2021年中考数学二轮复习几何模型加强版 专题01 中点相关的辅助线问题（Word版 含解析）

专题01 中点相关的辅助线问题
1．如图，在false中，false，false是中线，false是角平分线，点false是false上任意一点（不与false，false重合），连接false、false．给出以下结论：①false；②false；③false；④false．其中一定正确的有（ ）
A．false个 B．false个 C．false个 D．false个
【分析】①根据面积法可得false，false，从而可得①正确；②由false是中线，无法得出false，故可判断②错误；③运用SAS证明false得false，在false中运用三角形三边关系可得结论，从而判断③；④在false上截取false，连接false，运用false证明false得false，在false中运用三角形三边关系可得结论，从而判断④．
【解析】①过false作false于false，false于false，过false作false于false，
false是false角平分线，false，false，
false，false，false，false，false
false，false，故①正确；
②falsefalse，
false平分false，false，
false是中线，false无法得出false，故②错误；
③延长false到false使false，连接false，
false是中线，false，
在false和false中，false，false，false
在false中，false
false，false，false
false，故③正确；
④在false上截取false，连接false，
false是角平分线，false，
在false和false中，false，false，false，
在false中，false，
false，false，
即false，故④正确；
综上①③④正确．故选B．
【小结】此题主要考查了三角形的中线，角平分线以及全等三角形的判定与性质，关键是正确画出辅助线．
2．如图，在△ABC 中，AB=8，AC=5，AD是△ABC的中线，则AD的取值范围是（ ）
A．3【分析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE，证明△ADC≌△EDB就可以得出BE=AC，根据三角形的三边关系就可以得出结论．
【解析】延长AD到E，使AD=DE，连结BE．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，false ∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE．
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=8，AC=5，
∴1.5＜AD＜6.5．
故选：B
【小结】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，三角形的中线的性质的运用，三角形三边关系的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
3．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（　　）
A．1＜AB＜11 B．4＜AB＜13 C．4＜AB＜16 D．11＜AB＜16
【分析】作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
【解析】如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝5，
∴AE＝5＋5＝10，
∵10＋6＝16，10?6＝4，
∴4＜CE＜16，
即4＜AB＜16．
故选：C．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
4．在false中，false，false于点false，点false为false的中点，若false，则false的度数是（ ）
A．false B．false C．false D．false
【分析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，根据已知条件和平行四边形的性质可证明△NAE≌△CFE，所以NE＝CE，NA＝CF，再由已知条件CD⊥AB于D，∠ADE＝50°，即可求出∠B度数．
【解析】连结CE，并延长CE，交BA的延长线于点N，
∵四边形ABCF是平行四边形，
∴AB∥CF，AB＝CF，∴∠NAE＝∠F，
∵点E是的AF中点，∴AE＝FE，
在△NAE和△CFE中，false ，∴△NAE≌△CFE（ASA），∴NE＝CE，NA＝CF，
∵AB＝CF，∴NA＝AB，即BN＝2AB，
∵BC＝2AB，∴BC＝BN，∠N＝∠NCB，
∵CD⊥AB于D，即∠NDC＝90°且NE＝CE，∴DE＝falseNC＝NE，
∴∠N＝∠NDE＝50°＝∠NCB，∴∠B＝80°．故选：D．
【小结】本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答．
5．已知三角形的两边长分别为4和6，则第三边的中线长x的取值范围是_____．
【分析】由“SAS”可证△BDE≌△CDA，可得BE＝AC＝6，AE＝2x，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解．
【解析】如图所示，AB＝4，AC＝6，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE、EC，设AD＝x，
