2020-2021学年八年级数学北师大版下册1.4角平分线 同步测试（word版含答案）

1.4角平分线
同步测试
一．选择题
1．如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂
足为E，若DE＝2，则AB的长为（　　）
A．6
B．+4
C．+2
D．2+2
2．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（　　）
A．3
B．+
C．+2
D．2+
3．已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，AC上，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（　　）
A．∠A的平分线上
B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上
D．AB边的中线上
4．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（　　）
A．6
B．8
C．4
D．10
5．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：
①在∠B的平分线上；
②在∠DAC的平分线上；
③在∠ECA的平分线上；
④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三个角的平分线的交点．
上述结论中，正确结论的个数有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
6．如图，∠MON＝60°，且OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝4，则PQ的最小值为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝8，DE＝3，则△BCE的面积等于（　　）
A．11
B．8
C．12
D．3
8．如图，四边形ABCD中，∠A、∠B、∠C、∠D的角平分线恰相交于一点P（A、P、C三点不共线），记△APD、△APB、△BPC、△DPC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则有（　　）
A．S1+S3＝S2+S4
B．S1+S2＝S3+S4
C．S1+S4＝S2+S3
D．S1＝S3
9．如图，在△ABC中，BD、AE分别是△ABC的角平分线和高线，过点D作DF⊥AB于点F，若AB＝4，BC＝6，DF＝2，则AE的长为（　　）
A．3
B．
C．
D．
二．填空题
10．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，与AC交于点D，DE⊥AB于点E，若BC＝5，△BCD的面积为5，则ED的长为　
　．
11．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝10，则点P到BC的距离是　
　．
12．如图所示，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，则△ABC的面积是　
　．
13．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB，BC，CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝80°，则∠BOC的度数为　
　．
14．如图，直线a、b、c分别表示相互交叉的马路，要建一个停车场要求到三条马路的距离相等，那么符合条件的修建点有　
　处．
15．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为　
　cm2．
三．解答题
16．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是64cm2，AB＝20cm，AC＝12cm，求DE的长．
17．如图，在△ABC中，∠CAB＝60°，∠CAB的平分线AP与∠CBA的平分线BP相交于点P，连接CP．
（1）求证：CP平分∠ACB；
（2）若AP＝4，△ABC的周长为20，求△ABC的面积．
18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．
（1）求∠CAD的度数；
（2）求证：DE平分∠ADC；
（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：∵在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°，
过D作DF⊥AB于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DE＝2，
∴DF＝DE＝2，∠AFD＝∠BFD＝90°，∠BAD＝∠CAD＝BAC＝30°，
∴AD＝2DF＝4，
∵∠B＝45°，
∴∠FDB＝∠B＝45°，
∴BF＝DF＝2，
在Rt△AFD中，由勾股定理得：AF＝＝＝2，
∴AB＝AF+BF＝2+2，
故选：D．
2．解：如图．过点D作DF⊥AC于F．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝1，
在Rt△BED中，∵∠BED＝90°，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
在Rt△DFC中，∵∠DFC＝90°，∠C＝45°，
∴CD＝DF＝，
∴BC＝BD+CD＝2+，
故选：D．
3．解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
4．解：作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE＝4，
×AB×DE+×AC×DF＝28，即×AB×4+×6×4＝28，
解得，AB＝8，
故选：B．
5．解：由角平分线性质的逆定理，可得①②③④都正确．
故选：D．
6．解：当PQ⊥OM时，PQ的值最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA＝4，
∴PQ＝PA＝4，
故选：D．
7．解：过E作EF⊥BC于F，
∵CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，DE＝3，
∴EF＝DE＝3，
∴△BCE的面积S＝＝，
故选：C．
8．解：
四边形ABCD，四个内角平分线交于一点P，则P是该四边形内切圆的圆心，
如图，可将四边形分成8个三角形，面积分别是a、a、b、b、c、c、d、d，
则S1＝a+d，S2＝a+b，S3＝b+c，S4＝c+d，
∴S1+S3＝a+b+c+d＝S2+S4，
故选：A．
9．解：如图所示，过D作DH⊥BC于H，
∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∵AE⊥BC，
∴BC×AE＝AB×DF+BC×DH，
即6AE＝4×2+6×2，
∴AE＝，
故选：C．
二．填空题
10．解：过D点作DF⊥BC于F，如图，
∵△BCD的面积为5，
∴DF?BC＝5，
而BC＝5，
∴DF＝2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF＝2．
故答案为2．
11．解：过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，AD⊥AB，
∴AD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD⊥AB，AD⊥CD，PE⊥BC，
∴PA＝PE＝PD，
∵AD＝10，
∴PE＝5，即点P到BC的距离是5，
故答案为：5．
12．解：连接OA，过点O作OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，
∵△ABC的周长是10，
∴AB+BC+AC＝10，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OG⊥AB，OH⊥AC，
∴OG＝OH＝OD＝1，
∴△ABC的面积＝△ABO的面积+△OBC的面积+△AOC的面积
＝×AB×OG+×BC×OD+×AC×OH
＝×10×1
＝5，
故答案为：5．
13．解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×100°＝50°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°．
14．解：如图所示，分别作直线a、b、c组成的三角形的内角平分线、外角平分线交于A、B、C、O四点，
则点A、B、C、O四个点是符合条件的点，
故答案为：四．
15．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，
∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，
∴PF＝PG＝PE＝3，
∵S△BPC＝7.5，
∴BC?3＝7.5，
解得BC＝5，
∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+AC+BC＝14，
∴AB+AC＝9，
∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP
＝（AB+AC﹣BC）×3
＝×（9﹣5）×3
＝6（cm2）．
故答案为：6．
三．解答题
16．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC，
∴×20×DE+×12×DF＝64，
即10DE+6DE＝64，
∴DE＝4（cm）．
答：DE的长为4cm．
17．（1）证明：过点P作PD⊥AB于D，作PE⊥BC于E，作PF⊥AC于F，
则PD，PE，PF分别是P到AB，BC，CA的距离，
∵P是△ABC角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF，
∴CP平分∠ACB；
（2）解：∵∠CAB＝60°，
∴∠PAB＝30°，
在Rt△PAD中，PA＝4，
∴PD＝2，
∴S△ABC＝S△APB+S△BPC+S△CPA
＝AB?PD+BC?PE+CA?PF
＝（AB+BC+CA）?PD
＝×20×2
＝20．
18．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，
∴∠FAE＝90°﹣50°＝40°，
∵∠BAD＝100°，
∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；
（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，
∵∠FEA＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，
∴EF＝EG，
∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，
∴EF＝EH，
∴EG＝EH，
∵EG⊥AD，EH⊥BC，
∴DE平分∠ADC；
（3）解：∵S△ACD＝15，
∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，
解得，EG＝EH＝，
∴EF＝EH＝，
∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．