6.3二项式定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）Word

6.3 二项式定理

1、二项式定理：
其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：
2、二项式定理的性质
（1）对称性
（2）增减性与最大值：当n为偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值
（3）各二项式系数的和等于
题型一 二项式定理展开式
例1　求的展开式.
【答案】
【分析】
直接利用二项式定理求解即可.
【详解】
求的展开式：
【分析】
直接利用二项式定理求解即可.
【详解】
题型二 特殊项
例 2　在的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答）
【答案】-160
【分析】
的展开式的通项为，取计算得到答案.
【详解】
的展开式的通项为：，取得到常数项.
故答案为：-160
展开式的二项式系数之和为32，则展开式中的系数是________.（用数字填写答案）
【答案】80
【分析】
先根据展开式的二项式系数之和为32求出的值，再利用二项式展开式的通项求解.
【详解】
因为展开式的二项式系数之和为32，
所以.
展开式的通项为，
令.
所以展开式中的系数是.
故答案为：80
题型三　参数问题
例 3　的展开式中，项的系数为，则实数___________.
【答案】
【分析】
由，分别写出和的展开式通项，分别令的指数为，求出对应的参数值，代入通项可得出关于的等式，进而可求得实数的值.
【详解】
，
的展开式通项为，所以，的展开式通项为，
令，可得，
由题意可得，解得.
故答案为：.
展开式中的常数项为180，则_________________.
【答案】2或
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式，再令的幂指数等于0，求得的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得的值．
【详解】
解：展开式中的通项公式为，
令，求得，可得它的常数项为，故，
故答案为：．
题型四　系数之和问题
例 4 (1－x)6展开式中，x的奇次项系数和为（ ）
A．32 B．－32
C．0 D．－64
【答案】B
【分析】
首先求二项展开式，再求奇次项系数的和.
【详解】
，
所以x的奇次项系数和为，
故选：B.
的展开式中，的奇次幂项的系数之和为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
先将展开，再利用赋值法求出奇次幂项的系数之和.
【详解】
设，
令，则，
令，则，
两式相减，整理得.
故选：A
题型五　两个式子的二项式定理
例 5　展开式中含项的系数为（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】
利用展开式的一次项与的一次项相乘，展开式的二次项与的常数项相乘，即可得到的展开式中含项的系数.
【详解】
展开式通项，
令可得，令可得；
含项的系数为：.
故选：.
求的展开式中的系数.
【答案】
【分析】
根据，由得，得求解.
【详解】
因为的展开式中含的项为，
所以其系数为.
故答案为：600
题型六　最大项问题
例 6　若的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，且的系数为7，求实数的值.
【答案】
【分析】
先由二项式系数最大的项，确定，再由二项展开式的通项公式，得出的系数，列出方程求解，即可得出结果.
【详解】
因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，
所以为唯一最大值，根据二项式系数的性质可得：，
则，
其展开式的通项公式为，
令得，
所以，由解得.
即实数的值为.
在二项式展开式中，前三项的系数成等差数列．
求：（1）展开式中各项系数和；
（2）展开式中系数最大的项．
【答案】（1）（2），
【分析】
（1）利用通项公式求出展开式中前三项的系数，根据等差中项列式出，然后令可求得结果；
（2）设?展?开?式?中?第?r+1?项?系?数?最?大，根据解得结果即可得解.
【详解】
（1）因为，
所以，
?由?题?意?得?2×=1+×，
化为：n2-9n+8=0，解得n=1（舍去）或8，
∴n=8，
在?中，令x=1，可得展开式中各项系数和为=；
（2）?设?展?开?式?中?第?r+1?项?系?数?最?大，
则?Tr+1==，
则，即，即，
即，解得?2≤r≤3，
因?此?r=2?或?3，即?展?开?式?中?第?3?项?和?第?4?项?系?数?最?大，
且?T3==，T4==．
∴展开式中系数最大的项分别为：，．
1、二项式的展开式中的系数是________.(用数字作答).
【答案】
【分析】
求得二项展开式的通项为，令，即可求解.
【详解】
由题意，二项式展开式的通项为，
令，可得，
所以展开式中的系数是.
故答案为：.
2、的展开式中的常数项为______.
【答案】
【分析】
先求得展开式的通项公式，再分1乘以和乘以两种情况求解.
【详解】
展开式的通项公式为，
当1乘以时，令，解得，常数项为；
当乘以时，令，解得，常数项为；
所以的展开式中的常数项为-5，
故答案为：-5
3、若在展开式中，若奇数项的系数之和为32，则含的系数是______.
【答案】-6
【分析】
由题意可知，奇数项的系数之和为，求出，然后求出展开式的通项，利用的指数为，求出参数的值，然后将参数的值代入通项，即可求出含项的系数.
【详解】
展开式的通项为，奇数项的系数为，解得，
展开式的通项为，
令，得，因此，展开式中含的系数为.
故答案为：.
4、若的展开式关于x的系数和为64，则展开式中含项的系数为______.
【答案】18
【分析】
令，由系数和求得，再利用二项式定理得的系数．
【详解】
由题意，解得，展开式中系数是，的系数是，
∴所求系数为．
故答案为：18．
5、的展开式中的系数为_____________.
【答案】
【分析】
将代数式变形为，写出展开式的通项，令的指数为，求得参数的值，代入通项即可得解.
【详解】
，
展开式通项为，

令，可得，因此，展开式中的系数为.
故答案为：.
6、在的展开式中，的系数为______(用数字作答).
【答案】
【分析】
本题首先可以写出二项式的展开式的通项，然后令的幂的指数等于，求出的值，即可求得的系数.
【详解】
二项式的展开式的通项，
令，解得，
则，的系数为，
故答案为：.
7、二项式的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）
【答案】60
【分析】
根据二项式展开式的通项公式求解.
【详解】
有题意可得，二项式展开式的通项为：

令可得 ，此时.
8、若展开式的各项系数之和为32,则其展开式中的常数项为_____.(用数字作答)
【答案】10
【解析】
∵展开式的各项系数之和为32，∴=32解得n=5，n展开式的通项为，当r=2时，常数项为=10
9、若的二项展开式中所有项的二项式系数和为64，则常数项为 ____（用数字作答）
【答案】-20
【分析】
由条件利用二项式系数的性质求得n＝6，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【详解】
若的二项展开式中所有项的二项式系数和为64可得2n＝64，n＝6，
∴，
它的展开式的通项公式为，令6﹣2r＝0，得r＝3，
可得常数项为﹣，
故答案为：﹣20．
10、在的展开式中.求：
（1）所有项的系数和；
（2）的系数；
（3）系数最大的项.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）令求解即可.
（2）先求得展开式的通项公式， 再令求解.
（3）设第项的系数最大，由求解.
【详解】
（1）令，该展开式中所有项的系数和为.
（2）该展开式的通项公式为，，
令，解得，
故的系数为.
（3）设第项的系数最大，
则，
解得，
又，
所以，
故该展开式中系数最大的项为.