2020-2021学年九年级数学人教版下册第27章 《相似 》章节培优训练（五）（Word版 含答案）

九年级下册第27章
《相似
》
章节培优训练（五）
1．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＜AC，M是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N．动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动．同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQ⊥MP设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）△PBM与△QNM相似吗？以图1为例说明理由；
（2）探求BP2，PQ2，CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由．
2．如图1，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE＝　
　．
3．为了测量校园水平地面上一棵树的高度，数学兴趣小组利用一根标杆、皮尺，设计如图所示的测量方案．已知测量同学眼睛A、标杆顶端F、树的顶端E在同一直线上，此同学眼睛距地面1.6米，标杆高为3.2米，且BC＝2米，CD＝6米，求树ED的高．
4．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD．连接MF，NF．试说明：
（1）∠MBN＝45°；
（2）△MFN∽△BDC．
5．在△ABC中，已知边BC＝12，该边上的高线AD＝8，同样大小的两个正方形FMNG与EFGH按如图所示方式叠放，其中顶点M、N在BC边上，E、H分别在AB、AC上，求正方形的边长．
6．在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，点E在AB上，点F在AC上，ED平分∠BEF，连接DF．
（1）如图1，求证：∠EDF+∠A＝90°；
（2）如图2，当∠ABC＝45°时，点P在DE上，连接AP、CP交DF于点Q且满足∠APC＝90°，若AE：BE＝1：3，请你探究线段FQ与FC之间的数量关系，并证明你的结论．
7．如图，在△ABC中，点Q，M在BC上，点P，N分别在AB，AC上，边BC＝120毫米，高AD＝80毫米，四边形PQMN为矩形，设△ABC的高AD与PN相交于点E．
（1）若这个矩形是正方形，则边长是多少？
（2）若这个矩形的长是宽的2倍，则长和宽各是多少？
8．如图，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后解答相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在OA上，点D在OB上；②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接等边三角形．
（1）求证：△C′D′E′是等边三角形；
（2）求作：内接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的边EF在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上，且DE：EF＝1：2．
9．如图，A，B两个村子在一条河的同侧，A，B两村到河岸的距离分别为AC＝1km，BD＝3km，其中CD＝3km．现在要在河岸CD上建一个水厂，向A，B两个村庄输送自来水，请你在CD上选择水厂的位置O，使铺设的水管总长度最小？
10．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为边AB上的一点，BF：AF＝m：n（m、n＞0），取CF的中点D，连结AD并延长交BC于点E．
（1）求BE：EC的值；
（2）若BE＝2EC，那么CF所在的直线与边AB有怎样的位置关系？证明你的结论．
（3）E点能否成为BC中点？若能，求出相应的m：n，若不能，证明你的结论．
参考答案
1．解：（1）△PBM∽△QNM．理由如下：
如图1，∵MQ⊥MP，MN⊥BC（已知），
∴∠PMB+∠PMN＝90°，∠QMN+∠PMN＝90°，
∴∠PMB＝∠QMN（等量代换）．
∵∠PBM+∠C＝90°（直角三角形的两个锐角互余），∠QNM+∠C＝90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠PBM＝∠QNM（等量代换）．
∴△PBM∽△QNM；
（2）PQ2＝BP2+CQ2．
证明如下：如图1，延长QM至点D，使MD＝MQ．连接PD、BD，BQ，CD
∵BC、DQ互相平分，
∴四边形BDCQ为平行四边形，
∴BD∥CQ，BD＝CQ（平行四边形的对边平行且相等）；
又∵∠BAC＝90°，
∴∠PBD＝90°，
∴PD2＝BP2+BD2＝BP2+CQ2，
∵PM垂直平分DQ，
∴PQ＝PD，
∴PQ2＝BP2+CQ2．
2．解：过点作AM⊥BC于点M，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BM＝BC＝3，
在Rt△ABM中，AM＝＝4，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥EF，DE⊥BC，
∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，
∴MN＝DE，
设MN＝DE＝x，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴DG：BC＝AN：AM，
∴，
解得：DG＝﹣x+6，
∵四边形DEFG为正方形，