在△BDE与△CDA中，false，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝6，AE＝2x，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜AB+BE，即6﹣4＜2x＜6+4，∴1＜x＜5，
【小结】考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意构造全等三角形及三角形的三边关系．
6．如图，在矩形false中，false分别为边false，false的中点，false与false、false分别交于点false、false．已知false，false，则false的长为______________．
【分析】延长false，false交于false，已知false，false，则false，因为false为false中点，即可得false，通过false，根据对应边成比例可得FN、CN的长；同理延长false，false交于点false，即可求出CM的长，即可得MN．
【解析】延长false，false交于false，
∵四边形false为矩形，false，
∴false，false，false，
∵false为false中点，∴false，
在false中，false，由勾股定理得：false，
∵false，false，false为false中点，false，∴false，
在false与false中，false，∴，
∴，即，
∵，∴，∴，
∵，∴，，
延长，交于点，
∵为中点，∴，
在与中，，∴，∴，
∴，，
∴，∵，∴，
∴，∴，
∴，即的长度为．
【小结】本题考查全等三角形、相似三角形的判定与性质相结合，注意构造辅助线构造8字型全等及相似是解题的关键，属于中等偏难题型．
7．在中，是边上的中线，若，则长的取值范围是_________．
【分析】利用中线的性质，作辅助线AD=DE，构造全等三角形，再有全等三角形对应边相等的性质，解得，最后由三角形三边关系解题即可．
【解析】如图，AD为BC边上的中线,延长AD至点E，使得AD=DE
在△ADB和△EDC中，，，
故答案为：．
【小结】本题考查三角形三边的关系，其中涉及全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，掌握相关知识、正确作出辅助线是解题的关键．
8．在平行四边形中，为边的中点，且交射线于点，若，则的长度为________
【分析】延长AE交BC的延长线于点G，分两种情况：点F在线段BC上和点F在线段BC的延长线上，分情况讨论即可．
【解析】延长AE交BC的延长线于点G，分两种情况：
①如图
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴．
，
，
．
点E为CD边的中点，，
在和中， ，， ，
，
；
②如图，
同理可得，，
，
，
；
综上所述，BF的长度为7或19，
故答案为：7或19．
【小结】本题主要考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握这些性质并分情况讨论是解题的关键．
9．已知：在中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．
（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图1），求证：AE=CG；
（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），求证：．
【分析】（1）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△AEC和△CGB一组对应边、一组对应角相等，，；然后利用同角的余角相等，证得；两角及其夹边对应相等则两三角形全等．
（2）运用等腰直角三角形性质，三线合一，可以得到△BCE和△CAM一组对应边、一组对应角相等，，；然后利用同角的余角相等，证得；两角及其中一角的对边对应相等则两三角形全等．
【解析】（1）证明：∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，
又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，
又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，
在△AEC和△CGB中，，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG，
（2）证明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，
∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，
又∵∠ACM=∠CBE=45°，
在△BCE和△CAM中，，∴△BCE≌△CAM（AAS）．
【小结】考查全等三角形判定定理，从题中找到对应边、角的信息，灵活运用三角形判定定理是解题关键．
10．已知，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，若E是线段CA上任意一点，DF⊥DE，交直线BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交直线AB于点H．
（1）试说明：①AE=CF； ②CG=GD；
（2）若AE=6，CH=10，求边AC的长．
【分析】（1）①由题意易得AD=DC=DB，∠A=∠B=45°，CD⊥AB，进而可证△ADE≌△CDF，然后根据全等三角形的性质可得；②由直角三角形斜边中线定理可得，进而问题得证；
