（课件）第二章《相似图形》复习
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文档简介
(共25张PPT)
一、比例的性质？
知识回顾
比例的基本性质─
比例的合比性质─
比例的等比性质──
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,
A
C
B
如果 ,
那么称 线段AB被点C黄金分割,
点C叫做线段AB的黄金分割点,
AC与AB的比叫做黄金比.
黄金比
≈0.618
相似多边形的对应角相等，
对应边成比例.
二、黄金分割与相似多边形
知识回顾
三、相似三角形的定义？判定？性质？
1、定义：三角对应角相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形
2、判定：
两角相等的两个三角形相似
三边对应成比例的两个三角形相似
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
3、性质：
相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比
相似三角形对应角相等，对应边成比例
知识回顾
相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似多边形的周长比等于相似比
相似多边形面积的比等于相似比的平方
知识回顾
3、性质：
如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形.
这个点叫做位似中心.
这时的相似比又称为位似比.
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
四、位似图形
知识回顾
做一做
1、将一个等腰直角三角形放大，使放大后的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.
解：
放大前后对应斜边的比值是1︰3、对应直角边的比值是1︰3.
复习题 A组题
做一做
2、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长.
解：
四条线段a、b、c、d成比例
a
b
=
c
d
a
3
=
2
6
6a=6
a=1
做一做
3、如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形ABCD长与宽的比.
A
B
C
D
E
F
解：
AD
AB
=
AE
AD
矩形ADFE与矩形ABCD相似
AD =AB·AE
2
AE= AB
1
2
{
AD = AB
2
2
2
1
AB = 2 AD
2
2
AB = √2 AD
AB ︰AD = √2︰1
做一做
4、如图，BC//DE//FG，图中有几对相似三角形？你是怎样判断的？
A
B
C
D
E
F
G
解：
△ABC∽△ADE
△ABC∽△AFG
△ADE∽△AFG
有三对，它们是：
根据BC//DE//FG，可得同位角相等，
由此得到两个三角形相似.
做一做
5、如图，已知△ADF∽△ABC，AD=6cm，DB=3cm，BC=9.9cm，∠A=70°，∠B=50°.
（1）求∠ADE的大小；（2）求∠AED的的小；
（3）求DE的长.
A
B
C
D
E
解：
（1） △ADF∽△ABC
∠ADE=∠B=50°
（2） ∠A=70°
∠ADE=50°
{
∠AED=60°
（3） △ADF∽△ABC
AD
AB
=
DE
BC
6
9
=
DE
9.9
DE=6.6 cm
70°
50°
6
3
9.9
？
？
？
做一做
A
C
B
D
E
6、如图，小明欲测量红塔
的高，他站在该塔的影子
上前后移动，直到他本身
影子的顶端正好与塔的影
子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高
是1.6m，他的影子长是2m.（1）图中△ABC与△ADE
是否相似？为什么？（2）求红塔的高.
解：
（1）相似
因为∠A是公共角，∠BCA和∠DEA是直角
（2）由△ABC∽△ADE得，
DE
BC
=
AE
AC
DE
1.6
=
20
2
DE=16 m
？
18m
2m
1.6m
做一做
7、如果两个相似多边形面积的比为4︰9，那么这两个相似多边形对应边的比是多少？
解：
根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得：
这两个相似多边形对应边的比是2︰3
做一做
8、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，
S
△ABC
=48，求
S
△ADE.
A
B
C
D
E
解：
DE//BC
∠ADE=∠B
∠AED=∠C
{
{
△ADE∽△ABC
=（ ）
AD
AB
S
△ADE
S
△ABC
2
AD=3BD
AD
AB
=
3
4
{
=
9
16
S
△ADE
S
△ABC
S
△ABC
= 48
{
S
△ABC
= 27
3份
1份
做一做
9、如图，AB、CD交于点O，且AC//BD.
则OA·OD=OC·OB吗？为什么？
A
B
C
D
O
解：
OA·OD=OC·OB，理由如下：
AC//BD
{
∠A=∠B
∠C=∠D
{
△AOC∽△BOD
OA
OB
=
OC
OD
OA·OD=OC·OB
A
3
1
4
2
5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
y
10、（1）在平面直角坐标系中描出点A（4，2），B（2，4），C（0，4），D（0，2），E（2，0），顺次连接点A、B、C、D、E、A，得到一个五边形ABCDE.
