《椭圆及其标准方程》教学设计
【设计理念】
以单元整体性作为新的设计理念，把三种圆锥曲线在第一节课全部展示，在教学过程中重点强调了坐标法对于研究圆锥曲线的重要作用。充分利用各种学习资源（包括文字教材、音像资料、多媒体课件、软件工具以及从Internet上获取的各种教学信息等等），通过
“情境创设”、“协作学习”、“小组研讨”，逐步体会椭圆及其标准方程的获得过程，培养学生的数学审美素养、数学运算素养和数形结合素养。介绍坐标法和机械数学的发展历程和世界及中国的著名数学家吴文俊的“吴方法”，激励同学们学习的斗志，学习榜样的力量，了解数学历史和文化。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，让学生体会蕴涵在其中的思想方法。在“椭圆及其标准方程”的引入与推导中，遵循学生的认识规律，通过动手实践、观察思考、合作交流、应用反思等过程，让学生逐步将认识由感性上升到理性，把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学，努力揭示知识的发生、发展过程。
【教材分析】
解析几何是数学一个重要的分支，它沟通了数学内数与形、代数与几何等最基本对象之间的联系。平面解析几何问题，就是借助建立适当的坐标系，科学合理地把几何问题代数化，运用代数的方法来研究几何问题。
《椭圆及其标准方程》2019人教A版新教材选择性必修第一册第三章的第一节，是继学习圆以后运用“曲线与方程”思想解决二次曲线问题的又一实例，从知识上说，本节课是对坐标法研究几何问题的又一次实际运用，同时也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为进一步研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础，因此本节课起到了承上启下的重要作用．
【学情分析】
知识层面：在选择性必修第一册第二章里学生已经学习了直线和圆的方程，并初步熟悉了求曲线方程的一般方法和步骤，具备主动探究椭圆知识的基础；根据日常生活中的经验，学生对椭圆有了一定的认识，但仍没有上升到成为“概念”的水平，将感性认识理性化将会是对他们的一个挑战；在初中阶段没有涉及过含两个字母、两个根式的方程化简问题；
学习层面：椭圆与圆相似，在生活中常见，相比函数等抽象概念，学生更易理解，因此在学习中学生更易接受，学习兴趣也更加浓厚。学生已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。在思维上，学生已经具备一定的抽象思维能力，对本节课的内容不难理解。
难度层面：学生的计算能力是需要不断培养的，本节课涉及两个根式的和的化简，对学生而言，是一个难点。新课标强化对数学运算能力的培养，因此本节课将花更多时间在标准方程的推导，目的，培养学生的运算能力和数据分析能力，也是为下节课对双曲线的推导做准备。
【教法分析】
结合生活经验观察发现、启发引导、探究合作。在学生的生活体验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件,精心构建学生自主探究的教学平台,启发引导学生观察,想象,思考,实践,从而发现规律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得知识,体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。
【教学目标】
掌握椭圆的定义；
理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。
经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，逐步提高学生的观察、分析、归纳、类比、概括能力；
通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法——坐标法，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。
5，通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。
【教学重点难点】
教学重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式
教学难点：椭圆的标准方程的建立和推导教学方法
【教学准备】
使用多媒体搜索相关视频，利用几何画板做出椭圆图形，通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学资料制作多媒体课件，自制学案。
【教学过程】
创设情景引入新课
情景1
情景2
学生观察、学生举例、学生思考后回答。
二．参与活动探索新知
复习圆的定义、圆的标准方程和圆的标准方程获得的方法。
让学生自己动手画图，使其探究性学习，再提出以下问题：
a.
在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
b.
在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？
c.移动的笔尖（动点）满足什么几何条件？
d.
