28.1(3)圆周角导学案
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文档简介
科目：九年级数学 时间
第 28、3 课（章） 题目：圆周角 第 节
学习目标：
1、理解圆周角的概念
2、 理解圆周角定理的证明
3、 掌握圆周角定理的初步运用
教学重难点：重点 圆周角定理的运用，难点 圆周角定理的证明
教辅设备：教具 圆规、直尺、投影仪、自制投影片
教学流程
激情导入：
提问：1、什么是圆心角？（出示圆心角）
2、圆心角的度数与弧的度数有什么联系？
3、如果将圆心角的顶点由圆心的位置移到圆上，还是圆心角吗？
自主探究：
如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），
那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB等于多少度？
我们可以看到，OA，OB，OC都是半径,
OA＝ ＝ ，
△AOC、△BOC都是 三角形，
∠1＝∠ ，∠4＝∠
∠1 +∠4 =∠ +∠
又∠ACB=∠2+∠3
∠ACB=∠ +∠
又∠1＋∠4＋∠ACB＝180°，
∠ACB＝ °.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB都等于90°，
即 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．
反之， 90°的圆周角所对的弦是圆的直径．
合作学习： 那么对于一般的圆周角，又有什么规律呢？
如图23.1.10，∠ACB、 ∠ADB都是弧AB所对的圆周角．
∠AOB是弧AB所对的圆心角．∠ACB、 ∠ADB、∠AOB有什么关系？
试一试
（1） 用量角器分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数，
你发现： ∠ACB = ° ∠ADB= °
∠ACB ∠ADB
再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.
你发现: ∠ACB ∠ADB
（2） 分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，
你发现: ∠AOB= ° ∠ACB =∠ADB= ∠AOB
我们发现：同弧所对的圆周角的度数相等. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半．
为了验证这个猜想，如图23.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部．
我们来分析一下第一种情况： 如图23.1.11（1），
由于OA＝OC， 因此 ∠A＝∠C，
而∠AOB是△OAC的外角，所以 ∠AOB=∠ +∠
∠C＝∠AOB.
对（2）、（3），有同样的结论.
由此，可以得出：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．
小结：在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的
一半； 相等的圆周角所对的弧相等．
例1 如图23.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
解 ：因为AB是⊙O的直径，而直径所对的圆周角是 ，
所以∠ABC＝180°－∠A－∠ACB
＝
＝ °．
堂堂清检测：
判断题
（1）直径所对的圆周角是直角。 （ ）
（2）90°的圆周角所对的弦是直径。 （ ）
（3）相等的圆周角所对的弧相等。 （ ）
（4）同弧或等弧所对的圆周角相等。 （ ）
（5）等弦所对的圆周角相等。 （ ）
在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，
则这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为 。
如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，
则∠OBC= °.
4.试找出图中所有相等的圆周角
5.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB＝∠CBA，∠COB与∠COA相等吗？为什么？
第 28、3 课（章） 题目：圆周角 第 节
学习目标：
1、理解圆周角的概念
2、 理解圆周角定理的证明
3、 掌握圆周角定理的初步运用
教学重难点：重点 圆周角定理的运用，难点 圆周角定理的证明
教辅设备：教具 圆规、直尺、投影仪、自制投影片
教学流程
激情导入：
提问：1、什么是圆心角？（出示圆心角）
2、圆心角的度数与弧的度数有什么联系？
3、如果将圆心角的顶点由圆心的位置移到圆上，还是圆心角吗？
自主探究：
如图，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B），
那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB等于多少度？
我们可以看到，OA，OB，OC都是半径,
OA＝ ＝ ，
△AOC、△BOC都是 三角形，
∠1＝∠ ，∠4＝∠
∠1 +∠4 =∠ +∠
又∠ACB=∠2+∠3
∠ACB=∠ +∠
又∠1＋∠4＋∠ACB＝180°，
∠ACB＝ °.
因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB都等于90°，
即 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）．
反之， 90°的圆周角所对的弦是圆的直径．
合作学习： 那么对于一般的圆周角，又有什么规律呢？
如图23.1.10，∠ACB、 ∠ADB都是弧AB所对的圆周角．
∠AOB是弧AB所对的圆心角．∠ACB、 ∠ADB、∠AOB有什么关系？
试一试
（1） 用量角器分别量一量图中弧AB所对的两个圆周角的度数，
你发现： ∠ACB = ° ∠ADB= °
∠ACB ∠ADB
再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化.
你发现: ∠ACB ∠ADB
（2） 分别量出图23.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，
你发现: ∠AOB= ° ∠ACB =∠ADB= ∠AOB
我们发现：同弧所对的圆周角的度数相等. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半.
由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半．
为了验证这个猜想，如图23.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部．
我们来分析一下第一种情况： 如图23.1.11（1），
由于OA＝OC， 因此 ∠A＝∠C，
而∠AOB是△OAC的外角，所以 ∠AOB=∠ +∠
∠C＝∠AOB.
对（2）、（3），有同样的结论.
由此，可以得出：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半．
小结：在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的
一半； 相等的圆周角所对的弧相等．
例1 如图23.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
解 ：因为AB是⊙O的直径，而直径所对的圆周角是 ，
所以∠ABC＝180°－∠A－∠ACB
＝
＝ °．
堂堂清检测：
判断题
（1）直径所对的圆周角是直角。 （ ）
（2）90°的圆周角所对的弦是直径。 （ ）
（3）相等的圆周角所对的弧相等。 （ ）
（4）同弧或等弧所对的圆周角相等。 （ ）
（5）等弦所对的圆周角相等。 （ ）
在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，
则这条弧所对的圆心角和圆周角的度数分别为 。
如图，∠A是⊙O的圆周角，∠A＝40°，
则∠OBC= °.
4.试找出图中所有相等的圆周角
5.如图，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠CAB＝∠CBA，∠COB与∠COA相等吗？为什么？