∴DE＝DG，即x＝﹣x+6，
解得x＝，
∴正方形DEFG的边长为；
（2）由题意得：DN＝2DE，
由（1）知：，
∴DE＝．
故答案为：．
3．解：如图，过A作AH垂直ED，垂足为H，交线段FC与G，
由题知，∵FG∥EH，
∴△AFG∽△AEH，
∴＝，
又因为AG＝BC＝2，AH＝BD＝2+6＝8，FG＝FC﹣GC＝3.2﹣1.6＝1.6，
所以＝，
解得：EH＝6.4，
则ED＝EH+HD＝6.4+1.6＝8（m）．
答：树ED的高为8米．
4．证明：（1）∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，
∵BN平分∠ABE，
∴∠EBN＝∠ABN，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB+∠EBA＝90°，
∴∠MNB＝∠NAB+∠ABN＝（∠EAB+∠EBA）＝45°，
∴∠MBN＝45°；
（2）∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM＝AC，
∵AC＝BD，
∴FM＝BD，即＝，
由（1）知△BMN是等腰直角三角形，
∴MN＝BM＝BC，即＝，
∴＝，
∵AM⊥BC，
∴∠NMF+∠FMB＝90°，
∵FM∥AC，
∴∠ACB＝∠FMB，
∵∠CEB＝90°，
∴∠ACB+∠CBD＝90°，
∴∠CBD+∠FMB＝90°，
∴∠NMF＝∠CBD，
∴△MFN∽△BDC．
5．解：设正方形EFGH的边长HG＝x，
∵EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴＝，
解得，x＝3，
答：正方形的边长为3．
6．证明：（1）连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥EF于N，DK⊥AC于K，
∵AB＝AC，
∴AD平分∠BAC，
∴DM＝DK，
∵ED平分∠BEF，
∴DM＝DN，
∴DM＝DN＝DK，
∴DF平分∠EFC，
∵∠AEF+∠AFE＝180°﹣∠A，
∴∠DEF+∠DFE＝[360°﹣（∠AEF+∠AFE）]＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A，
∴∠EDF＝90°﹣∠A，
∴∠EDF+∠A＝90°；
（2）连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，过E作EK⊥AD于K，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵D为BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴DM＝DN，
∴四边形AMDN是正方形，AM＝AB，
∵AE：BE＝1：3，
∴AE＝AB，
∴AE＝EM，由（1）证得∠EDF+∠A＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠EDF＝45°，
∵∠ADN＝45°，
∴∠3＝∠2，
∵∠APC＝∠ADC＝90°，
∴A，P，D，C四点共圆，
∴∠1＝∠3，∠DPC＝∠DAC＝45°，
∴DF⊥PC，∴∠1＝∠2＝∠3，
∴sin∠1＝sin∠3，
即＝，
设EK＝AK＝a，则AE＝a，AM＝2a，AD＝4a，
∴KD＝3a，ED＝a，
∴＝＝．
7．解：（1）设正方形的边长为x毫米，
∵四边形PQMN为正方形，
∴PN∥QM，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
解得x＝48，
∴正方形的边长是48mm；
（2）设长方形的宽为y毫米，由（1）得△APN∽△ABC，
∴，即，或，
解得y＝30或y＝，
∴长方形的宽为30mm，长为60mm或宽为
mm，长为
mm．
8．（1）证明：∵E′C′∥EC，E′D′∥ED，
∴△OCE∽△OC′E′，△ODE∽△OD′E′，
∴CE：C′E′＝OE：OE′，DE：D′E′＝OE：OE′，∠CEO＝∠C′E′O，∠DEO＝∠D′E′O，
∴CE：C′E′＝DE：D′E′，∠CED＝∠C′E′D′，
∴△CDE∽△C′D′E′，
∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形；
（2）解：画法：①在△ABC内画矩形D′E′F′G′，使点D′在AB上，点G′在AC上，且D′E′：D′G′＝1：2；
②连接AE′并延长，交BC于点E，连接AF′并延长交BC于点F，过点E作ED∥E′D′交AB于点D，过点F作FG∥F′G′，交AC于点G；
③连接DG，则矩形DEFG是△ABC的内接四边形．
9．解：作点A关于CD的对称点E，连结BE交CD于点O，如图，
∵点A关于CD的对称点E，
∴OA＝OE，AC＝CE＝1，
∴OA+OB＝OE+OB＝BE，
∴此时点O使OA+OB最小，
设OC＝xkm，则OD＝（3﹣x）km，
∵CE∥BD，
∴△ECO∽△BDO，
∴＝，即＝，解得x＝0.75（km）．
答：在CD上选择在离C处0.75km的地方建水厂，使铺设的水管总长度最小．
10．解：（1）如图，过点F作FG∥BC交AE于G，
则∠DFG＝∠DCE，∠DGF＝∠DEC，
∵D是CF的中点，
∴CD＝DF，
在△DCE和△DFG中，
，
∴△DCE≌△DFG（ASA），
∴EC＝GF，
∵BF：AF＝m：n，
∴＝，
∵FG∥BC，
∴△AFG∽△ABE，
∴＝＝，
∴BE：EC＝；
（2）若BE＝2EC，则BE：EC＝2，
由（1）知，＝2，
解得m＝n，
∴点F是AB的中点，
∵AC＝BC，
∴CF⊥AB；
（3）不能．
理由如下：假设点E能成为BC中点，
则BE＝EC，
∴BE：EC＝1，
由（1）知＝1，
解得m＝0，
这与m、n＞0相矛盾，
所以，点E不能成为BC中点．