在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
同桌同学按照老师的要求合作画图，并思考轨迹上的点具备什么特点。
展示学生成果。请学生代表本小组交流探究结论。
根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义——与两个定点的距离之和为定长
（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）．
几何画板演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想
三．互动探究深化概念
教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
思考：焦点为的椭圆上任一点M，有什么性质
令椭圆上任一点M，则有
四．研讨探究推导方程
为了突出椭圆标准方程这一重点，再进一步启发：圆心是圆的中心，那么在椭圆中，两焦点连线中点不也是椭圆的中心吗？那么我们如何建系，才能使所得方程更简洁呢？学生在问题诱导下，可能大部分会选择两焦点连线中点为原点，以两焦点所在直线作为x轴建立平面直角坐标系，但还可能有学生以两焦点所在直线作为y轴，甚至还会有个别同学坚持以某一个焦点为原点．
对于同学们的意见，要给予充分肯定，并鼓励他们按照不同的建系方案进行推导．
五．小组讨论推导方程
为了突破难点，在学生推导过程中进行思维点拨：
我们通常用什么方法化简含有根号的式子？本式是直
接平方好呢，还是整理后再平方呢？让学生以小组为
单位一起讨论研究，时间5分钟，并给于学生推导的
指导，让学生充分展示。
对移项平方，直接平方，分子有理化等方法都加
以肯定，寻找方法。学生基本完成后，我在投影仪上
展示学生不同的推导过程让学生分析讨论．
学生讨论后可能会形成以下意见：经过整理后再
平方过程较简单；以两焦点连线中点为原点建系所得
方程形式较简单，但仍不是很简洁．
知识拓展了解文化
七．数形结合强化知识
八．例题研讨变式精析
九．练习检测当堂巩固
十．归纳小结
深化提高
板书设计
椭圆的定义
椭圆标准方程的推导过程书写
例1：
2、椭圆的标准方程
（1）写关键步骤
（1）、焦点在轴上
（2）详写
（2）、焦点在轴上
设计意图：
通过“嫦娥二号”运行轨道图片，激发学生兴趣，得出“嫦娥二号”绕月球运行的轨迹是椭圆，从而引出课题
设计意图：
引入生活情境激发学生的学习欲望，自然引入新课，同时与其实际相联系，拓宽学生思维，发展他们联想、类比能力。
使学生在感叹祖国科技辉煌发展的氛围中认识椭圆。
设计意图：
用实例寻找圆与椭圆的关系，自然引出复习圆的定义及标准方程的复习。
设计意图：
用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学。
设计意图：
给学生提供一个动手操作，合作学习的机会；通过实验让学生去探究“满足什么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图，自己思考问题，由此培养学生的自信心。
设计意图：
使学生经历椭圆概念的生成和完善过程，提高其归纳概括能力，加深对椭圆本质的认识，并逐渐养成严谨的科学作风
结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是
；
（2）当2a=2c时，轨迹是
；
（3）当2a<2c时，
；
设计意图：
充分发挥学生的学习主动性。
通过坐标系的不同选择，用不同的方法得到不同的方程，通过比较体会曲线的方程的不确定性，理解曲线与方程的关系，感受恰当选择坐标系的优越性，感受标准方程的简洁、对称、和谐之美，并在实践中通过对比提高决策能力、计算能力、培养学生简约的思维能力。
培养学生的观察、分析归纳能力。
设计意图：
加强学生对数学运算能力的培养，为下一节研究双曲线的标准方程做好铺垫
设计意图：
数形结合，让学生结合图形强化三个基本量的位置关系和数量关系。
设计意图：
通过类比得到焦点在y轴的标准方程，提升类比推理的数学能力。
设计意图：
通过数学历史和数学家的故事激励学生学习的积极性，树立榜样的力量，提升自己对人生的思考。
设计意图：
通过图表强化重要知识，比较异同，加深印象，明确重要知识点。
设计意图：
培养学生运用知识解决问题能力
解决情景设置中的问题
设计意图：
会用待定系数法与定义法求椭圆的标准方程
设计意图：
摆脱传统教学中教师小结的做法，以表格形式出现，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识
设计意图：
让学生自己小结，不仅仅总结知识，更重要的是总结数学思想方法，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。强化巩固本节内容，激发学生学习的兴趣，提高数学文化品位。圆及其标准方程》评测练习
基磁达标】
椭圆
离为
焦点的距离为(
B.6
椭
标是
正确的一项
(C)
b
64,b=36
知F,F2是定点
满足|MF1
(A)椭圆(
线(C)圆(D)线段
的椭圆的标准方程是
6.椭圆
的焦距
若CD为过左焦
△F,C
写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点坐标分别是(40)、(4,0),椭圆
P到两焦点的距离
和等于
两个焦点坐标分别是(0
且
能力提升
知椭圆的方程
轴
方程
表示椭圆,则α的取值范围
n(2a
B.
K
k
(k∈z)
k丌
(k∈z)
圆以坐标轴为对称轴
短半轴之和为
椭圆方程
为
在椭圆
椭圆的焦点
则P点的
椭圆
(a
两个焦点及
角
顶点,且椭圆上的点到焦点距离的最小值为
求椭圆的方程
知椭圆
离是长轴两端
离的等
项,求P点坐(共42张PPT)
教材：2019人教A版数学选择性必修第一册
?
?
?
?
椭圆
双曲线
抛物线
创设情景引入新课
对称美和谐美
这么美的椭圆该如何精确地设计、制作呢？
活动一：
用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在水平桌
面上，水平面是什么形状．当端起水杯喝水
时，水杯倾斜，再观察水平面
参与活动探索新知
类比旧知获取新知
活动二：
1.
圆是怎么画出来的？用手中的绳怎么画一个圆？
2.圆是如何定义的？
平面内到定点的距离为定长的点的轨迹叫做圆。
3.圆的标准方程是什么形式的？
o
x
y
b
4.我们是用什么方法推导圆的标准方程的？
坐标法
a
R
x
y
互动探究形成概念
活动三：
1.椭圆怎么画出来？
将圆心从一点“分裂”成两点，同桌一组合作，一人两手将绳子两个端点固定在学案的两个点
上，一人用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，观察……
a.
在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
b.
在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？
d.
在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
c.移动的笔尖（动点）满足什么几何条件？
互动探究深化概念
文字叙述：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（
）的点的轨迹叫椭圆。
符号叙述：
若设M为椭圆上的任意一点，
|MF1|+|MF2|=定长
a.