（2）由（1）可得AE=CF=6，由题意易得，则有EF=CH=10，然后根据勾股定理可求解．
【解析】（1）①AE=CF，理由如下：
∵AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，
∴AD=DC=DB，∠A=∠B=45°，CD⊥AB，∴∠A=∠BCD=45°，
∵DF⊥DE，∴∠EDC+∠CDF=90°，
又∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，
②CG=GD，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠EDF=90°，EG=GF，∴，∴CG=GD；
（2）由（1）得：AE=CF=6，CG=GD，，∴∠GCD=∠GDC，
∵∠GCD+∠CHD=90°，∠GDC+∠GDH=90°，
∴∠CHD=∠GDH，∴GH=GD，∴，
∵CH=10，∴CH=EF=10，
在Rt△CEF中，，即，解得：CE=8，
∴AC=AE+CE=14．
【小结】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．
11．请阅读下列材料：
问题：在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且∠AMD=90°
（1）如图1，若AB与CD不平行，试判断AB+CD与AD之间的数量关系；
小雪同学的思路是：延长DM至E使DM=ME，连接AE，BE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小雪的思路，在图1中把图形补充完整，并直接写出上面问题AB+CD与AD之间的数量关系：
（2）如图2，若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD，（1）中结论还成立吗？若不成立，写出AB+CD与AD之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据条件作出图形，利用DM=EM、BM=MC便可得到是四边形BECE是平行四边形，再结合EM=DM,且∠AMD=90°，得到等腰三角形，最后根据三角形三边关系求解．
（2）增加AM平分∠BAD，便可以得到点A.B.E必然共线，故（1）的结论不成立，通过（1）的分析，边可以证明其数量关系．
【解析】（1）AB与CD不平行
根据题意,延长DM使DM=EM，连接BE，AE，EC，BD
由于M是BC的中点，故BM=MC
∴四边形BECE是平行四边形
∴CD=BE
又 EM=DM，且∠AMD=90°
∴是等腰三角形
∴AD=AB
在中，


(2)若在原条件的基础上，增加AM平分∠BAD
则（1）的结论不成立
关系为：
证明：由于M是BC的中点，故BM=MC
∴四边形BECE是平行四边形
∴CD=BE
又 EM=DM,且∠AMD=90°
∴是等腰三角形
∴AD=AE
又AM平分∠BAD
∴点A.B.E必然共线
∴
【小结】本题比较综合，涉及到画图能力，平行四边形判定，等腰三角形性质应用，三角形三边关系等，解题的关键在于熟悉各个知识点的灵活运用．
12．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线．
（1）如果，，求证：△ABC是直角三角形．
（2）如果，，，，求BC的长．
【分析】（1）由于， 所以，故有，，由三角形内角和定理即可求解；
（2）延长AD到E使，可得，由勾股定理可得，再由勾股定理可求得CD的长，同时即可求解．
【解析】（1）∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即．
（2）延长AD到E使，连接CE，
在△ABD和△ECD中，，∴，
∴，，，
在△AEC中，，，，
∴，
∴，
由勾股定理得：，
∴．
【小结】主要考查三角形全等，利用倍长中线作出辅助线，由勾股定理证明是本题的解题关键．
13．如图，已知，点是的中点，且，求证：．
【分析】延长AE、BC交于点M，利用AAS证出△ADE≌△MCE，从而得出AD=MC，AE=ME，结合已知条件即可证出BM=AB，再利用SSS即可证出△BAE≌△BME，从而得出∠BEA=∠BEM，根据垂直定义即可证出结论．
【解析】延长AE、BC交于点M，如下图所示
∵点是的中点，∴DE=CE，
∵∴∠1=∠M
在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE，∴AD=MC，AE=ME
∵
∴MC＋BC=AB，∴BM=AB
在△BAE和△BME中，，∴△BAE≌△BME，∴∠BEA=∠BEM
∵∠BEA＋∠BEM=180°
∴∠BEA=∠BEM=90°
∴
【小结】此题考的是全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质、平行线的性质和垂直的定义是解题关键．
14．如图，已知AD是的中线，过点B作BE⊥AD，垂足为E．若BE=6，求点C到AD的距离．
【分析】延长AD，过点C作于点F，证明，据全等性质得
【解析】如图，延长AD，过点C作于点F，
∵AD是的中线，∴，
∵，，∴，
在和中，，∴，
∴，即点C到AD的距离是6．
【小结】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是利用倍长中线的方法做辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求解．
15．△ ABC 中 D 是 BC 边上一点，连接 AD．
（1）如图1，AD 是中线，则 AB+AC 2AD（填 >，< 或 =）；
