6.1平面向量的概念同步练习
选择题
1．下列说法中正确的个数是（ ）
①身高是一个向量；
②∠AOB的两条边都是向量；
③温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量；
④物理学中的加速度是向量．
A．0
B．1
C．2
D．3
2．下列说法正确的是（ ）
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
3．已知点O固定，且，则点A的轨迹是（ ）
A．一个点
B．一条直线
C．一个圆
D．不能确定
4．如图，在⊙O中，向量，，是（ ）
A．有相同起点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
5．如图，四边形ABCD中，＝，则相等的向量是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
6．下列说法正确的是（ ）
A．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
B．长度相等的向量叫作相等向量
C．共线向量是在一条直线上的向量
D．向量与向量平行，则与的方向相同或相反
7．下列说法正确的是（ ）
A．长度相等的向量叫相等向量
B．零向量的长度为零
C．共线向量是在一条直线上的向量
D．平行向量就是向量所在的直线平行的向量
8．设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．下列结论中，不正确的是（ ）
A．向量，共线与向量∥意义是相同的
B．若向量＝，则∥
C．若向量，满足||＝||，就有＝
D．若向量＝，则向量＝
10．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是（ ）
A．与相等的向量只有一个（不含）
B．与的模相等的向量有9个（不含）
C．的模恰为模的倍
D．与不共线
填空题
11．设点O是△ABC所在平面上一点，若||＝||＝||，则点O是△ABC的 心．
12．如图，设是边长为1的正六边形的中心，写出图中与向量相等的向量 ．（写出两个即可）
13．已知A，B，C是不共线的三点，与是平行向量，与是共线向量，则＝ ．
14．已知四边形ABCD是矩形，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，用列举法表示集合T＝ ．
解答题
15．如图，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是边AC，AB，BC的中点．
（1）写出与共线的向量（自身除外）；
（2）写出与的模相等的向量（自身除外）．
16．一辆消防车从A地去B地执行任务．先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地．然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．
（1）在如图所示的坐标系中画出，，，；
（2）求B地相对于A地的位置向量．
6.1平面向量的概念同步练习答案
1．解：对于①身高只有大小，没有方向，所以不是向量；
②温度的零上和零下表示温度的大小，温度没有方向，所以温度不是向量；
③角的边是没有大小和方向的，角是计算角度的，所以∠AOB的两条边都不是向量；
④物理学中的加速度既有大小又有方向是向量．
综上可得④正确，
故选：B．
2．解：对于A，数量可以比较大小，向量是矢量，不能比较大小，A错误；
对于B，向量是矢量，不能比较大小，∴B错误；
对于C，向量的大小与方向无关，∴C错误；
对于D，向量的模长是数量，可以比较大小，∴D正确．
故选：D．
3.解：∵，∴|OA|＝2，
∴点A的轨迹是以O为圆心，以2为半径的圆，
故选：C．
4．解：对于A：根据图形，可得向量，，不是相同起点的向量；∴A不对；
对于B：共线向量知识点方向相同或者相反的向量，∴B不对；
对于C：因为O是圆心，那么向量，，的模长的一样的，∴C对；
对于D：相等的向量指的是大小相等，方向相同的向量，∴D不对；
故选：C．
5．解：∵四边形ABCD中，＝，∴四边形ABCD是平行四边形，
∴．
故选：D．
6．解：对于A：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，A正确；
对于B：长度相等，方向相同的向量叫作相等向量，B错误；
对于C：共线向量是方向相同或方向相反的向量，C错误；
对于D：向量与向量平行，则与的方向相同或相反，也可能是0向量，错误；
故选：A．
7．解：大小相等、方向相同的向量叫相等向量，∴A错误；
零向量的长度为0，∴B正确；
方向相同或相反的向量叫共线向量，它们不一定在同一条直线上，∴C错误；
平行向量就是向量所在的直线平行的向量，也可以共线，∴D错误；
故选：B．
8．解：∵是两个单位向量，∴，
故选：D．
9．解：选项A，由向量共线的定义可得向量，共线与向量∥意义是相同的，故正确；
选项B，当向量＝，则一定有∥，故正确；
选项C，向量，满足||＝||，但方向不定，故不一定有＝，故错误；
选项D，由向量＝和相反向量可得向量＝，故正确．
故选：C．
10．解：A．与相等的向量只有一个（不含）是，正确；
B．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，∴∠ADC＝60°，因此△ADC和△ABC都是等边三角形．
∴与的模相等的向量有9个（不含）：，，，，，，，，．因此正确．
C．由等边三角形的性质可得：，∴．
因此的模恰为模的倍，故正确．
D．∵，∴与共线，故D不正确．
综上可知：只有D不正确．
故选：D．
11．解：∵点O是△ABC所在平面上一点，
||＝||＝||，
∴点O在△ABC所在平面内，且点O到△ABC的三个顶点的距离相等，
∴点O是△ABC的外心．
故答案为：外．
12．解：由题可得：与相等的向量是：，，；
故答案为：，，．
13．解：A，B，C是不共线的三点，
则与不共线，
与是平行向量，与是共线向量，则＝．
故答案为：．
14．解：∵点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，
∴T＝{，，，，，，，}，
故答案为：{，，，，，，，}．
15．解：（1）与共线的向量有：，，，，，，；
（2）与的模相等的向量有：，，，，．
16．解：（1）作出向量如图所示：
（2）∵D在A北偏东30°方向上，B在C南偏西30方向上，∴AD∥BC，
∵AD＝BC＝2，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝6，
∵C在D北偏东60°方向上，∴B在A北偏东60°方向6千米处．
∴的方向为北偏东60°，||＝6．(共18张PPT)
6.1平面向量的概念
我们知道，力、位移、速度等物理量是既有大小、又有方向的量.