在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？
b.
在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？
d.
在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？
c.移动的笔尖（动点）满足什么几何条件？
1.两定点之间的距离与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？请大家试一下
2．绳长能小于两定点之间的距离吗？
活动四：
结论：绳长记为2a，两定点间的距离记为2c(c≠0).
（1）当2a>2c时，轨迹是
；
（2）当2a=2c时，轨迹是
；
（3）当2a<2c时，
；
椭圆
以F1、
F2为端点的线段
无轨迹
定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
大于|F1F2|
互动探究深化概念
文字叙述：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（
）的点的轨迹叫椭圆。
符号叙述：
若设M为椭圆上的任意一点，
|MF1|+|MF2|=定长
求轨迹方程的基本步骤？
3：如何求椭圆的方程？
?
求动点轨迹方程的一般方法：
坐标法
（1）建立坐标系;
（2）设点的坐标；
（3）写出限制条件；
（4）代入点的坐标；
（5）化简方程。
建
设
限
代
化
?
探讨建立平面直角坐标系的方案
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
F1
F2
O
x
y
M
O
x
y
“建”
研讨探究推导方程
x
F1
F2
M(x
,
y)
0
y
设M(x,
y)是椭圆上任意一点，
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0)，
则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0)
.
M与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
问题：下面怎样化简？
由椭圆的定义得，限制条件：
由于
得方程
“设”
“限”
“代”
“化”
小组讨论推导方程
移项得：
两边再平方，得：
整理得：
平方得：
整理得：
上面方程变为：
焦点在x轴的椭圆的标准方程
1
2
y
o
F
F
P
x
M
F2
F1
x
y
猜想：若建立方案二焦点在y轴的坐标系，椭圆的方程的形式是怎样的？
表示焦点在y轴上的椭圆
坐标法
坐标法
吴方法
数学机械化
形
数
计算机
知识拓展了解文化
O
X
Y
F1
F2
M
(-c,0)
(c,0)
Y
O
X
F1
F2
M
(0,-c)
(0
,
c)
?椭圆的标准方程的特点：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
（3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不
同
点
相
同
点
图
形
焦点坐标
定
义
a、b、c
的关系
焦点位置的判断
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
数形结合强化知识
则a＝
，b＝
；
则a＝
，b＝
；
则a＝
，b＝
；
则a＝
，b＝
．
5
3
4
6
3
2
判定下列椭圆的焦点在什么轴上，写出焦点坐标
答：在
x
轴上,（-1，0）和（1，0）
答：在
y
轴上,（0，-5）和（0，5）
答：在y
轴上,（0，-1）和（0，1）
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
x2与y2的分母哪一个大，则焦点在哪一个轴上。
5
4
3
(3,0)、(-3,0)
6
20
F1
F2
C
D
例1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是（0，-4）、（0，4），椭圆上的一点P到两焦点距离的和等于10；
解：∵
椭圆的焦点在y轴上
∴
设它的标准方程为
∴
所求的椭圆的标准方程为
∵
2a=10，
2c=8
∴
a=5，
c=4
例题研讨变式精析
（2）两个焦点的坐标分别是（-2，0）、（2，0），
并且椭圆经过点
思考：
你还能用其他方法求它的标准方程吗？
定义法
解：∵
椭圆的焦点在x轴上，
由椭圆的定义知，
∴
设它的标准方程为
又
∵
c=2
∴
所求的椭圆的标准方程为
待定系数法
解：∵
椭圆的焦点在x轴上，
∴
设它的标准方程为
将点代入方程得：
又∵
代入上面方程得：
∴
所求的椭圆的标准方程为
小结：
1.求椭圆标准方程的步骤：
①定位：确定焦点所在的坐标轴；
②定量：求a,
b的值.
2.求椭圆标准方程的方法：
①定义法；
②待定系数法.
归纳小结
深化提高
课堂小结
1，这节课你学到了什么？
2，你还存在哪些疑惑？
3，对于本节课你还想了解什么？
坐标法
一种方法：
二类方程:
三种素养：
数学审美，
数学运算，数形结合
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不
同
点
相
同
点
图
形
焦点坐标
定
义
a、b、c
的关系
焦点位置的判断
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
2，你还存在哪些疑惑？
3，对于本节课你还想了解什么？
1，这节课你学到了什么？
归纳小结
深化提高
探索－嫦娥奔月
2010年10月8日中国“嫦娥”二号卫星成功实现第
二次近月制动，卫星进入距月球表面近月点高度
约210公里，远月点高度约8600公里，且以月球
的球心为一个焦点的
椭圆形轨道。已知月
球半径约3475公里，
试求“嫦娥”二号卫
星运行的轨迹方程。
作业布置
课后思考及作业——拓展提高
(1)收集有关坐标法与数学机械化的时代背景和有关资料，了解我国著名数学家吴文俊创立的“吴方法”
(2)书面作业：课本P109，练习第1题第2题
课本P109，练习第3题第4题
(3)拓展作业：
求嫦娥二号卫星近月运行的椭圆轨道方程
作业布置
课后延伸