（2）如图2，AD 是角平分线，求证 AB- AC > BD- CD．
【分析】（1）延长AD至E，使DE=AD，连接CE，利用“SAS”证明△CDE≌△ADB，再利用三角形的三边关系证明即可；
（2）在AB上截取AG=AC，连接DG，利用“SAS”证明△ADC△ADG，再根据三角形三边关系即可证明AB- AC > BD- CD．
【解析】（1）如图，延长AD至E，使DE=AD，连接CE，
在△CDE与△ADB中，，∴△CDE≌△ADB（SAS），∴AB=CE，
∴AB+AC=AC+CE＞AE=2AD，即AB+AC＞2AD；
（2）在AB上截取AG=AC，连接DG，
∵AD 是角平分线，∴∠1=∠2，
在△ADC和△ADG中，，∴△ADC△ADG(SAS)，∴DC=DG，
∴AB- AC = AB- AG=BG > BD- DG = BD- CD．
【小结】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系，添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．
16．在ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点，E为直线AC上一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当点E是线段AC的中点时，AE＝2，BF＝1，求EF的长；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图形2，用等式表示AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由三角形的中位线定理得DE∥BC，DE＝BC，进而证明四边形CEDF是矩形得DE＝CF，得出CF，再根据勾股定理得结果；
（2）过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，证明△ADE≌△BDM得AE＝BM，DE＝DM，由垂直平分线的判定定理得EF＝MF，进而根据勾股定理得结论．
【解析】（1）∵D是AB的中点，E是线段AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DEC＝90°，
∵DF⊥DE，
∴∠EDF＝90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴DE＝CF＝BC，
∴CF＝BF＝1，
∵CE＝AE＝2，
∴EF＝；
（2）AE2+BF2＝EF2．
证明：过点B作BM∥AC，与ED的延长线交于点M，连接MF，
则∠AED＝∠BMD，∠CBM＝∠ACB＝90°，
∵D点是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDM中，，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴AE＝BM，DE＝DM，
∵DF⊥DE，
∴EF＝MF，
∵BM2+BF2＝MF2，
∴AE2+BF2＝EF2．
【小结】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．
17．如图1，已知正方形和等腰，，，是线段上一点，取中点，连接、．
（1）探究与的数量与位置关系，并说明理由；
（2）如图2，将图1中的等腰绕点顺时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，求的最小值．
【分析】（1）首先根据正方形和等腰直角三角形的性质得出、、三点共线，然后利用直角三角形斜边中线的性质即可证明，然后利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出，从而证明；
（2）延长至，使，连接交于，连接、，首先通过SAS证明，从而利用全等三角形的性质及平行线的判定证明，进而可利用正方形和等腰直角三角形的性质证明，从而可证明结论仍然成立；
（3）连接，首先根据题意确定当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，然后根据平行四边形的判定及性质得出有最小值就是的长，最后利用勾股定理求解即可．
【解析】（1）且．
理由如下：如图1，连接．
∵正方形和等腰，
∴，
∴、、三点共线．
∵，为的中点，，
∴．
∴，．
∴，即，
∴．
（2）仍然成立．
理由如下：如图2，延长至，使，连接交于，连接、．
∵，，，∴，
∴，，∴．
∵是正方形，∴，．
∵是等腰直角三角形，
∴，，∴，
∴，，∴，∴为等腰直角三角形．
又∵，∴且．
（3）如下图，连接，
当、、，在同一直线上时，有最小值，此时在上，
∵，，
∴四边形是平行四边形，∴，由（2）知，∴，
即有最小值，就是的长，由勾股定理得．
【小结】本题主要考查四边形综合，掌握平行四边形的判定及性质，等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB=AC，D为线段BC的延长线上一点，且DB=DA，BE⊥AD于点E，取BE的中点F，连接AF．
(1)若AC=，AE=，求BE的长；
(2)在（1）的条件下，如果∠D=45°，求△ABD的面积．
(3)若∠BAC=∠DAF，求证：2AF=AD；
【分析】（1）在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解决问题；
（2）由∠D＝45°可证得BE＝DE，再利用三角的面积公式计算即可；
（3）如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，首先证明△AEF≌△MFB，再证明△ABM≌△ACD即可．