做一做
（2）将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以2，得到五个新的点，顺次连接这五个 点，得到一个新的五边形，这两个五边形相似吗？如果将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以 3 呢？
解：
●
●
●
●
●
B
C
D
E
●
●
●
●
●
A
B
C
D
E
所以、 除以 2 后得到的
新五边形与原五边形相似
同样， 除以 3 后
得到的新五边形与
原五边形相似
做一做
B组题
1、如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为多少？
解：
由题意得
8cm
6cm
x
48
=
6
8
（
（
2
设留下矩形的面积为 x cm，
2
解得：x =27 cm
2
答：留下矩形的面积为 27 cm
2
做一做
2、如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（ ）
C
A
B
D
（1）AC︰CD = AB︰BC
（2）CD︰AD = BC︰AC
（3）AC = AD · AB
2
（4）CD = AD · AB
2
解：
已知∠A是两个三角形的公共角，
要使△ACD与△ABC相似，
就要使△ACD中∠A的两边与△ABC中的∠A的两
边对应成比例——即
AD
AC
AC
AB
=
AC = AD · AB
2
∴应该选：C
C
做一做
3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点
P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，
当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部
刚好接触到路灯B的底部.已知王华的身高是1.6m，两
个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m.
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
A
P
Q
B
解：
x
x
12
1.6
9.6
（1）由题得：
x
2x+12
=
1.6
9.6
解得：x = 3 m
∴两个路灯之间的距离是18 m
做一做
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
解：
1.6
9.6
18
x
设他的影子长为 x m，则由题得：
x
18+x
=
1.6
9.6
解得 x = 3.6 m
∴他的影子长为 3.6 m.
？
A
B
做一做
4、如图，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸
边P点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上
选择点A和B，使得B、A、P在一条直线上，且与河岸
垂直.随后确定点C、D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由观
测可以确定CP与AD的交点D.他们测得AB=45m，BC
=90m，AD=60m，从而确定河宽PA=90m.
你认为他们的结论对吗？还有其他的测量方法吗？
A
B
C
D
P
45m
90m
60m
解：
结论正确！
理由如下：
由△PAD∽△PBC得
PA
PB
=
AD
BC
PA
PA+45
=
60
90
PA=90
改变点C的位置，仍可以得到相应的结论.
？
做一做
C组题
1、如图，BC与EF在一条直线上，AC//DF.将图（2）
中的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
G
方法1：作EG//AB，
交DF于点G，沿EG
将△DEG截去即可.
P
Q
方法2：在EF上任取一点P过点P作PQ//AB，交DF于点Q，沿PQ将图（2）截开，得△PQF∽△ABC.
做一做
2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的
同学们想利用树影测量树高.课外活动时在阳光下他们测得一根
长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树
的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），
经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高.他们测
得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一
起算一下，树高为多少？
D
B
A
C
E
H
F
G
解：首先在图上标上字母，
过点C作CE⊥AB，垂足为E
根据题意，可得：
△AEC∽△FGH
2.7m
2.7m
1.2m
1.2m
1m
0.9
AE
FG
=
CE
HG
AE
1
=
2.7
0.9
AE= 3 m
∴树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m
想一想
数学源于生活,又反过来服务于生活.如果你无愧于数学,那数学就可以助你到达胜利的彼岸…………
结束寄语
下课了!
数学使人聪明
一、比例的性质？
知识回顾
比例的基本性质─
比例的合比性质─
比例的等比性质──
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,
A
C
B
如果 ,
那么称 线段AB被点C黄金分割,
点C叫做线段AB的黄金分割点,
AC与AB的比叫做黄金比.
黄金比
≈0.618
相似多边形的对应角相等，
对应边成比例.
