2．
∵∠AEC＝∠AED+∠3＝45°+∠3，∠AEC＝∠B+∠2＝45°+∠2，
∴∠3＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∴CE＝CD．
∵CP∥AB，
∴∠DCE+∠B＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠B＝135°，
∴∠1＝∠2＝∠3＝（180°﹣∠DCE）＝22.5°，
∴∠2＝∠CAB，即AE为角平分线．
如答图2，过点E作EG⊥AB于点G，则EG＝CE，且△BEG为等腰直角三角形．
∴EG＝BG＝CE＝CD，BE＝EG，
∴CE：BE＝．
5．解：（1）∵BO是△ABC的角平分线，
∴∠ABO＝∠CBO，
∵BC＝CD，
∴∠CBO＝∠D，
∴∠ABO＝∠D，
又∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD；
（2）∵BC＝4，
∴BC＝CD＝4，
∵△AOB∽△COD，
∴＝，即＝，
解得：OC＝2．
6．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE＝∠ACB，
∵∠B＝∠B，
∴△BAE∽△BCA；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝9，
由（1）知，△BAE∽△BCA，
∴，
∴BA2＝BE?BC，
∴BE＝＝＝4，
∴CE＝BC﹣BE＝9﹣4＝5．
7．证明：（1）∵AE2＝EB?EC
∴
又∵∠AEB＝∠CEA
∴△AEB∽△CEA
∴∠EBA＝∠EAC
而∠EAC＝90°
∴∠EBA＝∠EAC＝90°
又∵∠EBA+∠CBA＝180°
∴∠CBA＝90°
而四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是矩形
即得证．
（2）∵△AEB∽△CEA
∴即，∠EAB＝∠ECA
∵四边形ABCD是矩形
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠ECA
∴∠EBF＝∠OBC＝∠ECA＝∠EAB
即∠EBF＝∠EAB
又∵∠F＝∠F
∴△EBF∽△BAF
∴
∴
而AF＝AC
∴BF＝AE
即AE＝BF得证．
8．（1）证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠DAC+∠C＝90°，∠FBD+∠C＝90°，
∴∠DAC＝∠FBD，又∠BDF＝∠ADC＝90°，
∴△ACD∽△BFD；
（2）解：∵△ACD∽△BFD，AC＝BF，
∴△ACD≌△BFD，
∴DA＝DB，又AD⊥BC，
∴∠ABD＝45°．
9．解：（1）∵△AEF∽△ABC，
∴＝，
∵边BC长为18，高AD长为12，
∴＝＝；
（2）∵EH＝KD＝x，
∴AK＝12﹣x，EF＝（12﹣x），
∴S＝x（12﹣x）＝﹣（x﹣6）2+54，
当x＝6时，S有最大值为54．
10．解：（1）∵PQ⊥AC，
∴∠AQP＝∠C＝90°，
∴PQ∥BC，
∴＝，
在Rt△ACB中，AB＝＝＝5，
∴＝，
解得t＝，
∴t为时，PQ⊥AC．
（2）如图，作PH⊥AC于H．
∵PH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴PH＝（5﹣t），
∴S＝?AQ?PH＝?t?（5﹣t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴t＝，S有最大值，最大值为．