6.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）word
文档属性
| 名称 | 6.1分类加法计数原理与分类乘法计数原理-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）word |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 560.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-02-21 11:24:45 | ||
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文档简介
6.1 分类加法计数原理与分类乘法计数原理
一、分类加法计数原理
1、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
2、分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．
【注】分类加法计数原理的特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情.
二、分步乘法计数原理
1、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．
2、分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．
【注】分步乘法计数原理的特点是每一步中都要使用一个方法才能完成该步要做的事情.可以用下图表示分步乘法
3、两个计数原理的联系与区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题．
区别 (1)完成一件事共有n类方法，关键词是“分类”．
(2)各类方法都是互斥的、并列的、相互独立的.
(3)每类方法都能完成这件事． (1)完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”．
(2)每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事．
(3)各步之间是互相关联的、互相依存的.
三、两个计数原理的应用
1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．
应用分类加法计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；
应用分步乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．
2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
3、分步要做到“步骤完整”，步与步之间要相互独立，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．
题型一 分类加法计数原理
例1 从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【精彩点拨】 (1)按所选组长来自不同班级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．
【自主解答】 (1)分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
(2)法一 按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法二 按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
如图，一环形花坛分成A，B，C，D四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______．
【答案】260
【分析】
根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：第一类，种2种不同的花，第二类，种3种不同的花，第三类，种4种不同的花，分别求解即可.
【详解】
根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：
第一类，种2种不同的花，有种种法；
第二类，种3种不同的花，有种种法；
第三类，种4种不同的花，有种种法．
综上，共有种种法．
故答案为：.
题型二 分类乘法计数原理
例 2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?
【精彩点拨】 根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．
【自主解答】 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．
如图，在由电键组A与B组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种．
【答案】6
【分析】
根据分步乘法计数原理，由题中条件，即可求出结果.
【详解】
要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，只有先合上A组中2个电键中的任意一个，再合上B组中3个电键中的任意一个时，接通电源，灯泡才能发光．
因此要完成这件事，需要分步，只有各个步骤都完成才能使灯泡发光，
所以接通电源使灯泡发光的方法有种．
故答案为：.
1、十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条．
【解析】 经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．
【答案】 12
2、从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________.
【解析】 产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．
【答案】 20 10
3、从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
【解析】 分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．
【答案】 B
4、某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）
A．510种 B．105种
C．50种 D．3 024种
【答案】A
【分析】
乘客下车这个事件可以考虑每个乘客的下车方式，应用分步乘法原理求解．
【详解】
每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，
故选：A.．
5、一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种．（以数字作答）
【答案】37
【分析】
根据分类加法计数原理，由题中条件，即可得出结果.
【详解】
一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，由分类加法计数原理可知，不同的取法有种，
故答案为：37．
6、现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
【解析】 先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.
【答案】 B
7、张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？
【解】 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第一步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；
第二步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．
由分步乘法计数原理，得2×3＝6种．
8、一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
【解】 (1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．
(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法
9、有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
【精彩点拨】 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．
【自主解答】 第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；
第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；
第三类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；
第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．
根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．
一、分类加法计数原理
1、分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法.
2、分类加法计数原理的推广
完成一件事有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．
【注】分类加法计数原理的特点是各类中的每一个方法都可以完成要做的事情.
二、分步乘法计数原理
1、分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．
2、分步乘法计数原理的推广
完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法．
【注】分步乘法计数原理的特点是每一步中都要使用一个方法才能完成该步要做的事情.可以用下图表示分步乘法
3、两个计数原理的联系与区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决的都是关于完成一件事情的不同方法的种数问题．
区别 (1)完成一件事共有n类方法，关键词是“分类”．
(2)各类方法都是互斥的、并列的、相互独立的.
(3)每类方法都能完成这件事． (1)完成一件事共分n个步骤，关键词是“分步”．
(2)每步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，只有每个步骤都完成了，才能完成这件事．
(3)各步之间是互相关联的、互相依存的.
三、两个计数原理的应用
1、用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析——需要分类还是需要分步．
应用分类加法计数原理时，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性，各类中的每个方法都能独立的将这件事情完成；
应用分步乘法原理时，要注意“步”与“步”之间是连续的，做一件事需分成若干个互相联系的步骤，所有步骤依次相继完成，这件事才算完成．
2、分类要做到“不重不漏”，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
3、分步要做到“步骤完整”，步与步之间要相互独立，最后根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．
题型一 分类加法计数原理
例1 从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？
(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
【精彩点拨】 (1)按所选组长来自不同班级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．
【自主解答】 (1)分四类：
从一班中选一人，有4种选法；
从二班中选一人，有5种选法；
从三班中选一人，有6种选法；
从四班中选一人，有7种选法．
共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．
(2)法一 按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法二 按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
如图，一环形花坛分成A，B，C，D四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______．
【答案】260
【分析】
根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：第一类，种2种不同的花，第二类，种3种不同的花，第三类，种4种不同的花，分别求解即可.
【详解】
根据题意，四个区域至少选用2种不同的花来种，可分三类：
第一类，种2种不同的花，有种种法；
第二类，种3种不同的花，有种种法；
第三类，种4种不同的花，有种种法．
综上，共有种种法．
故答案为：.
题型二 分类乘法计数原理
例 2 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?
【精彩点拨】 根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步乘法计数原理．
【自主解答】 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：
第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；
第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；
第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；
第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.
根据分步乘法计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．
如图，在由电键组A与B组成的串联电路（规定每组电键只能合上其中的一个电键）中，接通电源使灯泡发光的方法有______种．
【答案】6
【分析】
根据分步乘法计数原理，由题中条件，即可求出结果.
【详解】
要完成的“一件事”是“使灯泡发光”，只有先合上A组中2个电键中的任意一个，再合上B组中3个电键中的任意一个时，接通电源，灯泡才能发光．
因此要完成这件事，需要分步，只有各个步骤都完成才能使灯泡发光，
所以接通电源使灯泡发光的方法有种．
故答案为：.
1、十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条．
【解析】 经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．
【答案】 12
2、从2,3,5,7,11中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是________，其中真分数的个数是________.
【解析】 产生分数可分两步：第一步，产生分子有5种方法；第二步，产生分母有4种方法，共有5×4＝20个分数．产生真分数，可分四类：第一类，当分子是2时，有4个真分数，同理，当分子分别是3,5,7时，真分数的个数分别是3,2,1，共有4＋3＋2＋1＝10个真分数．
【答案】 20 10
3、从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
【解析】 分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．
【答案】 B
4、某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（ ）
A．510种 B．105种
C．50种 D．3 024种
【答案】A
【分析】
乘客下车这个事件可以考虑每个乘客的下车方式，应用分步乘法原理求解．
【详解】
每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，
故选：A.．
5、一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，则不同的取法有______种．（以数字作答）
【答案】37
【分析】
根据分类加法计数原理，由题中条件，即可得出结果.
【详解】
一个三层书架，分别放置语文书12本，数学书14本，英语书11本，从中任取一本，由分类加法计数原理可知，不同的取法有种，
故答案为：37．
6、现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
A．7 B．12
C．64 D．81
【解析】 先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.
【答案】 B
7、张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？
【解】 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第一步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；
第二步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．
由分步乘法计数原理，得2×3＝6种．
8、一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？
【解】 (1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．
(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；
第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法
9、有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？
【精彩点拨】 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为四类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．
【自主解答】 第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；
第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；
第三类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；
第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．
根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．