二、黄金分割与相似多边形
知识回顾
三、相似三角形的定义？判定？性质？
1、定义：三角对应角相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形
2、判定：
两角相等的两个三角形相似
三边对应成比例的两个三角形相似
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似
3、性质：
相似三角形对应高的比，对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比
相似三角形对应角相等，对应边成比例
知识回顾
相似三角形周长的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似多边形的周长比等于相似比
相似多边形面积的比等于相似比的平方
知识回顾
3、性质：
如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形.
这个点叫做位似中心.
这时的相似比又称为位似比.
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
四、位似图形
知识回顾
做一做
1、将一个等腰直角三角形放大，使放大后的边是原三角形对应边的3倍，并分别确定放大前后对应斜边的比值、对应直角边的比值.
解：
放大前后对应斜边的比值是1︰3、对应直角边的比值是1︰3.
复习题 A组题
做一做
2、四条线段a、b、c、d成比例，其中b=3cm，c=2cm，d=6cm，求线段a的长.
解：
四条线段a、b、c、d成比例
a
b
=
c
d
a
3
=
2
6
6a=6
a=1
做一做
3、如图，将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折，得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似，确定矩形ABCD长与宽的比.
A
B
C
D
E
F
解：
AD
AB
=
AE
AD
矩形ADFE与矩形ABCD相似
AD =AB·AE
2
AE= AB
1
2
{
AD = AB
2
2
2
1
AB = 2 AD
2
2
AB = √2 AD
AB ︰AD = √2︰1
做一做
4、如图，BC//DE//FG，图中有几对相似三角形？你是怎样判断的？
A
B
C
D
E
F
G
解：
△ABC∽△ADE
△ABC∽△AFG
△ADE∽△AFG
有三对，它们是：
根据BC//DE//FG，可得同位角相等，
由此得到两个三角形相似.
做一做
5、如图，已知△ADF∽△ABC，AD=6cm，DB=3cm，BC=9.9cm，∠A=70°，∠B=50°.
（1）求∠ADE的大小；（2）求∠AED的的小；
（3）求DE的长.
A
B
C
D
E
解：
（1） △ADF∽△ABC
∠ADE=∠B=50°
（2） ∠A=70°
∠ADE=50°
{
∠AED=60°
（3） △ADF∽△ABC
AD
AB
=
DE
BC
6
9
=
DE
9.9
DE=6.6 cm
70°
50°
6
3
9.9
？
？
？
做一做
A
C
B
D
E
6、如图，小明欲测量红塔
的高，他站在该塔的影子
上前后移动，直到他本身
影子的顶端正好与塔的影
子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高
是1.6m，他的影子长是2m.（1）图中△ABC与△ADE
是否相似？为什么？（2）求红塔的高.
解：
（1）相似
因为∠A是公共角，∠BCA和∠DEA是直角
（2）由△ABC∽△ADE得，
DE
BC
=
AE
AC
DE
1.6
=
20
2
DE=16 m
？
18m
2m
1.6m
做一做
7、如果两个相似多边形面积的比为4︰9，那么这两个相似多边形对应边的比是多少？
解：
根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得：
这两个相似多边形对应边的比是2︰3
做一做
8、如图，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，
S
△ABC
=48，求
S
△ADE.
A
B
C
D
E
解：
DE//BC
∠ADE=∠B
∠AED=∠C
{
{
△ADE∽△ABC
=（ ）
AD
AB
S
△ADE
S
△ABC
2
AD=3BD
AD
AB
=
3
4
{
=
9
16
S
△ADE
S
△ABC
S
△ABC
= 48
{
S
△ABC
= 27
3份
1份
做一做
9、如图，AB、CD交于点O，且AC//BD.
则OA·OD=OC·OB吗？为什么？
A
B
C
D
O
解：
OA·OD=OC·OB，理由如下：
AC//BD
{
∠A=∠B
∠C=∠D
{
△AOC∽△BOD
OA
OB
=
OC
OD
OA·OD=OC·OB
A
3
1
4
2
5
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-2
-1
x
y
10、（1）在平面直角坐标系中描出点A（4，2），B（2，4），C（0，4），D（0，2），E（2，0），顺次连接点A、B、C、D、E、A，得到一个五边形ABCDE.