本节我们将通过对这些量的抽象，形成向量概念及其表示方法；通过研究向量之间的一些特殊关系，初步认识向量的一些特征.
一、向量的实际背景
G
F
在本章引言中，小船位移的大小是A、B两地之间的距离15
n
mile,位移的方向是东南方向;小船航行速度的大小是10
n
mile/h,速度的方向是东南方向.
又如，物体受到的重力是竖直向下的，物体的质量越大，它受到的重力越大
物体在液体中受到的浮力是竖直向上的，物体浸在液体中的体积越大，它收到的浮力越大。
力、位移、速度有各自的特性，但也有共同属性，请问共同属性是什么？
既有大小，又有方向.
我们知道，从一支笔、一棵树、一本书??????中，可以抽象出只有大小的数量“1”.类似地，我们可以对力、位移、速度??????这些量进行抽象，形成一种新的量.
一.向量的概念
数学中，我们把既有大小又有方向的量称为向量。
知识构建
那些只有大小没有方向的量称为数量。
向量的两要素
物理学中，常称：
向量为矢量，数量为标量.
你还能举出物理学中的一些向量和数量吗？
加速度是向量，
时间、路程、功是数量.
讨论：数量能比较大小吗？向量呢？
1.数量只有大小，是一个代数量。
可以比较大小
2.向量有方向、大小，双重属性，
因为方向没有大小可言，
所以向量不能比较大小
知识构建
问题：1、如何直观（用几何方法）表示数量？如实数？
由于实数与数轴上的点一一对应，
所以数量常常用数轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量。
1
问题2：向量既有大小，又有方向，又如何直观表示？
知识构建
物理中，用什么来表示力？
使用带有箭头的线段来表示力
带有方向的线段叫做有向线段
知识构建
A
B
起点
终点
．
．
记法：
那
与
相同吗？
AB
BA
思考：
注意：起点写在终点的前面
以A为起点，B为终点的有向线段记作
。
AB
AB
长度：已知AB，线段AB的长度叫做有向线段AB的大小，
记作|AB|
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度
知识构建
有向线段
B
．
A
．
起点
终点
有向线段的长度表示向量的大小
箭头所指的方向表示向量的方向
a
向量也可以用一个小写字母
来表示，例如：
，
,
，
c
b
大小记作：
,
,
,
a
b
c
向量AB的大小,也就是向量AB的长度（或称模），记作
向量的几何表示
印刷用黑体a，书写用
.
知识构建
两种特殊的向量
根据向量的模所出现的特殊值进行定义：
①.如果向量的模为0，我们称之为
，记作：
0
②.如果向量的模为1个单位，我们称之为
。
一个点
零向量的几何图形是
方向是
任意的
零向量
单位向量
例1
在右图中,分别用向量表示A地
至B、C两地的位移，并根据图
中的比例尺，求出A地至B、C
两地的实际距离(精确到1km).
解：
向量的几何表示
|
|≈__________.
AC
表示A地至C地的位移，且
AC
|
|≈__________；
AB
表示A地至B地的位移，且
AB
A
B
C
1∶8000000
规定：零向量与任一向量都是一
组平行向量。
知识构建
平行向量
或
的非零向量叫做平行向量。
a
b
c
方向相同
相反
知识构建
讨论：这两个向量是平行向量吗？
b
a
注意：平行向量规定的是向量方向相同或者相反，与所在的直线的位置没有关系！
在一条直线上！
概念：长度相等且方向相同的两个向量叫做相等向量，记作
a=b
推论：1、任意两个相等非零向量，都可以用同一条有向线段表示；
2、向量可以平行移动。
平行向量也叫做共线向量。
a
=b
相等向量和共线向量
例2.如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写
出图中与向量
相等的向量.
问题:
(1)
与
相等吗?
(2)
与
相等吗?
(3)与
长度相等的向量有几个?
(4)与
共线的向量有哪几个?
解：
O
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD
的形状：
（1）
；
（2）
且
（1）四边形ABCD是平行四边形。
（2）四边形ABCD是菱形。
零向量、单位向量概念：
向量的概念:
向量的表示方法：
共线向量与平行向量关系：
平行向量定义：
相等向量定义：
