安徽省六安市示范高中2021届高三上学期期末教学质量检测数学(理)试题 Word版含答案

2021年六安市省示范高中高三教学质量检测
理科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 若平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A. B. C. 18 D. 12
4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. “垛积术”是我国古代数学重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为（ ）
A. 45 B. 36 C. 28 D. 21
7. 已知x，y都是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 六安市新建的广播电视发射塔计划于2021年3月竣工，它被誉为六安的“东方明珠塔”，是一个集发射和接收信号、应急指挥、旅游休闲于一体的多功能文化景观塔．发射塔总体高度308米，主要由塔座、塔身、塔楼、桅杆四部分组成．其塔身是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图1），它的最小口径为2r米，在最小口径上方h米处的口径为4r米，若某同学在平面直角坐标系中绘制出了该双曲线（如图2），则其渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下面叙述正确的是（ ）
A. 的周期为 B. 图象的一条对称轴是
C. 图象的一个对称中心为 D. 在上单调递减
10. 已知圆，过直线在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
11. 在棱长为1正方体中，E为棱CD上的动点（不含端点），过B，E，的截面与棱交于F，若截面在平面和平面上正投影的周长分别为，，则（ ）
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 是定值 D. 是定值
12. 已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若实数x，y满足，则的最大值为__________．
14. 已知，为偶函数，若曲线在点处的切线方程为，则__________．
15. 已知抛物线，F为焦点，直线与C交于A点，B为直线l上另一点（在A点上方），则角平分线所在直线方程为_____________.
16. 已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，平面平面ABC.，M为棱PC上一点，且，过M作三棱锥外接球的截面，则截面面积最小值为____________.
三、解答题：本题共6小题，共70分解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前n项和.
.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若 ，，求的面积.
19. 如图，在平面四边形中，，，，，现把沿折起，使在平面上的射影为，连接、，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
20. 已知函数，
（1）若，的极大值是，求a的值；
（2）若，在上存在唯一零点，求b的值．
．
21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不经过点且斜率存在的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线PM与PN的斜率之和为，证明：直线l过定点.
22. 已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上有两个极值点， .
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：.
2021年六安市省示范高中高三教学质量检测
理科数学试题 答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
3. 若平面向量与的夹角为，，，则（ ）
A. B. C. 18 D. 12
【答案】B
4. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
5. 设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
6. “垛积术”是我国古代数学重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）.若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为（ ）
A. 45 B. 36 C. 28 D. 21
【答案】D
7. 已知x，y都是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
8. 六安市新建的广播电视发射塔计划于2021年3月竣工，它被誉为六安的“东方明珠塔”，是一个集发射和接收信号、应急指挥、旅游休闲于一体的多功能文化景观塔．发射塔总体高度308米，主要由塔座、塔身、塔楼、桅杆四部分组成．其塔身是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图1），它的最小口径为2r米，在最小口径上方h米处的口径为4r米，若某同学在平面直角坐标系中绘制出了该双曲线（如图2），则其渐近线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
9. 将函数的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下面叙述正确的是（ ）
A. 的周期为 B. 图象的一条对称轴是
C. 图象的一个对称中心为 D. 在上单调递减
【答案】D
10. 已知圆，过直线在第一象限内一动点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，直线AB与两坐标轴分别交于M，N两点，则面积的最小值为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
11. 在棱长为1正方体中，E为棱CD上的动点（不含端点），过B，E，的截面与棱交于F，若截面在平面和平面上正投影的周长分别为，，则（ ）
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 是定值 D. 是定值
【答案】A
12. 已知函数（其中e为自然对数的底数）有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若实数x，y满足，则的最大值为__________．
【答案】
14. 已知，为偶函数，若曲线在点处的切线方程为，则__________．
【答案】3
15. 已知抛物线，F为焦点，直线与C交于A点，B为直线l上另一点（在A点上方），则角平分线所在直线方程为_____________.
【答案】
16. 已知三棱锥，底面是边长为2的正三角形，平面平面ABC.，M为棱PC上一点，且，过M作三棱锥外接球的截面，则截面面积最小值为____________.
【答案】
三、解答题：本题共6小题，共70分解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
17. 已知数列的前n项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前n项和.
【答案】（1）；（2）.
18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求角B的大小；
（2）若 ，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
19. 如图，在平面四边形中，，，，，现把沿折起，使在平面上的射影为，连接、，且.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
20. 已知函数，
（1）若，的极大值是，求a的值；
（2）若，在上存在唯一零点，求b的值．
【答案】（1）；（2）．
21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设不经过点且斜率存在的直线l与椭圆C交于M，N两点，直线PM与PN的斜率之和为，证明：直线l过定点.
【答案】（1）；（2）证明见解析
22. 已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）若在上有两个极值点， .
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：.
【答案】（1）递减区间，递增区间为；（2）（i），（ii）证明见解析.