做一做
（2）将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以2，得到五个新的点，顺次连接这五个 点，得到一个新的五边形，这两个五边形相似吗？如果将点A、B、C、D、E的横坐标和纵坐标都除以 3 呢？
解：
●
●
●
●
●
B
C
D
E
●
●
●
●
●
A
B
C
D
E
所以、 除以 2 后得到的
新五边形与原五边形相似
同样， 除以 3 后
得到的新五边形与
原五边形相似
做一做
B组题
1、如图，在长8cm、宽6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分所示），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积为多少？
解：
由题意得
8cm
6cm
x
48
=
6
8
（
（
2
设留下矩形的面积为 x cm，
2
解得：x =27 cm
2
答：留下矩形的面积为 27 cm
2
做一做
2、如图，能保证使△ACD与△ABC相似的条件是（ ）
C
A
B
D
（1）AC︰CD = AB︰BC
（2）CD︰AD = BC︰AC
（3）AC = AD · AB
2
（4）CD = AD · AB
2
解：
已知∠A是两个三角形的公共角，
要使△ACD与△ABC相似，
就要使△ACD中∠A的两边与△ABC中的∠A的两
边对应成比例——即
AD
AC
AC
AB
=
AC = AD · AB
2
∴应该选：C
C
做一做
3、如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点
P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯A的底部，
当他向前再行12m到达点Q时，发现身前他影子的顶部
刚好接触到路灯B的底部.已知王华的身高是1.6m，两
个路灯的高度都是9.6m，且AP=QB= x m.
（1）求两个路灯之间的距离；
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
A
P
Q
B
解：
x
x
12
1.6
9.6
（1）由题得：
x
2x+12
=
1.6
9.6
解得：x = 3 m
∴两个路灯之间的距离是18 m
做一做
（2）当王华走到路灯B时，他在路灯A下的影长是多少？
解：
1.6
9.6
18
x
设他的影子长为 x m，则由题得：
x
18+x
=
1.6
9.6
解得 x = 3.6 m
∴他的影子长为 3.6 m.
？
A
B
做一做
4、如图，为了测量一条河的宽度，测量人员在对岸岸
边P点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上
选择点A和B，使得B、A、P在一条直线上，且与河岸
垂直.随后确定点C、D，使BC⊥BP，AD⊥BP，由观
测可以确定CP与AD的交点D.他们测得AB=45m，BC
=90m，AD=60m，从而确定河宽PA=90m.
你认为他们的结论对吗？还有其他的测量方法吗？
A
B
C
D
P
45m
90m
60m
解：
结论正确！
理由如下：
由△PAD∽△PBC得
PA
PB
=
AD
BC
PA
PA+45
=
60
90
PA=90
改变点C的位置，仍可以得到相应的结论.
？
做一做
C组题
1、如图，BC与EF在一条直线上，AC//DF.将图（2）
中的三角形截去一块，使它变为与图（1）相似的图形.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
G
方法1：作EG//AB，
交DF于点G，沿EG
将△DEG截去即可.
P
Q
方法2：在EF上任取一点P过点P作PQ//AB，交DF于点Q，沿PQ将图（2）截开，得△PQF∽△ABC.
做一做
2、教学楼旁边有一颗树，学习了相似三角形后，数学兴趣小组的
同学们想利用树影测量树高.课外活动时在阳光下他们测得一根
长为1m的竹竿的影长是0.9m，但当他们马上测量树高时，发现树
的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的墙壁上（如图），
经过一番争论，小组同学认为继续测量也可以求出树高.他们测
得落在地面的影长2.7m，落在墙壁上的影长1.2m，请你和他们一
起算一下，树高为多少？
D
B
A
C
E
H
F
G
解：首先在图上标上字母，
过点C作CE⊥AB，垂足为E
根据题意，可得：
△AEC∽△FGH
2.7m
2.7m
1.2m
1.2m
1m
0.9
AE
FG
=
CE
HG
AE
1
=
2.7
0.9
AE= 3 m
∴树高AB = 3 + 1.2 = 4.2 m
想一想
数学源于生活,又反过来服务于生活.如果你无愧于数学,那数学就可以助你到达胜利的彼岸…………
结束寄语
下课了!
数学使人聪明