【解析】（1）解：∵AB＝AC，AC＝，
∴AB＝，
∵BE⊥AD，AE＝，
∴在Rt△AEB中，；
（2）解：∵BE⊥AD，∠D＝45°，
∴∠EBD＝∠D ＝45°，
∴BE＝DE＝，
∴AD＝AE+DE＝，
∴；
（3）证明：如图，延长AF至M点，使AF＝MF，连接BM，
∵点F为BE的中点，
∴EF＝BF，
在△AEF和△MBF中， ，∴△AEF≌△MBF（SAS），∴∠FAE＝∠FMB，
∴AE∥MB，
∴∠EAB+∠ABM＝180°，
∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，
又∵AB＝AC，DB＝DA，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，
∴∠ABM＝∠ACD．
又∵∠BAC＝∠DAF，
∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，
∴∠1＝∠2．
在△ABM和△ACD中，，∴△ABM≌△ACD（ASA），∴AM＝AD，
又∵AM＝AF+MF＝2AF，
∴2AF＝AD．
【小结】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是中线延长一倍，作出正确的辅助线构造全等三角形，属于常考题型．
19．阅读下面材料：
数学课上，老师给出了如下问题：
如图，AD为△ABC中线，点E在AC上，BE交AD于点F，AE＝EF．求证：AC＝BF．
经过讨论，同学们得到以下两种思路：
思路一如图①，添加辅助线后依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
思路二如图②，添加辅助线后并利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
完成下面问题：
（1）①思路一的辅助线的作法是：　 　；
②思路二的辅助线的作法是：　 　．
（2）请你给出一种不同于以上两种思路的证明方法（要求：只写出辅助线的作法，并画出相应的图形，不需要写出证明过程）．
【分析】（1）①依据SAS可证得△ADC≌△GDB，再利用AE＝EF可以进一步证得∠G＝∠FAE＝∠AFE＝∠BFG，从而证明结论．
②作BG＝BF交AD的延长线于点G．利用AE＝EF可证得∠G＝∠BFG＝∠AFE＝∠FAE，再依据AAS可以进一步证得△ADC≌△GDB，从而证明结论．
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，证明△ADC≌△GDB（AAS），得出AC＝BG，证出∠G＝∠BFG，得出BG＝BF，即可得出结论．
【解析】（1）①延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，如图①，理由如下：
∵AD为△ABC中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴AC＝BG，
∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠G，∠G＝∠CAD，
∴∠G＝∠BFG，
∴BG＝BF，
∴AC＝BF．
故答案为：延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG；
②作BG＝BF交AD的延长线于点G，如图②．
理由如下：∵BG＝BF，∴∠G＝∠BFG，
∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠EFA，又∵∠EFA＝∠BFG，∴∠G＝∠EAF，
在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，∴AC＝BF；
故答案为：作BG＝BF交AD的延长线于点G；
（2）作BG∥AC交AD的延长线于G，如图③所示：则∠G＝∠CAD，∵AD为△ABC中线，∴BD＝CD，
在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（AAS），∴AC＝BG，
∵AE＝EF，∴∠CAD＝∠EFA，
∵∠BFG＝∠EFA，∠G＝∠CAD，∴∠G＝∠BFG，∴BG＝BF，∴AC＝BF．
【小结】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、其中一般证明两个三角形全等共有四个定理：AAS、ASA、SAS、SSS，需要同学们灵活运用，解题的关键是学会做辅助线解决问题．
20．已知：如图，在中，，为的中点，、分别在、上，且于.求证：.
【分析】通过倍长线段，将、、转化到中，再证为直角三角形.
【解析】延长至，使，连结、，
，，
，
，，
，
，，
，
又，，
，
.
【小结】本题考查了全等三角形判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线，熟练掌握相关知识是解题的关键.
21．如图所示，在中，为中线，，求的度数．
【分析】延长AD至E，使，连结，则，根据全等三角形的性质得EC=AB，，由AB=2AD可得EC=AE，可得△AEC是等腰直角三角形，即可得∠DAC的度数．
【解析】延长AD至E，使，连结，
∵BD=CD，∠ADB=∠EDC
∴，
∴EC=AB，，
∵AB=2AD，
∴AB=AE=EC
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45°.
故答案为45°.
【小结】本题考查全等三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线构建全等三角形和等腰直角三角形.