湘教版八年级数学下册 1.3直角三角形全等的判定（Word版 含答案）

1.3直角三角形全等的判定
1．如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是(　　)
A．SAS B．ASA
C．AAS D．HL
2．如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(　　)
A．SSS B．ASA C．SSA D．HL
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　　)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
4.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是(　　)
A．AE＝DF B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【点拨】添加条件AB＝DC.
理由：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，故选D.
5．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(　　)
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一个锐角和一条直角边对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
6．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是(　　)
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
7．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，则下列结论正确的个数为(　　)
①∠B＝∠C；
②△ADO≌△AEO；
③△BOD≌△COE；
④图中有4对三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AD平分∠BAC，则下列结论不正确的是(　　)
A．∠B的度数等于30°
B．AC＝AE＝BE＝AD
C．∠ADB的度数等于120°
D．Rt△ADE≌Rt△BDE≌Rt△ADC
9．【中考·娄底】如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是_______(答案不唯一)
10.如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝BE，DE＝EC，则AB＝________．
11．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
12．如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC上和过A点且垂直于AC的射线AO上运动，问P点运动到线段AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？
13．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长．
14．【中考·黄冈】如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.
15．【中考·苏州】问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，
∠APD＝90°.求证：AB＋CD＝BC；
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求的值．

16．如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.
(1)求证：AE＝CF，MB＝MD；
(2)当E，F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
1.3直角三角形全等的判定
1．如图，∠B＝∠E＝90°，AB＝DE，AC＝DF，则△ABC≌△DEF的理由是(　D　)
A．SAS B．ASA
C．AAS D．HL
2．如图，OD⊥AB于点D，OP⊥AC于点P，且OD＝OP，则△AOD与△AOP全等的理由是(D　　)
A．SSS B．ASA C．SSA D．HL
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6 cm，则AE＋DE等于(　C　)
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm
4.如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加的一个条件是(　D　)
A．AE＝DF B．∠A＝∠D
C．∠B＝∠C D．AB＝DC
【点拨】添加条件AB＝DC.
理由：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL)，故选D.
5．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(　B　)
A．两条直角边对应相等
B．两个锐角对应相等
C．一个锐角和一条直角边对应相等
D．斜边和一条直角边对应相等
6．如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是(　C　)
A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
7．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，则下列结论正确的个数为(　D　)
①∠B＝∠C；
②△ADO≌△AEO；
③△BOD≌△COE；
④图中有4对三角形全等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点E，AD平分∠BAC，则下列结论不正确的是(　B　)
A．∠B的度数等于30°
B．AC＝AE＝BE＝AD
C．∠ADB的度数等于120°
D．Rt△ADE≌Rt△BDE≌Rt△ADC
9．【中考·娄底】如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是___AB＝CD____(答案不唯一)
10.如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝BE，DE＝EC，则AB＝__7______．
【点拨】易证△ADE≌△BEC，得AE＝BC.
又AD＝BE，故AB＝AE＋BE＝BC＋AD＝7.
11．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：△ABE≌△CBF；
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数．
证明：(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)．
(2)∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
12．如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一条线段PQ＝AB，P，Q两点分别在线段AC上和过A点且垂直于AC的射线AO上运动，问P点运动到线段AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？
解：①当AP＝BC时，易知AP＝CP＝5 cm，∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵AB＝PQ，BC＝AP，∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)．
②当P点与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△QAP与Rt△BCA中，
∵PQ＝AB，AP＝CA，∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)．
综上，当P点运动到线段AC的中点或与C点重合时△ABC才能和△APQ全等．
13．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长．
证明：(1)在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.
∵将△ADE沿AE折叠至△AFE，
∴AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°.
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.
在Rt△ABG与Rt△AFG中，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)．
(2)：由(1)知Rt△ABG≌Rt△AFG，∴BG＝FG.
设BG＝FG＝x(x＞0)，则GC＝6－x，
∵E为CD的中点，∴CE＝DE＝EF＝3，∴EG＝3＋x.
在Rt△CEG中，CE2＋GC2＝EG2，
即32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2.∴BG＝2.
14．【中考·黄冈】如图，四边形ABCD是正方形，E是CD边上任意一点，连接AE，作BF⊥AE，DG⊥AE，垂足分别为F，G.求证：BF－DG＝FG.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAB＝90°，AD＝AB.
∵BF⊥AE，DG⊥AE，∴∠AFB＝∠DGA＝90°.
∴∠DAG＋∠FAB＝∠DAG＋∠ADG＝90°，
∴∠FAB＝∠GDA.∴△ABF≌△DAG(AAS)．
∴BF＝AG，AF＝DG.
∴BF－DG＝AG－AF＝FG.
15．【中考·苏州】问题1：如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，
∠APD＝90°.求证：AB＋CD＝BC；
问题2：如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°.求的值．

证明：(1)∵∠B＝90°，∠APD＝90°，∴∠BAP＋∠APB＝90°，
∠APB＋∠CPD＝90°，∴∠BAP＝∠CPD.
又PA＝DP，∠B＝∠C＝90°，∴△BAP≌△CPD(AAS)，∴BP＝CD，AB＝PC，∴BC＝PC＋BP＝AB＋CD，即AB＋CD＝BC.
(2)：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，由问题1可知，EF＝AE＋DF，∵∠B＝∠C＝45°，AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠BAE＝45°＝∠B，∠CDF＝45°＝∠C，∴BE＝AE，CF＝DF，∴BC＝BE＋EF＋CF＝2(AE＋DF)，在Rt△ABE中，AB2＝BE2＋AE2＝2AE2，
∴AB＝AE，同理CD＝DF，
∴＝＝.
16．如图①，E，F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，BF＝DE，BD交AC于点M.
(1)求证：AE＝CF，MB＝MD；
(2)当E，F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
证明：(1)∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠CED＝∠BFA＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，
∴AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，即AE＝CF.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS)，∴MB＝MD.
解：AE＝CF，MB＝MD仍成立．
证明如下：在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴AF＝CE，
∴AF＋EF＝CE＋EF，即AE＝CF.
在△DEM和△BFM中，
∴△DEM≌△BFM(AAS)，∴MB＝MD.